| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, concretament en àlgebra abstracta, una extensió algebraica és una extensió de cossos L/K a la qual cada element del cos més gran L és algebraic sobre el cos K, és a dir, cada element de L és una arrel d'algun polinomi de grau distint de zero amb coeficients en K. Una extensió de cossos que no és algebraica s'anomena , ja que ha de contenir , és a dir, no algebraics. Per exemple, l'extensió de cossos R/Q és transcendent, mentre que les extensions de cossos C/R i Q(√2)/Q són algebraiques. (ca)
- Algebraické nadtěleso je pojem z oboru abstraktní algebry. Nadtěleso L/K se nazývá algebraické, pokud je každý prvek z L algebraický nad K, tedy pokud je každý prvek z L kořenem nějakého mnohočlenu s koeficienty z K. Tělesová rozšíření, která nejsou algebraická, tedy taková, která obsahují nějaký transcendentní prvek, se nazývají transcendentní. Příkladem transcendentního rozšíření je rozšíření R/Q, tedy těleso reálných čísel jako rozšíření tělesa racionálních čísel. Naopak příkladem algebraického rozšíření je rozšíření C/R, tedy těleso komplexních čísel jako tělesové rozšíření tělesa reálných čísel. Všechna transcendentní rozšíření jsou nekonečného stupně a naopak platí, že každé konečné rozšíření je algebraické. Existují ovšem i algebraická rozšíření nekonečného stupně. Příkladem takového rozšíření je těleso všech algebraických čísel nad tělesem čísel racionálních. Těleso, které nemá žádné vlastní algebraické rozšíření, se nazývá algebraicky uzavřené těleso. Příkladem takového tělesa je těleso komplexních čísel. (cs)
- In mathematics, an algebraic extension is a field extension L/K such that every element of the larger field L is algebraic over the smaller field K; that is, if every element of L is a root of a non-zero polynomial with coefficients in K . A field extension that is not algebraic, is said to be transcendental, and must contain transcendental elements, that is, elements that are not algebraic. The algebraic extensions of the field of the rational numbers are called algebraic number fields and are the main objects of study of algebraic number theory. Another example of a common algebraic extension is the extension of the real numbers by the complex numbers. (en)
- In der Algebra heißt eine Körpererweiterung algebraisch, wenn jedes Element von algebraisch über ist, d. h., wenn jedes Element von Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in ist. Körpererweiterungen, die nicht algebraisch sind, also transzendente Elemente enthalten, heißen transzendent. Zum Beispiel sind die Erweiterungen und algebraisch, wohingegen transzendent ist. Ist ein Oberkörper von , dann kann man als -Vektorraum auffassen und seine Dimension bestimmen. Diese Vektorraumdimension wird Grad der Körpererweiterung genannt. Je nachdem, ob dieser Grad endlich oder unendlich ist, nennt man auch die Körpererweiterung endlich oder unendlich. Jede transzendente Erweiterung ist unendlich, also ist jede endliche Erweiterung algebraisch. Es gibt aber auch unendliche algebraische Erweiterungen, zum Beispiel bilden die algebraischen Zahlen eine unendliche Erweiterung von . Ist algebraisch über , dann ist der Ring aller polynomiellen Ausdrücke in über sogar ein Körper. ist eine endliche algebraische Erweiterung von . Solche Erweiterungen, die durch Adjunktion eines einzigen Elements entstehen, heißen einfache Erweiterungen. Ein Körper, der keine echte algebraische Erweiterung besitzt, ist algebraisch abgeschlossen. Sind und Körpererweiterungen, so sind folgende Aussagen äquivalent:
* ist algebraisch.
