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- In mathematics, blowing up or blowup is a type of geometric transformation which replaces a subspace of a given space with all the directions pointing out of that subspace. For example, the blowup of a point in a plane replaces the point with the projectivized tangent space at that point. The metaphor is that of zooming in on a photograph to enlarge part of the picture, rather than referring to an explosion. Blowups are the most fundamental transformation in birational geometry, because every birational morphism between projective varieties is a blowup. The weak factorization theorem says that every birational map can be factored as a composition of particularly simple blowups. The Cremona group, the group of birational automorphisms of the plane, is generated by blowups. Besides their importance in describing birational transformations, blowups are also an important way of constructing new spaces. For instance, most procedures for resolution of singularities proceed by blowing up singularities until they become smooth. A consequence of this is that blowups can be used to resolve the singularities of birational maps. Classically, blowups were defined extrinsically, by first defining the blowup on spaces such as projective space using an explicit construction in coordinates and then defining blowups on other spaces in terms of an embedding. This is reflected in some of the terminology, such as the classical term monoidal transformation. Contemporary algebraic geometry treats blowing up as an intrinsic operation on an algebraic variety. From this perspective, a blowup is the universal (in the sense of category theory) way to turn a subvariety into a Cartier divisor. A blowup can also be called monoidal transformation, locally quadratic transformation, dilatation, σ-process, or Hopf map. (en)
- En mathématiques, un éclatement est un type d'application birationnelle entre (en) ou algébriques qui est un isomorphisme en dehors de sous-variétés propres Le cas le plus simple est celui où D est un point ; E est alors un diviseur isomorphe à un espace projectif. (fr)
- 대수기하학에서 부풀리기(blowup)는 대수다양체나 스킴의 특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다. (ko)
- 数学のブローアップ（英: blowing up, blowup）とは、空間の部分空間をその部分空間を指し示す向き全体の空間に置き換える、一種の幾何学的変換である。例えば平面の点でのブローアップはその点をその点の接ベクトル空間を射影化したものに置き換える。ブローアップにより、空間の点における関数や写像、微分形式の無限小での振る舞いを大域的な現象に変換できる。この言葉が持つ爆発（explosion）という意味を使ってこの幾何学的変換を暗喩しているというよりは、「写真の一部を大きくするために写真上でズームインする」という意味を使って暗喩している。 ブローアップは双有理幾何学における最も基本的な変換である。弱分解定理（The weak factorization theorem）によれば、射影多様体の間のすべての双有理写像はブローアップとその逆演算の合成としてかける。平面の双有理自己同型のなす群であるはブローアップで生成される。 双有理変換を説明するという重要性のほかに、ブローアップは新しい空間を作る重要な方法でもある。例えば、特異点解消のほとんどの方法は滑らかになるまで特異点でブローアップするというものである。さらに、これを使ってブローアップを双有理写像の不確定点を除去するために使うこともできる。 ブローアップは、まず射影空間のような空間上で座標を使って具体的にブローアップを定義し、次に埋め込みを使って他の空間でのブローアップを定義するという、外在的な方法で古くは定義されていた。このことは単項変換（monoidal transformation）といった古典的な用語に現れている。現代の代数幾何学ではブローアップは代数多様体上の内在的な操作として扱う。この観点ではブローアップとは部分代数多様体をカルティエ因子に変換する（圏論的な意味での）普遍的な操作である。 ブローアップは、爆発、単項変換（monoidal transformation; モノイダル変換とも）、局所2次変換（locally quadratic transformation）、dilatation, σ-process, ホップ写像（Hopf map）とも呼ばれる。ブローアップという言葉で、この幾何学的変換を施してできあがった空間を指すことも多い。 (ja)
- Em matemática, explosão ou expansão (do inglês blowing up ou blowup) é um tipo de transformação geométrica que substitui um subespaço de um espaço por todas as direções apontando para fora daquele subespaço. Por exemplo, a explosão de um ponto em um plano substitui o ponto pelo espaço tangente projetivizado naquele ponto. A metáfora é a de dar zoom em uma fotografia para ampliar uma parte da imagem, e não a de uma explosão. Explosões são as transformações mais importantes em geometria birracional, porque todo morfismo birracional entre é uma explosão. O diz que a toda aplicação birracional pode ser considerada como uma composição de explosões particularmente simples. O grupo de Cremona, que é o grupo dos automorfismos birracionais do plano, é gerado por explosões. Além de sua importância na descrição de transformações birracionais, explosões também são uma importante forma de construção de novos espaços. Por exemplo, a maioria dos procedimentos para a consiste na aplicação de várias explosões seguidas na singularidade, até que estas se tornem suaves. Uma consequência disso é que blowups podem ser usados para resolver as singularidades de aplicações birracionais. Classicamente, blowups