About: Model theory

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In mathematical logic, model theory is the study of the relationship between formal theories (a collection of sentences in a formal language expressing statements about a mathematical structure), and their models (those structures in which the statements of the theory hold). The aspects investigated include the number and size of models of a theory, the relationship of different models to each other, and their interaction with the formal language itself. In particular, model theorists also investigate the sets that can be defined in a model of a theory, and the relationship of such definable sets to each other.As a separate discipline, model theory goes back to Alfred Tarski, who first used the term "Theory of Models" in publication in 1954.Since the 1970s, the subject has been shaped deci

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  • في الرياضيات، نظرية النموذج هي دراسة تمثيلات المصطلحات الرياضية في إطار نظرية المجموعات، أو دراسة النماذج المضمرة تحت . تفترض النظرية أن هناك أغراضا رياضية مسبقة الوجود في الخارج محاولة أن تطرح أسئلة حول كيفية وماهية المبرهنات التي يمكن برهنتها بوجود هذه الأغراض أو الكائنات الرياضية وبعض العمليات أو العلاقات بين الأغراض مع مجموعة من المسلمات axioms. (ar)
  • La teoria de models és la branca de la matemàtica que estudia les estructures matemàtiques, com ara els grups, els cossos, els grafs o àdhuc els models de la teoria de conjunts, amb les eines de la lògica matemàtica. Està estretament relacionada amb l'àlgebra i l'àlgebra universal. Els seus objectes d'estudi són models de teories en un llenguatge formal. Hom diu que un conjunt d'enunciats en un llenguatge formal és una teoria; un model d'una teoria és una estructura (p. ex., una interpretació) que satisfà els enunciats d'aquesta teoria. La teoria de models està íntimament lligada amb una dualitat: examina els elements semàntics (significat i veritat) mitjançant els elements sintàctics (fórmules i demostracions) del llenguatge. Citant la primera pàgina de : àlgebra universal + lògica = teoria de models. La teoria de models es va desenvolupar ràpidament durant la dècada de 1990, i en va donar una definició més moderna (1997): teoria de models = geometria algebraica − cossos, encara que els estudiosos de la teoria de models també estan interessats en l'estudi d'altres àrees, entre les quals es troben la combinatòria, la teoria de nombres, la dinàmica de l'aritmètica, les funcions analítiques i l'. De la mateixa manera que la teoria de la demostració, la teoria de models està situada a cavall entre les matemàtiques, la filosofia i les ciències de la computació. (ca)
  • Teorie modelů je matematická disciplína, která je jedním z podoborů matematické logiky. Zabývá se studiem reprezentace matematických konceptů pomocí pojmů teorie množin a studiem struktur a modelů, jejich vlastností a vzájemných vztahů a také jejich vztahem k pojmům axiomatické teorie a dokazatelnosti. (cs)
  • Στα μαθηματικά, η θεωρία μοντέλων (αγγλ. model theory) μελετά (κλάσεις από) μαθηματικές όπως οι ομάδες, τα , οι γράφοι, ακόμα και τα universes της θεωρίας συνόλων, χρησιμοποιώντας εργαλεία της μαθηματικής λογικής. Μια δομή που αποδίδει σημασία στις προτάσεις μιας τυπικής γλώσσας ονομάζεται για αυτήν τη γλώσσα. Αν ένα μοντέλο μιας γλώσσας ικανοποιεί μια συγκεκριμένη πρόταση ή θεωρία (σύνολο από προτάσεις), τότε λέγεται μοντέλο της πρότασης ή θεωρίας. Η θεωρία μοντέλων έχει στενή σχέση με την άλγεβρα και την . Το παρακάτω άρθρο ασχολείται με την περιορισμένη (finitary) πρωτοβάθμια θεωρία μοντέλων των άπειρων δομών. Η , που επικεντρώνεται στις πεπερασμένες δομές, αποκλίνει σημαντικά από τη μελέτη των άπειρων δομών, τόσο όσον αφορά τα προβλήματα που μελετώνται, όσο και στις τεχνικές που χρησιμοποιούνται. Η θεωρία μοντέλων λογικών ανώτερου βαθμού ή απεριόριστων λογικών (infinitary logics) εμποδίζεται από το γεγονός ότι η δεν ισχύει σε αυτές τις λογικές. Παρά τα παραπάνω, έχει γίνει σημαντική μελέτη πάνω σε τέτοιες γλώσσες. (el)
