| dbo:abstract
|
- نظرية الفئة أو نظرية الفئات (بالإنجليزية: Category Theory) في الرياضيات، وتتناول البنى الرياضية المختلفة بطريقة مجردة لتدرس خصائصها الأساسية والعلاقات المتبادلة فيما بينها وهي شديدة الصلة مع الطوبولوجيا الجبرية خصوصا في بداية نشأتها عندما تأسست من قبل صموئيل إيلينبرغ Samuel Eilenberg وسوندرز ماكلين في عام 1945. تظهر الفئات في جميع فروع الرياضيات وبعض فروع علم الحاسوب النظري والفيزياء الرياضية. (ar)
- La teoria de categories és una branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les estructures matemàtiques i llurs relacions. Les categories avui dia s'usen com a noció unificadora en la major part de les branques de la matemàtica i en algunes àrees de les ciències de la computació i física teòrica. Foren proposades per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane en el període 1942-1945, en connexió amb la topologia algebraica. (ca)
- Teorie kategorií je odvětví matematiky zobecňující pohled na matematické struktury a vztahy mezi nimi. Proto je považována za sjednocující teorii, která umožňuje zkoumat spojitosti mezi různými disciplínami, jako jsou například mnohá odvětví matematiky, některé oblasti teoretické informatiky a matematické fyziky. (cs)
- Η Θεωρία Κατηγοριών είναι το πεδίο εκείνο των μαθηματικών που εξετάζει τις γενικές ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά των διαφόρων μαθηματικών δομών μέσα από την μελέτη σχέσεων μεταξύ αντικειμένων αυτών των δομών. Η Θεωρία Κατηγοριών χρησιμοποιείται για να τυποποιήσει τα μαθηματικά και τις έννοιές τους ως συλλογές αντικειμένων και βελών (ή μορφισμών).Η Θεωρία Κατηγοριών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να τυποποιήσει τις έννοιες άλλων υψηλού επιπέδου αφαιρέσεων όπως σύνολα, δακτύλιους, και ομάδες. Διάφοροι όροι που χρησιμοποιούνται στη Θεωρία Κατηγοριών, συμπεριλαμβανομένου του όρου «μορφισμός», συχνά χρησιμοποιούνται με διαφορετικό νόημα από ότι συνήθως στα μαθηματικά. Στη Θεωρία Κατηγοριών, ένας «μορφισμός» υπακούει ένα σύνολο όρων συγκεκριμένων για την θεωρία την ίδια. Κατά συνέπεια, πρέπει να ληφθεί προσοχή για να γίνει κατανοητό το πλαίσιο στο οποίο γίνονται δηλώσεις. (el)
- La teorio de kategorioj aŭ kategorio-teorio estas moderna koncepto, kiu aperis en la jaroj 1940-aj en la artikoloj de kaj . Plej simple esprimite, ĝi estas ĝenerala teorio de strukturoj kaj sistemoj de strukturoj. Fakte, oni povas diri, ke la teorio de kategorioj ne estas aparta matematika fako, sed ilo, kiu utilas en diversaj matematikaj fakoj, aŭ lingvo, per kiu oni povas diskuti strukturojn, kiuj aperas en diversaj fakoj. La bazaj nocioj de la teorio estas simplaj. Kategorio konsistas el du specoj: objektoj kaj sagoj inter tiuj objektoj. Grave, kategorio ankaŭ bezonas surhavi tri operaciojn: fontoperacio mallongita al fon, kofontoperacio (aŭ celoperacio), mallongigita al kof, kaj komponoperacio, skribite ∘. fon estas funkcio de la sagoj el kategorio al la objektoj el la sama kategorio, kiu donas la komencon de ĉiu sago. Simile, kof donas la finon de ĉiu sago. La komponoperacio estas duonfunkcio (tio estas, funkcio kiu eble ne havas valorojn ĉe tute sia difinkorpo) de paroj da sagoj al sagoj. Ĝi donas la signifon (laŭekziste) de sago sekve alia sago. Ne ekzistas signifo de tia kunmetaĵo se la kofonto de la unua sago ne egalas la fonton de la dua. (Oni diras ke, la sagoj 'ne linias') Ĉe ĉi tiu kazo, la komponoperacio devas havi neniun valoron. Kategorio devas ankaŭ havi la jenajn ecojn: 1.
