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- Die Abbildungsklassengruppe eines Raumes ist die Gruppe der „Symmetrien“ (Klassen von Abbildungen) dieses Raumes. Dabei werden Abbildungen, die sich stetig ineinander deformieren lassen, als jeweils eine Klasse von Abbildungen angesehen. Formaler betrachtet man alle Homöomorphismen (stetige Selbstabbildungen, die eine stetige Umkehrabbildung besitzen) eines Raumes . Man sagt, dass zwei Homöomorphismen zur selben Isotopieklasse gehören bzw. isotop sind, wenn es eine stetige Abbildung mit für alle und gibt. Diese Isotopieklassen von Homöomorphismen bilden mit der (wohldefinierten) Verknüpfung von Homöomorphismen eine Gruppe und diese wird als Abbildungsgruppe oder bezeichnet. Im Kontext orientierbarer Mannigfaltigkeiten betrachtet man nur die Isotopieklassen orientierungserhaltender Homöomorphismen. (Die Gruppe aller Isotopieklassen wird dann als erweiterte Abbildungsklassengruppe bezeichnet.) Im Fall von Mannigfaltigkeiten mit Rand betrachtet man nur diejenigen Homöomorphismen, die den Rand punktweise fest lassen und erlaubt auch nur solche Isotopien. Man kann dann also formal definieren , wobei die kompakt-offene Topologie trägt und die -te Homotopiemenge (also die Menge der Wegzusammenhangskomponenten) bezeichnet. Meist, insbesondere in gruppentheoretischem Kontext, sind Abbildungsklassengruppen von orientierbaren Flächen gemeint, wenn von „Abbildungsklassengruppen“ die Rede ist. Dieser Artikel behandelt im Weiteren ausschließlich Abbildungsklassengruppen von orientierbaren Flächen. (de)
- En mathématiques, une difféotopie est une classe d'équivalence pour la relation d’isotopie entre difféomorphismes sur une variété différentielle. Plus explicitement, étant donnés deux difféomorphismes sur une telle variété M, c’est-à-dire deux applications φ0, φ1 : M → M différentiables et bijectives avec des réciproques différentiables, on dit que ces difféomorphismes sont isotopes s’il existe une famille de difféomorphismes φt pour t ∈ ]0, 1[ telle que Φ : (t, x) ↦ φt(x) définisse une application différentiable sur [0, 1] × M. L’ensemble des difféotopies (préservant le bord) sur une surface connexe compacte et orientée est un groupe souvent appelé sous sa dénomination en anglais mapping class group. Pour une surface Σ on trouve la notation avec un « M » gothique 𝔐(Σ). À l’aide de la classification des surfaces compactes, il peut aussi être noté Γg,n pour une surface de genre g avec n composantes de bord. Une homéotopie est une classe d’équivalence pour la relation d’isotopie entre homéomorphismes. Cette notion est en général plus large que celle de difféotopie, mais coïncide dans le cas d’une variété de dimension 2. (fr)
- In mathematics, in the subfield of geometric topology, the mapping class group is an important algebraic invariant of a topological space. Briefly, the mapping class group is a certain discrete group corresponding to symmetries of the space. (en)
- In matematica, e più precisamente in topologia, il mapping class group (letteralmente, gruppo delle classi di applicazioni) è un importante invariante algebrico di uno spazio topologico. Detto brevemente, è un di "simmetrie" dello spazio. (it)
- 위상수학에서 사상류군(寫像類群, 영어: mapping class group)은 어떤 위상 공간의 자기 위상 동형들의 호모토피류들로 구성된 군이다. (ko)
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- In mathematics, in the subfield of geometric topology, the mapping class group is an important algebraic invariant of a topological space. Briefly, the mapping class group is a certain discrete group corresponding to symmetries of the space. (en)
- In matematica, e più precisamente in topologia, il mapping class group (letteralmente, gruppo delle classi di applicazioni) è un importante invariante algebrico di uno spazio topologico. Detto brevemente, è un di "simmetrie" dello spazio. (it)
- 위상수학에서 사상류군(寫像類群, 영어: mapping class group)은 어떤 위상 공간의 자기 위상 동형들의 호모토피류들로 구성된 군이다. (ko)
- Die Abbildungsklassengruppe eines Raumes ist die Gruppe der „Symmetrien“ (Klassen von Abbildungen) dieses Raumes. Dabei werden Abbildungen, die sich stetig ineinander deformieren lassen, als jeweils eine Klasse von Abbildungen angesehen. , wobei die kompakt-offene Topologie trägt und die -te Homotopiemenge (also die Menge der Wegzusammenhangskomponenten) bezeichnet. Meist, insbesondere in gruppentheoretischem Kontext, sind Abbildungsklassengruppen von orientierbaren Flächen gemeint, wenn von „Abbildungsklassengruppen“ die Rede ist. (de)
- En mathématiques, une difféotopie est une classe d'équivalence pour la relation d’isotopie entre difféomorphismes sur une variété différentielle. Plus explicitement, étant donnés deux difféomorphismes sur une telle variété M, c’est-à-dire deux applications φ0, φ1 : M → M différentiables et bijectives avec des réciproques différentiables, on dit que ces difféomorphismes sont isotopes s’il existe une famille de difféomorphismes φt pour t ∈ ]0, 1[ telle que Φ : (t, x) ↦ φt(x) définisse une application différentiable sur [0, 1] × M. (fr)
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