  • En matematiko, teorio de modeloj aŭ model-teorio aŭ modelo-teorio estas la studo de la prezento de matematikaj konceptoj per terminoj de aroteorio, aŭ la studo de la modeloj, kiuj subkuŝas matematikajn sistemojn. Ĝia premiso estas, ke estas iuj antaŭ-ekzistantaj matematikaj objektoj malsubjektive, kaj ĝi instigas demandojn pri tio, kiel aŭ kio povas esti pruvita - se estas donitaj la objektoj, iuj operacioj aŭ rilatoj inter la objektoj, kaj aro de aksiomoj. La sendependeco de la aksiomo de elekto kaj la kontinuaĵa hipotezo de la aliaj aksiomoj de aroteorio (kiujn pruvis kaj Kurt Gödel) estas la du plej famaj rezultoj, kiuj rezultas el la model-teorio. Estas pruvite, ke la aksiomo de elekto - same kiel ĝia nego anstataŭe - estas logike ebla kune kun la aksiomoj de ; la sama rezulto validas por la kontinuaĵa hipotezo. Ĉi tiuj rezultoj estas aplikoj de modelo-teoriaj metodoj al aksioma aroteorio. Ekzemplojn de la konceptoj de model-teorio provizas la teorio de la reelaj nombroj. Oni komencu per aro de individuoj, kie ĉiu individuo estas reela nombro, kaj aro de rilatoj kaj/aŭ funkcioj, kiel { ×, +, −, ., 0, 1 }. Kiam oni demandas, ekzemple, "∃ y (y × y = 1 + 1)" en ĉi tiu lingvo, tiam estas klare, ke tiu propozicio estas vera, se y estu el la reelaj nombroj - ekzistas tia reela nombro y, nome la kvadrata radiko de 2; tamen se y estu el la racionalaj nombroj, do la propozicio estas malvera kun ĉiu nombro el la racionalaj nombroj. Simila propozicio, "∃ y (y × y = 0 − 1)", estas malvera en la reelaj nombroj, sed estas vera en la kompleksaj nombroj, kie i × i = 0 − 1. Model-teorio do koncernas la demandon pri tio, kio estas demonstrebla en donitaj matematikaj sistemoj, kaj kiel ĉi tiuj sistemoj rilatas unu al la alia. Ĝi aparte koncernas la demandon pri tio, kio okazas, kiam oni provas etendi iun sistemon per la aldono de novaj aksiomoj aŭ novaj lingvaj konstruoj. (eo)
  • Die Modelltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Inhalt der Modelltheorie sind die Beziehungen zwischen den rein formalen Ausdrücken einer Sprache (syntaktische Ebene) und deren Bedeutung (semantische Ebene). Diese Beziehung wird über sogenannte Interpretationen und eine als Erfüllungsrelation bezeichnete mathematische Relation hergestellt. Ganz allgemein gesprochen beschäftigt sich die Modelltheorie mit der Konstruktion und der Klassifikation von allen (möglichen) Strukturen und Klassen von Strukturen, im Besonderen mit solchen Strukturen, die axiomatisierbaren Sprachen oder Theorien entsprechen. Dabei geht es u. a. um die Aufgabe, Modelle für ein vorgegebenes Axiomensystem zu konstruieren -- oft geht es um Modelle mit zusätzlichen Eigenschaften, die im Axiomensystem aber nicht spezifiziert werden können, z. B. die Kardinalität des Modells. Weiterhin beschäftigt sich die Modelltheorie mit der Äquivalenz von Modellen, etwa der Frage, ob in ihnen die gleichen Aussagen gelten, und der Frage, wie viele (nichtisomorphe) Modelle eines Axiomensystems es gibt. (de)
  • En matemática, teoría de modelos es el estudio de (clases de) estructuras matemáticas tales como grupos, cuerpos, grafos, o incluso universos de teoría de conjuntos, en relación con las teorías axiomáticas y la lógica matemática. La teoría de modelos permite atribuir una interpretación semántica a las expresiones puramente formales de los lenguajes formales. Además permite estudiar en sí mismos los conjuntos de axiomas, su completitud, consistencia, independencia mutua, y permiten introducir un importante número de cuestiones metalógicas. Al mismo tiempo los lenguajes en los que se ha estructurado la noción de verdad y de los que habla la teoría de modelos son, por lo general, sistemas matemáticos. Las «cosas» representadas en dichos lenguajes son