* Ĉiu objekto C havas identsagon (ofte skribita 1C aŭ idC) tia, ke 1C ∘ f = f = f ∘ 1C ĉe ĉiuj sagoj f. 2.
* La komponoperacio estas asocieca: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) ĉe sagoj f, g, h. 3.
* fon(f ∘ g) = fon(g) kaj kof(f ∘ g) = kof(f). Klare ĝi pravas se oni komprenas ke, la cela signifo ke f ∘ g estas ' f poste de g '. Por ilustri, vi povas imagi la objektojn esti ĉiuj aroj kaj la sagojn esti ĉiuj funkcioj inter la aroj. La komponoperacio en ĉi tiu afero estas ordinara funkcia komponado. Ĝi estas konkreta kategorio ĉar la objektoj estas iuj aroj (eble kun aldonita strukturo), la sagoj estas iuj funkcioj, kaj la komponoperacio estas nur funkcia komponado. Aliaj ekzemploj de konkretaj kategorioj estas la kategorio de grupoj kaj homomorfioj, la kategorio de topologioj kaj kontinuaj funkcioj, k. s. Ankaŭ ekzistas pluraj kategorioj kiuj ne estas konkretaj; ĉi tiuj abstraktaj kategorioj ofte okazas el konstruadoj el aliaj kategorioj (ekz. konstruadoj de mala kategorio, tranĉa kategorio, kategorioj de monadalgebroj kaj koalgebroj). Kiam oni esprimas strukturojn en la lingvo de kategorioj, oni gajnas ne nur la eblecon studi la ecojn de la strukturoj, sed ankaŭ la eblecon studi la tipojn de strukturoj. Por tio estas la koncepto funktoro. Funktoro simple estas rilato inter du kategorioj, denove plenumante kelkajn evidentajn ecojn pri sia efiko al la objektoj kaj sagoj en la fonta kategorio. Aldone al la baza kadro de kategorioj kaj funktoroj, konstruiĝis tuta teorio kun aliaj konceptoj kiel naturaj transformigoj, komplementaj funktoroj, kaj limoj. Tiuj strukturoj abundas en ĉiuj fakoj de matematiko, kelkfoje evidente kaj kelkfoje kaŝite. Estas precize la malkovrado de kategoriaj strukturoj kiu estas la plej grava utileco de la teorio. Kiam oni trovas kategorion en iu matematika fako, subite ĉiuj rezultoj pri kategorioj validas pri tiuj strukturoj, do jen multe da novaj rezultoj sen multe da penado. Kaj kompreneble tiu malkovrado donas pli profundan komprenon de la strukturoj. Al multaj, la teorio de kategorioj estas alternativo al la aroteorio. La teorio de kategorioj utilas interalie en matematika studado de komputillingvoj (ekzemple, en la studado de tip-sistemoj). (eo)
- Category theory is a general theory of mathematical structures and their relations that was introduced by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane in the middle of the 20th century in their foundational work on algebraic topology. Nowadays, category theory is used in almost all areas of mathematics, and in some areas of computer science. In particular, many constructions of new mathematical objects from previous ones, that appear similarly in several contexts are conveniently expressed and unified in terms of categories. Examples include quotient spaces, direct products, completion, and duality. A category is formed by two sorts of objects: the objects of the category, and the morphisms, which relate two objects called the source and the target of the morphism. One often says that a morphism is an arrow that maps its source to its target. Morphisms can be composed if the target of the first morphism equals the source of the second one, and morphism composition has similar properties as function composition (associativity and existence of identity morphisms). Morphisms are often some sort of function, but this is not always the case. For example, a monoid may be viewed as a category with a single object, whose morphisms are the elements of the monoid. The second fundamental concept of category is the concept of a functor, which plays the role of a morphism between two categories and it maps objects of to objects of and morphisms of to morphisms of in such a way that sources are mapped to sources and targets are mapped to targets (or, in the case of a contravariant functor, sources are mapped to targets and vice-versa). A third fundamental concept is a natural transformation that may be viewed as a morphism of functors. (en)
- Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelt wurde; Saunders MacLane nennt seine 1945 in Zusammenarbeit mit Samuel Eilenberg entstandene „General Theory of Natural Equivalences“ (in Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die ersten beiden ursprünglich eingeführt. Die Kategorientheorie lässt sich, ähnlich wie die universelle Algebra, als allgemeine Theorie mathematischer Strukturen auffassen (klassische Strukturen sind z. B. Gruppen, Ringe, Moduln und topologische Räume). Dabei werden Eigenschaften mathematischer Strukturen allerdings nicht über Relationen zwischen Elementen der Trägermenge(n) definiert, sondern mittels Morphismen und Funktoren quasi über Vergleiche sowohl innerhalb von als auch zwischen Kategorien. (de)
- La teoría de categorías es un estudio matemático que trata de axiomatizar de forma abstracta diversas estructuras matemáticas como una sola, mediante el uso de objetos y morfismos. Al mismo tiempo trata de mostrar una nueva forma de ver las matemáticas sin incluir las nociones de elementos, pertenencia, entre otras. (es)
- La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et leurs relations. L'étude des catégories, très abstraite, fut motivée par l'abondance de caractéristiques communes à diverses classes liées à des structures mathématiques. Les catégories sont utilisées dans la plupart des branches mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et en mathématiques de la physique. Elles forment une notion unificatrice. « La théorie des catégories commence avec l'observation que de nombreuses propriétés des systèmes mathématiques peuvent être unifiées et simplifiées par des dessins avec des flèches. » (fr)
- Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar. (in)
- La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica.Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante.Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni. (it)
- 범주론(範疇論, 영어: category theory)은 수학 용어로, 수학적 구조와 그들 간의 관계를 범주(영어: category)라는 추상적인 개념으로써 다루는 이론이다. 어떠한 '구조'를 가진 대상 및 그 구조를 반영하는 대상 사이의 사상들의 모임이 '범주'를 이룬다. 오늘날 범주는 추상대수학을 비롯하여 수학의 많은 분야를 다루고 있으며, 특히 이론 컴퓨터 과학이나 수학기초론, 수리물리학과의 연관성이 대두되고 있다. 이외에 범주 이론, 권론(圈論), 카테고리 이론 등의 명칭으로도 불린다. (ko)
- 圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。 (ja)
- De categorietheorie is een abstract onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met het bestuderen van de algemene eigenschappen van wiskundige structuren, door het vergelijken van wiskundige objecten waartussen structuurbehoudende afbeeldingen, pijlen of morfismen genoemd, zijn gedefinieerd. Voorbeelden zijn groepen met hun groepshomomorfismen en topologische ruimten met hun continue afbeeldingen. Een dergelijke structuur met objecten en morfismen wordt categorie genoemd. Een van de eenvoudigste voorbeelden van een categorie is die van een groepoïde. Een groepoïde is een belangrijk concept binnen de topologie dat wordt gedefinieerd als een categorie waarvan alle morfismen inverteerbaar zijn. Categorieën werden voor het eerst gebruikt door Samuel Eilenberg en Saunders Mac Lane, maar het was Alexander Grothendieck die de wiskundige gemeenschap overtuigde van de voordelen, morfismen onafhankelijk van hun vorm als afbeeldingen tussen verzamelingen te bekijken. (nl)
- Teoria kategorii – dział matematyki zapoczątkowany w 1945 przez polskiego matematyka Samuela Eilenberga i Amerykanina Saundersa Mac Lane’a. Pewne idee teorii kategorii dojrzewały wcześniej u różnych autorów, głównie w kontekście topologii algebraicznej, pojawiło się m.in. oznaczanie funkcji symbolem Dużą rolę w tych zmianach odegrał polski topolog Witold Hurewicz. Na teorię kategorii można patrzeć rozmaicie. Można uważać ją za wyraźnie określoną teorię matematyczną, mającą swoje pojęcia pierwotne, aksjomaty, definicje, twierdzenia, dowody i bardzo ważne zastosowania w wielu innych działach matematyki, zwłaszcza