foram definidos extrinsecamente, primeiro definindo a explosão em espaços como o espaço projetivo usando uma construção explícita em coordenadas e, em seguida, definindo blowups em outros espaços em termos de uma imersão. Isso se reflete em parte da terminologia, como o termo clássico . A geometria algébrica contemporânea trata a explosão como uma operação intrínseca em uma variedade algébrica. Desta perspectiva, uma explosão é a maneira universal (no sentido da teoria das categorias) de transformar uma subvariedade em um . Um blowup também pode ser chamado de transformação monoidal, transformação localmente quadrática, dilatação, σ-processo ou aplicação de Hopf. (pt)
- Роздуття (також сигма-процес або моноїдальне перетворення) — операція в алгебричній геометрії. У найпростішому випадку воно, грубо кажучи, полягає в заміненні точки множиною всіх прямих, що проходять через неї. (uk)
- 在數學中，拉開（法文：éclatement，英文：blowing up）、單項變換或σ-過程是一種幾何的操作，代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形 上一點 的拉開是將該點換為該點法叢的，或者具體地說是換為該點切空間的射影空間，從而得到拉開態射 ，這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。 當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作，然而拉開也有外在的描述法，例如取一平面曲線，並對它所處的射影平面作某類變換；這是古典的進路，其想法至今仍反映於用語上。 (zh)
- Разду́тие (называемое Тюриным сигма-процессом, а Маниным моноидальным преобразованием) — операция в алгебраической геометрии. В простейшем случае оно, грубо говоря, состоит в замене точки на множество всех прямых, проходящих через неё. (ru)
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- En mathématiques, un éclatement est un type d'application birationnelle entre (en) ou algébriques qui est un isomorphisme en dehors de sous-variétés propres Le cas le plus simple est celui où D est un point ; E est alors un diviseur isomorphe à un espace projectif. (fr)
- 대수기하학에서 부풀리기(blowup)는 대수다양체나 스킴의 특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다. (ko)
- Роздуття (також сигма-процес або моноїдальне перетворення) — операція в алгебричній геометрії. У найпростішому випадку воно, грубо кажучи, полягає в заміненні точки множиною всіх прямих, що проходять через неї. (uk)
- 在數學中，拉開（法文：éclatement，英文：blowing up）、單項變換或σ-過程是一種幾何的操作，代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形 上一點 的拉開是將該點換為該點法叢的，或者具體地說是換為該點切空間的射影空間，從而得到拉開態射 ，這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。 當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作，然而拉開也有外在的描述法，例如取一平面曲線，並對它所處的射影平面作某類變換；這是古典的進路，其想法至今仍反映於用語上。 (zh)
- Разду́тие (называемое Тюриным сигма-процессом, а Маниным моноидальным преобразованием) — операция в алгебраической геометрии. В простейшем случае оно, грубо говоря, состоит в замене точки на множество всех прямых, проходящих через неё. (ru)
- In mathematics, blowing up or blowup is a type of geometric transformation which replaces a subspace of a given space with all the directions pointing out of that subspace. For example, the blowup of a point in a plane replaces the point with the projectivized tangent space at that point. The metaphor is that of zooming in on a photograph to enlarge part of the picture, rather than referring to an explosion. A blowup can also be called monoidal transformation, locally quadratic transformation, dilatation, σ-process, or Hopf map. (en)
- 数学のブローアップ（英: blowing up, blowup）とは、空間の部分空間をその部分空間を指し示す向き全体の空間に置き換える、一種の幾何学的変換である。例えば平面の点でのブローアップはその点をその点の接ベクトル空間を射影化したものに置き換える。ブローアップにより、空間の点における関数や写像、微分形式の無限小での振る舞いを大域的な現象に変換できる。この言葉が持つ爆発（explosion）という意味を使ってこの幾何学的変換を暗喩しているというよりは、「写真の一部を大きくするために写真上でズームインする」という意味を使って暗喩している。 ブローアップは双有理幾何学における最も基本的な変換である。弱分解定理（The weak factorization theorem）によれば、射影多様体の間のすべての双有理写像はブローアップとその逆演算の合成としてかける。平面の双有理自己同型のなす群であるはブローアップで生成される。 双有理変換を説明するという重要性のほかに、ブローアップは新しい空間を作る重要な方法でもある。例えば、特異点解消のほとんどの方法は滑らかになるまで特異点でブローアップするというものである。さらに、これを使ってブローアップを双有理写像の不確定点を除去するために使うこともできる。 (ja)
- Em matemática, explosão ou expansão (do inglês blowing up ou blowup) é um tipo de transformação geométrica que substitui um subespaço de um espaço por todas as direções apontando para fora daquele subespaço. Por exemplo, a explosão de um ponto em um plano substitui o ponto pelo espaço tangente projetivizado naquele ponto. A metáfora é a de dar zoom em uma fotografia para ampliar uma parte da imagem, e não a de uma explosão. Um blowup também pode ser chamado de transformação monoidal, transformação localmente quadrática, dilatação, σ-processo ou aplicação de Hopf. (pt)
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