también sistemas matemáticos. Por esto, la teoría de modelos es una teoría semántica que pone en relación unos sistemas matemáticos con otros sistemas matemáticos. Dicha teoría nos proporciona algunas pistas con respecto a aquella semántica que pone en relación los lenguajes naturales con la realidad. Sin embargo, ha de tenerse siempre presente que no hay ningún sustituto matemático para los problemas genuinamente filosóficos. Y el problema de la verdad es un problema netamente filosófico. Padilla Gálvez, Jesús Padilla Gálvez (2007). Verdad y demostración. Plaza y Valdés. p. 229. ISBN 9788496780194. OCLC 427520428. Consultado el 28 de febrero de 2019. (es)
  • La théorie des modèles est une branche de la logique mathématique qui traite de la construction et de la classification des structures. Elle définit en particulier les modèles des théories axiomatiques, l'objectif étant d'interpréter les structures syntaxiques (termes, formules, démonstrations...) dans des structures mathématiques (ensemble des entiers naturels, groupes, univers...) de façon à leur associer des concepts de nature sémantique (comme le sens ou la vérité). (fr)
  • In mathematical logic, model theory is the study of the relationship between formal theories (a collection of sentences in a formal language expressing statements about a mathematical structure), and their models (those structures in which the statements of the theory hold). The aspects investigated include the number and size of models of a theory, the relationship of different models to each other, and their interaction with the formal language itself. In particular, model theorists also investigate the sets that can be defined in a model of a theory, and the relationship of such definable sets to each other.As a separate discipline, model theory goes back to Alfred Tarski, who first used the term "Theory of Models" in publication in 1954.Since the 1970s, the subject has been shaped decisively by Saharon Shelah's stability theory. Compared to other areas of mathematical logic such as proof theory, model theory is often less concerned with formal rigour and closer in spirit to classical mathematics.This has prompted the comment that "if proof theory is about the sacred, then model theory is about the profane".The applications of model theory to algebraic and diophantine geometry reflect this proximity to classical mathematics, as they often involve an integration of algebraic and model-theoretic results and techniques. The most prominent scholarly organization in the field of model theory is the Association for Symbolic Logic. (en)
  • Dalam matematika, teori model adalah studi tentang hubungan antara (kumpulan dalam bahasa formal mengungkapkan pernyataan tentang struktur matematika), dan modelnya, diambil sebagai yang memenuhi kalimat teori tersebut. (in)
  • 수리 논리학에서 모형 이론(模型理論, 영어: model theory)은 추상대수학이나 집합론 등의 모형을 이루는 구조를 연구하는 분야이다. 모델 이론, 모형론, 모델론이라고도 한다. (ko)
  • La teoria dei modelli è una branca della matematica, e più precisamente della logica, che affronta lo studio generalizzato del concetto di modello, in riferimento alle relazioni tra varie strutture ed in particolare alla soddisfacibilità di date teorie. (it)
  • モデル理論(もでるりろん、英 : Model theory)は、数理論理学による手法を用いて数学的構造(例えば、群、体、グラフ、集合論の宇宙)を研究(分類)する数学の分野である。 モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与えるとしてのモデルである。もし言語のモデルがある特定のまたは(特定の条件を満足する文の集合)を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。 モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。 この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。完全性は高階述語論理または無限論理において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。しかしながら、研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。 (ja)