w algebrze homologicznej, topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej, a także w teorii języków programowania. Można też podejść do teorii kategorii inaczej: jako do pewnej ogólnej metody ujmowania teorii matematycznych, mającej wiele cech algebry, unifikującej – nieraz w nieoczekiwany sposób – pojęcia z różnych dziedzin, konkurującej z podejściem mnogościowym. Punktem wyjścia teorii mnogości są pojęcia: element, zbiór i przynależenie Punktem zaś wyjścia teorii kategorii są wyidealizowane funkcje (odwzorowania), zwane morfizmami lub strzałkami, ich składanie i odwracanie, a same elementy (argumenty bądź wartości funkcji) odgrywają rolę drugorzędną (lub nieraz wcale ich nie ma). Jedną z cech kategoryjnego podejścia jest specyficzne stosowanie diagramów przemiennych. Teoria kategorii może też służyć jako podstawa, w której ramach da się zrekonstruować teorię mnogości i tym samym też niemal całą matematykę; ponadto można użyć środków teorii kategorii do badania logicznych aspektów pewnych teorii matematycznych i informatyki, zarówno z punktu widzenia logiki klasycznej, jak i intuicjonistycznej. Na przestrzeni lat język i sposób rozumowania typowy dla teorii kategorii przeniknęły do wielu innych działów matematyki. (pl)
- Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике.Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий.Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell. Была создана Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом. (ru)
- Na matemática, a teoria das categorias provê uma linguagem interdisciplinar capaz de delinear resultados e construções gerais, separando-os dos específicos a cada área, possibilitando a simplificação e clarificação de demonstrações. A teoria centra-se nos conceitos de categoria, que é uma abstração do conceito de composição de funções, de functor, transformações entre categorias, e de transformação natural, a qual provê um significado preciso para expressões como "natural" e "canônico". O conceito de categorias, functores e transformações naturais, em maior generalidade, foi introduzido por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, em 1945, em seu artigo "General Theory of Natural Equivalences". Nos anos seguintes, a teoria das categorias foi empregada na topologia algébrica e álgebra homológica, por Norman Steenrod, Alexander Grothendieck e outros. Em 1958, descobre o conceito de functores adjuntos, que, segundo Mac Lane, são "onipresentes na matemática". Desde então, houve diversos desenvolvimentos. Sendo de alto nível de abstração, é recomendada, antes do estudo de teoria das categorias, familiaridade de conceitos básicos de álgebra linear, álgebra abstrata e topologia, por exemplo. (pt)
- Kategoriteori är en gren av den moderna matematiken. Kategorier definierades först 1945 av Samuel Eilenberg och Saunders MacLane i samband med studier av relationen mellan topologi och algebra. Teorin är nu ett självständigt område med tillämpningar inte bara inom algebraisk topologi utan även algebraisk geometri, teoretisk datavetenskap och teoretisk fysik. En (lokalt liten) kategori ges av två data: en klass av objekt och, för varje par av objekt X och Y, en mängd av morfismer eller morfier från X till Y. Morfismer illustreras ofta som pilar mellan dessa objekt. Detta beteckningssätt kommer sig av att ofta objekten i kategorin består av mängder med någon extra , och morfismerna består av funktioner mellan objekt som uppfyller något villkor med avseende på strukturerna. Dock behöver objekt i kategorier inte bestå av mängder, och morfismerna kan inte nödvändigtvis tolkas som funktioner. (sv)
- Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, незалежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти сполучені морфізмами (стрілками). Теорія категорій посідає центральне місце в сучасній математиці, а також має застосування в інформатиці та теоретичній фізиці.Сучасне викладання алгебричної геометрії та гомологічної алгебри основане на теорії категорії. Поняття теорії категорій використане в мові функційного програмування Haskell. (uk)
- 範疇論（英語：Category theory）是數學的一門學科，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。 範疇最容易理解的一個例子為集合範疇，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。 範疇最簡單的例子之一為广群，其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現，在理論電腦科學的某些領域中用于對應資料型別，而在數學物理中被用來描述向量空間。 範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「一般化的抽象廢話」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- نظرية الفئة أو نظرية الفئات (بالإنجليزية: Category Theory) في الرياضيات، وتتناول البنى الرياضية المختلفة بطريقة مجردة لتدرس خصائصها الأساسية والعلاقات المتبادلة فيما بينها وهي شديدة الصلة مع الطوبولوجيا الجبرية خصوصا في بداية نشأتها عندما تأسست من قبل صموئيل إيلينبرغ Samuel Eilenberg وسوندرز ماكلين في عام 1945. تظهر الفئات في جميع فروع الرياضيات وبعض فروع علم الحاسوب النظري والفيزياء الرياضية. (ar)
- La teoria de categories és una branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les estructures matemàtiques i llurs relacions. Les categories avui dia s'usen com a noció unificadora en la major part de les branques de la matemàtica i en algunes àrees de les ciències de la computació i física teòrica. Foren proposades per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane en el període 1942-1945, en connexió amb la topologia algebraica. (ca)
- Teorie kategorií je odvětví matematiky zobecňující pohled na matematické struktury a vztahy mezi nimi. Proto je považována za sjednocující teorii, která umožňuje zkoumat spojitosti mezi různými disciplínami, jako jsou například mnohá odvětví matematiky, některé oblasti teoretické informatiky a matematické fyziky. (cs)
- La teoría de categorías es un estudio matemático que trata de axiomatizar de forma abstracta diversas estructuras matemáticas como una sola, mediante el uso de objetos y morfismos. Al mismo tiempo trata de mostrar una nueva forma de ver las matemáticas sin incluir las nociones de elementos, pertenencia, entre otras. (es)
- La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et leurs relations. L'étude des catégories, très abstraite, fut motivée par l'abondance de caractéristiques communes à diverses classes liées à des structures mathématiques. Les catégories sont utilisées dans la plupart des branches mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et en mathématiques de la physique. Elles forment une notion unificatrice. « La théorie des catégories commence avec l'observation que de nombreuses propriétés des systèmes mathématiques peuvent être unifiées et simplifiées par des dessins avec des flèches. » (fr)
- Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar. (in)
- La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica.Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante.Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni. (it)
- 범주론(範疇論, 영어: category theory)은 수학 용어로, 수학적 구조와 그들 간의 관계를 범주(영어: category)라는 추상적인 개념으로써 다루는 이론이다. 어떠한 '구조'를 가진 대상 및 그 구조를 반영하는 대상 사이의 사상들의 모임이 '범주'를 이룬다. 오늘날 범주는 추상대수학을 비롯하여 수학의 많은 분야를 다루고 있으며, 특히 이론 컴퓨터 과학이나 수학기초론, 수리물리학과의 연관성이 대두되고 있다. 이외에 범주 이론, 권론(圈論), 카테고리 이론 등의 명칭으로도 불린다. (ko)
- 圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。 (ja)
- Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике.Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий.Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell. Была создана Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом. (ru)
- Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, незалежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти сполучені морфізмами (стрілками). Теорія категорій посідає центральне місце в сучасній математиці, а також має застосування в інформатиці та теоретичній фізиці.Сучасне викладання алгебричної геометрії та гомологічної алгебри основане на теорії категорії. Поняття теорії категорій використане в мові функційного програмування Haskell. (uk)