  • Modeltheorie is een deelgebied van de wiskundige logica en de wiskunde dat handelt over de relaties tussen puur formele uitdrukkingen en hun betekenis. Het gaat in de modeltheorie om de bestudering van de relaties tussen de eigenschappen van een formele theorie en de eigenschappen van een ander wiskundig systeem. Modeltheorie bestudeert kortgezegd wiskundige modellen. Het baanbrekend werk op dit gebied is in de jaren 1920 en 1930 verricht door Kurt Gödel, Thoralf Skolem en Alfred Tarski. De hedendaagse wiskunde en wiskundige natuurkunde maken intensief gebruik van de abstracte algebra, de theoretische natuurkunde maakt bijvoorbeeld gebruik van Lie-algebra's. Vakgebieden zoals de algebraïsche getaltheorie, algebraïsche topologie en de algebraïsche meetkunde passen algebraïsche methoden toe op andere gebieden van de wiskunde. Representatietheorie haalt ruwweg gesproken het 'abstracte' uit de 'abstracte algebra' en bestudeert de concrete kant van een gegeven algebraïsche structuur. Dit is verwant aan modeltheorie. (nl)
  • Teoria modeli (nazywana też semantyką logiczną) – dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy. (pl)
  • Na matemática, Teoria de Modelos é o estudo da representação de conceitos matemáticos em termos de teoria de conjuntos, ou o estudo de modelos que apoiam . É assumido que existem alguns objetos matemáticos pré-existentes e investiga-se o que pode ser concluído de tal coleção de objetos, algumas operações e/ou relações entre estes objetos e alguns axiomas. A independência do axioma da escolha e da hipótese do contínuo dos outros axiomas de teoria dos conjuntos (provada por Paul Cohen e Kurt Gödel) são os dois resultados mais famosos fornecidos pela teoria de modelos. Foi provado que tanto o axioma da escolha quanto sua negação são consistentes com os axiomas de Zermelo-Fraenkel da teoria dos conjuntos; resultado similar vale para a hipótese do contínuo. No caso dos números reais, pode-se começar com um conjunto de elementos, onde cada indivíduo é um número, e um conjunto de relações, tal como {×,+,-,.,0,1}. Se nós perguntarmos algo como "∃ x (x × x = 1 + 1)" nesta linguagem, então é fácil ver que a resposta é positiva nos reais, mas é negativa nos racionais. Entretanto, este modelo não é grande o suficiente para que "∃ x (x × x = 0 - 1)" seja verdadeira nele; para isto adicionamos o símbolo "i" definido como a constante que deve ser adicionada à linguagem para satisfazer "∃ x (x × x = 0 - 1)". Teoria de Modelos então está preocupada com o que pode ser provado em determinados sistemas matemáticos, e como estes sistemas se relacionam uns com os outros. Em particular, se quer saber o que acontece quando tentamos estender algum sistema pela adição de novos axiomas ou novas construções de linguagem. Restringindo a cardinalidade dos modelos e observando que fatos sendo verdadeiros para permitir que o teorema da compacidade seja usado, mostrando que algum teorema é verdadeiro numa cardinalidade maior. Um modelo é definido formalmente no contexto de alguma linguagem L (ou alguma assinatura). Um modelo é formado por duas partes: 1. * Um universo U, que é um conjunto que contém os objetos de interesse, e 2. * Uma interpretação que define o significado semântico de todos os símbolos de constantes, relações e funções da linguagem. Uma teoria é definida como um conjunto de sentenças que são consistentes; em geral é também exigido que o conjunto seja fechado para consequencia lógica. Nesta definição, uma teoria é um conjunto consistente maximal de sentenças. Completude em Teoria de Modelos é definida como a propriedade de que toda sentença numa linguagem pode ser provada ou refutada (ou seja, dado uma sentença, é sempre possível provrar que ela é verdadeira ou falsa). Teorias completas são interessantes pois descrevem completamente algum modelo. O Teorema da Compacidade afirma que um conjunto de sentenças S é satisfatível, i.e. tem um modelo, se todo subconjunto finito de S é satisfatível. No contexto de teoria da prova a recíproca é trivial, já que toda prova pode ter apenas um número finito de antecedentes usados na prova; entretanto, no contexto de Teoria de Modelos, esta prova é mais difícil. Existem duas provas bastante conhecidas, uma de Gödel e outra de . Teorema da equivalência elementar (Teoremas de Lowenheim-Skolem) e teste de Vaught. Extensões, Incorporações e Diagramas. Teoremas de Lowenheim-Skolem para cima e para baixo. Para dar um sabor, mencionar os hiperreais seria bom. (Tudo isso precisa de preenchimento substancial) Observação: O termo 'modelo matemático' é também usado de maneira mais informal em outras áreas da matemática e de outras ciências, como a Física, a Hidráulica, a Hidrologia para designar equações ou sistemas de equações ou métodos para cálculos de variáveis. (pt)
  • Modellteori är ett stort ämnesområde med många delområden som alla på ett eller annat sätt handlar om studiet av modeller (strukturer) såsom dessa definieras inom logik. Modellteorin är en gren av den matematiska logiken och har därför kopplingar både till andra delar av matematiken och till delar av filosofin. Modellteori är också sporadiskt användbart i datalogi och lingvistik. En modell är en mängd tillsammans med ett antal relationer och funktioner på denna mängd. Till en modell kan associeras ett första ordningens språk, vars formler får en tolkning i modellen och därigenom ett sanningsvärde. Exempel på modeller är flera av de algebraiska strukturer som studerar i matematiken, till exempel ringar, kroppar och grupper. Ett påstående P i ett formellt språk sägs vara sant i en modell A om tolkningen av symbolerna i P är sådana att den tolkade satsen är sann i A. Samma påstående P kan samtidigt vara falskt i en annan modell B på grund av att den tolkar symbolerna annorlunda. Mängden av alla satser som är sanna i en modell A kallas för teorin för A. (sv)
  • Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Альфредом Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона. (ru)
  • Тео́рія моде́лей — розділ математичної логіки, який займається вивченням зв'язку між формальними мовами та їх інтерпретаціями, або моделями. Назву теорія моделей вперше запропонував Альфред Тарський у 1954 році. Основний розвиток теорія моделей отримала в працях Тарського, Мальцева та . (uk)
  • 模型论(英語:Model theory)一般是指数学中集合论的论述角度对数学概念表现(representation)的研究,或者说是对于作为基础的“模型”的研究。粗略地说,该学科假定有一些既存的数学“对象”,然后研究:当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时,可以相应证明出什么,以及如何证明。 比如实数理论中一个模型论概念的例子是:我们从一个任意集合开始,作为集合元素的每个个体都是一个实数,其间有一些关系和(或)函数,例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题,显然该陈述对实数而言成立 - 确实存在这样的一个实数y,即所谓2的平方根;对于有理数,该陈述却并不成立。一个类似的命题,"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立,却在复数中成立,因为i × i = 0 − 1。 模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的,以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。 现在模型论(及其方法)已经广泛地应用于其它数学分支甚至理论计算机与工程计算中。例如用模型论方法证明了代数几何中的。 (zh)
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  • في الرياضيات، نظرية النموذج هي دراسة تمثيلات المصطلحات الرياضية في إطار نظرية المجموعات، أو دراسة النماذج المضمرة تحت . تفترض النظرية أن هناك أغراضا رياضية مسبقة الوجود في الخارج محاولة أن تطرح أسئلة حول كيفية وماهية المبرهنات التي يمكن برهنتها بوجود هذه الأغراض أو الكائنات الرياضية وبعض العمليات أو العلاقات بين الأغراض مع مجموعة من المسلمات axioms. (ar)
  • Teorie modelů je matematická disciplína, která je jedním z podoborů matematické logiky. Zabývá se studiem reprezentace matematických konceptů pomocí pojmů teorie množin a studiem struktur a modelů, jejich vlastností a vzájemných vztahů a také jejich vztahem k pojmům axiomatické teorie a dokazatelnosti. (cs)
  • La théorie des modèles est une branche de la logique mathématique qui traite de la construction et de la classification des structures. Elle définit en particulier les modèles des théories axiomatiques, l'objectif étant d'interpréter les structures syntaxiques (termes, formules, démonstrations...) dans des structures mathématiques (ensemble des entiers naturels, groupes, univers...) de façon à leur associer des concepts de nature sémantique (comme le sens ou la vérité). (fr)