- 範疇論（英語：Category theory）是數學的一門學科，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。 範疇最容易理解的一個例子為集合範疇，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。 範疇最簡單的例子之一為广群，其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現，在理論電腦科學的某些領域中用于對應資料型別，而在數學物理中被用來描述向量空間。 範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「一般化的抽象廢話」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。 (zh)
- Η Θεωρία Κατηγοριών είναι το πεδίο εκείνο των μαθηματικών που εξετάζει τις γενικές ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά των διαφόρων μαθηματικών δομών μέσα από την μελέτη σχέσεων μεταξύ αντικειμένων αυτών των δομών. (el)
- Category theory is a general theory of mathematical structures and their relations that was introduced by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane in the middle of the 20th century in their foundational work on algebraic topology. Nowadays, category theory is used in almost all areas of mathematics, and in some areas of computer science. In particular, many constructions of new mathematical objects from previous ones, that appear similarly in several contexts are conveniently expressed and unified in terms of categories. Examples include quotient spaces, direct products, completion, and duality. (en)
- La teorio de kategorioj aŭ kategorio-teorio estas moderna koncepto, kiu aperis en la jaroj 1940-aj en la artikoloj de kaj . Plej simple esprimite, ĝi estas ĝenerala teorio de strukturoj kaj sistemoj de strukturoj. Fakte, oni povas diri, ke la teorio de kategorioj ne estas aparta matematika fako, sed ilo, kiu utilas en diversaj matematikaj fakoj, aŭ lingvo, per kiu oni povas diskuti strukturojn, kiuj aperas en diversaj fakoj. Al multaj, la teorio de kategorioj estas alternativo al la aroteorio. (eo)
- Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelt wurde; Saunders MacLane nennt seine 1945 in Zusammenarbeit mit Samuel Eilenberg entstandene „General Theory of Natural Equivalences“ (in Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die ersten beiden ursprünglich eingeführt. (de)
- De categorietheorie is een abstract onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met het bestuderen van de algemene eigenschappen van wiskundige structuren, door het vergelijken van wiskundige objecten waartussen structuurbehoudende afbeeldingen, pijlen of morfismen genoemd, zijn gedefinieerd. Voorbeelden zijn groepen met hun groepshomomorfismen en topologische ruimten met hun continue afbeeldingen. Een dergelijke structuur met objecten en morfismen wordt categorie genoemd. (nl)
- Teoria kategorii – dział matematyki zapoczątkowany w 1945 przez polskiego matematyka Samuela Eilenberga i Amerykanina Saundersa Mac Lane’a. Pewne idee teorii kategorii dojrzewały wcześniej u różnych autorów, głównie w kontekście topologii algebraicznej, pojawiło się m.in. oznaczanie funkcji symbolem Dużą rolę w tych zmianach odegrał polski topolog Witold Hurewicz. Na przestrzeni lat język i sposób rozumowania typowy dla teorii kategorii przeniknęły do wielu innych działów matematyki. (pl)
- Na matemática, a teoria das categorias provê uma linguagem interdisciplinar capaz de delinear resultados e construções gerais, separando-os dos específicos a cada área, possibilitando a simplificação e clarificação de demonstrações. A teoria centra-se nos conceitos de categoria, que é uma abstração do conceito de composição de funções, de functor, transformações entre categorias, e de transformação natural, a qual provê um significado preciso para expressões como "natural" e "canônico". (pt)
- Kategoriteori är en gren av den moderna matematiken. Kategorier definierades först 1945 av Samuel Eilenberg och Saunders MacLane i samband med studier av relationen mellan topologi och algebra. Teorin är nu ett självständigt område med tillämpningar inte bara inom algebraisk topologi utan även algebraisk geometri, teoretisk datavetenskap och teoretisk fysik. (sv)
|