  • Dalam matematika, teori model adalah studi tentang hubungan antara (kumpulan dalam bahasa formal mengungkapkan pernyataan tentang struktur matematika), dan modelnya, diambil sebagai yang memenuhi kalimat teori tersebut. (in)
  • 수리 논리학에서 모형 이론(模型理論, 영어: model theory)은 추상대수학이나 집합론 등의 모형을 이루는 구조를 연구하는 분야이다. 모델 이론, 모형론, 모델론이라고도 한다. (ko)
  • La teoria dei modelli è una branca della matematica, e più precisamente della logica, che affronta lo studio generalizzato del concetto di modello, in riferimento alle relazioni tra varie strutture ed in particolare alla soddisfacibilità di date teorie. (it)
  • モデル理論(もでるりろん、英 : Model theory)は、数理論理学による手法を用いて数学的構造(例えば、群、体、グラフ、集合論の宇宙)を研究(分類)する数学の分野である。 モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与えるとしてのモデルである。もし言語のモデルがある特定のまたは(特定の条件を満足する文の集合)を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。 モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。 この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。完全性は高階述語論理または無限論理において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。しかしながら、研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。 (ja)
  • Teoria modeli (nazywana też semantyką logiczną) – dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy. (pl)
  • Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Альфредом Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона. (ru)
  • Тео́рія моде́лей — розділ математичної логіки, який займається вивченням зв'язку між формальними мовами та їх інтерпретаціями, або моделями. Назву теорія моделей вперше запропонував Альфред Тарський у 1954 році. Основний розвиток теорія моделей отримала в працях Тарського, Мальцева та . (uk)
  • 模型论(英語:Model theory)一般是指数学中集合论的论述角度对数学概念表现(representation)的研究,或者说是对于作为基础的“模型”的研究。粗略地说,该学科假定有一些既存的数学“对象”,然后研究:当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时,可以相应证明出什么,以及如何证明。 比如实数理论中一个模型论概念的例子是:我们从一个任意集合开始,作为集合元素的每个个体都是一个实数,其间有一些关系和(或)函数,例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题,显然该陈述对实数而言成立 - 确实存在这样的一个实数y,即所谓2的平方根;对于有理数,该陈述却并不成立。一个类似的命题,"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立,却在复数中成立,因为i × i = 0 − 1。 模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的,以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。 现在模型论(及其方法)已经广泛地应用于其它数学分支甚至理论计算机与工程计算中。例如用模型论方法证明了代数几何中的。 (zh)
  • La teoria de models és la branca de la matemàtica que estudia les estructures matemàtiques, com ara els grups, els cossos, els grafs o àdhuc els models de la teoria de conjunts, amb les eines de la lògica matemàtica. Està estretament relacionada amb l'àlgebra i l'àlgebra universal. Els seus objectes d'estudi són models de teories en un llenguatge formal. Hom diu que un conjunt d'enunciats en un llenguatge formal és una teoria; un model d'una teoria és una estructura (p. ex., una interpretació) que satisfà els enunciats d'aquesta teoria. àlgebra universal + lògica = teoria de models. (ca)
  • Die Modelltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Inhalt der Modelltheorie sind die Beziehungen zwischen den rein formalen Ausdrücken einer Sprache (syntaktische Ebene) und deren Bedeutung (semantische Ebene). Diese Beziehung wird über sogenannte Interpretationen und eine als Erfüllungsrelation bezeichnete mathematische Relation hergestellt. (de)
  • Στα μαθηματικά, η θεωρία μοντέλων (αγγλ. model theory) μελετά (κλάσεις από) μαθηματικές όπως οι ομάδες, τα , οι γράφοι, ακόμα και τα universes της θεωρίας συνόλων, χρησιμοποιώντας εργαλεία της μαθηματικής λογικής. Μια δομή που αποδίδει σημασία στις προτάσεις μιας τυπικής γλώσσας ονομάζεται για αυτήν τη γλώσσα. Αν ένα μοντέλο μιας γλώσσας ικανοποιεί μια συγκεκριμένη πρόταση ή θεωρία (σύνολο από προτάσεις), τότε λέγεται μοντέλο της πρότασης ή θεωρίας. Η θεωρία μοντέλων έχει στενή σχέση με την άλγεβρα και την . (el)
  • En matematiko, teorio de modeloj aŭ model-teorio aŭ modelo-teorio estas la studo de la prezento de matematikaj konceptoj per terminoj de aroteorio, aŭ la studo de la modeloj, kiuj subkuŝas matematikajn sistemojn. Ĝia premiso estas, ke estas iuj antaŭ-ekzistantaj matematikaj objektoj malsubjektive, kaj ĝi instigas demandojn pri tio, kiel aŭ kio povas esti pruvita - se estas donitaj la objektoj, iuj operacioj aŭ rilatoj inter la objektoj, kaj aro de aksiomoj. (eo)
  • En matemática, teoría de modelos es el estudio de (clases de) estructuras matemáticas tales como grupos, cuerpos, grafos, o incluso universos de teoría de conjuntos, en relación con las teorías axiomáticas y la lógica matemática. La teoría de modelos permite atribuir una interpretación semántica a las expresiones puramente formales de los lenguajes formales. Además permite estudiar en sí mismos los conjuntos de axiomas, su completitud, consistencia, independencia mutua, y permiten introducir un importante número de cuestiones metalógicas. (es)
  • In mathematical logic, model theory is the study of the relationship between formal theories (a collection of sentences in a formal language expressing statements about a mathematical structure), and their models (those structures in which the statements of the theory hold). The aspects investigated include the number and size of models of a theory, the relationship of different models to each other, and their interaction with the formal language itself. In particular, model theorists also investigate the sets that can be defined in a model of a theory, and the relationship of such definable sets to each other.As a separate discipline, model theory goes back to Alfred Tarski, who first used the term "Theory of Models" in publication in 1954.Since the 1970s, the subject has been shaped deci (en)
  • Modeltheorie is een deelgebied van de wiskundige logica en de wiskunde dat handelt over de relaties tussen puur formele uitdrukkingen en hun betekenis. Het gaat in de modeltheorie om de bestudering van de relaties tussen de eigenschappen van een formele theorie en de eigenschappen van een ander wiskundig systeem. Modeltheorie bestudeert kortgezegd wiskundige modellen. Het baanbrekend werk op dit gebied is in de jaren 1920 en 1930 verricht door Kurt Gödel, Thoralf Skolem en Alfred Tarski. (nl)
  • Modellteori är ett stort ämnesområde med många delområden som alla på ett eller annat sätt handlar om studiet av modeller (strukturer) såsom dessa definieras inom logik. Modellteorin är en gren av den matematiska logiken och har därför kopplingar både till andra delar av matematiken och till delar av filosofin. Modellteori är också sporadiskt användbart i datalogi och lingvistik. (sv)
  • Na matemática, Teoria de Modelos é o estudo da representação de conceitos matemáticos em termos de teoria de conjuntos, ou o estudo de modelos que apoiam . É assumido que existem alguns objetos matemáticos pré-existentes e investiga-se o que pode ser concluído de tal coleção de objetos, algumas operações e/ou relações entre estes objetos e alguns axiomas. Um modelo é definido formalmente no contexto de alguma linguagem L (ou alguma assinatura). Um modelo é formado por duas partes: Teorema da equivalência elementar (Teoremas de Lowenheim-Skolem) e teste de Vaught. (pt)
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  • Model theory (en)
  • نظرية النموذج (ar)
  • Teoria de models (ca)
  • Teorie modelů (cs)
  • Θεωρία μοντέλων (el)
  • Modelltheorie (de)
  • Modeloteorio (eo)
  • Teoría de modelos (es)
  • Théorie des modèles (fr)
  • Teori model (in)
  • Teoria dei modelli (it)
  • 모형 이론 (ko)
  • モデル理論 (ja)
  • Teoria dos modelos (pt)
  • Modeltheorie (nl)
  • Teoria modeli (pl)
  • Modellteori (sv)
  • Теорія моделей (uk)
  • Теория моделей (ru)
  • 模型论 (zh)
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