* und sind algebraisch. (de)
- En álgebra abstracta, una extensión de cuerpo L/K se dice algebraica si cada elemento de L es algebraico sobre K, por ejemplo, si cada elemento de L es una raíz de algún polinomio distinto de cero con coeficientes en K.Las extensiones de cuerpos que no son algebraicas, i.e. que contienen elementos trascendentes, son llamadas transcendentes. R/Q es trascendente, mientras que las extensiones de cuerpos C/R y Q(√2)/Q son algebraicas. (es)
- Dalam aljabar abstrak, L/K disebut aljabar jika setiap elemen L adalah di atas K, yaitu jika setiap elemen L adalah akar dari beberapa polinomial bukan nol dengan K. Ekstensi bidang yang bukan aljabar, yaitu yang berisi , disebut transendental. Misalnya, bidang ekstensi R/Q, yaitu bidang bilangan real sebagai perpanjangan dari bidang bilangan rasional, bersifat transendental, sedangkan bidang ekstensi C/R dan Q(√2)/Q bersifat aljabar, di mana C adalah bidang bilangan kompleks. Semua ekstensi transendental adalah . Ini pada gilirannya menyiratkan bahwa semua ekstensi hingga adalah aljabar. Namun kebalikannya tidak benar: ada perluasan tak terbatas yang bersifat aljabar. Misalnya, bidang semua bilangan aljabar s adalah perpanjangan aljabar tak terhingga dari bilangan rasional. Jika a aljabar berakhir K, maka K[a], himpunan semua polinomial dalam a dengan koefisien dalam K, bukan hanya cincin tetapi juga bidang: perpanjangan aljabar dari K yang telah berakhir derajatnya K. Kebalikannya juga benar, jika K[a] adalah bidang, lalu a aljabar berakhir K. Dalam kasus khusus di mana K = Q adalah bidang bilangan rasional, Q[a] adalah contoh dari . Bidang tanpa ekstensi aljabar yang tepat disebut . Contohnya adalah bidang bilangan kompleks. Setiap bidang memiliki ekstensi aljabar yang ditutup secara aljabar (disebut ), tetapi membuktikan hal ini secara umum memerlukan beberapa bentuk aksioma pilihan. Sebuah ekstensi L/K adalah aljabar jika dan hanya jika setiap sub K, aljabar dari L adalah bidang. (in)
- En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante. Cette approche permet dans un premier temps de pallier les insuffisances de certains corps, par exemple celui des nombres réels quant aux solutions des équations polynomiales. Elle offre enfin une structure adaptée pour mieux comprendre la structure d'un corps. Les extensions algébriques sont le support des analyses qui permettent par exemple de résoudre les problèmes de l'Antiquité comme la duplication du cube, ou la résolution d'équations polynomiales par radicaux décrite dans le théorème d'Abel-Ruffini. (fr)
- 抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。 例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。 すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。 a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。 非自明な代数拡大をもたない体は代数的閉体と呼ばれる。例は複素数体である。すべての体は代数的閉であるような代数拡大をもつ（これは代数的閉包と呼ばれる）が、これを一般に証明するには選択公理が必要である。 拡大 L/K が代数的であることと L のすべての部分 K-代数が体であることは同値である。 (ja)
- In algebra astratta, una estensione di campi è detta algebrica se ogni elemento di è ottenibile come radice di un qualche polinomio a coefficienti in . (it)
- In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, wordt een uitbreiding van het lichaam/veld algebraïsch genoemd als elk element van algebraïsch is over , dat wil zeggen dat ieder element van een nulpunt van een polynoom met coëfficiënten in is. De uitbreiding , het lichaam van de reële getallen als een uitbreiding van het lichaam van de rationale getallen, is bijvoorbeeld transcendent, terwijl de uitbreidingen en wel algebraïsch zijn. is de verzameling van de complexe getallen. (nl)
- Rozszerzenie algebraiczne – w teorii ciał rozszerzenie ciała którego każdy element jest algebraiczny nad Rozważania nad rozszerzeniem ciała o pewien element należący do ciała które samo stanowi rozszerzenie ciała Jerzy Browkin zaczyna od wprowadzenia pewnego homomorfizmu mianowicie takiego, który elementom pierścienia wielomianów przyporządkowywać będzie wartość, jaką dany wielomian przyjmuje po podstawieniu za Formalizując,. Jądrem skonstruowanego w ten sposób homomorfizmu będzie zbiór tych tylko wielomianów z które przyjmują dla zmiennej wartość W dalszym ciągu przywołać należy, że stanowi ciało, a każde ciało jest dziedziną całkowitości. Dowodzi się zaś, że jeśli dany pierścień ilorazowy jest dziedziną całkowitości, to ideał jest pierwszy. Skoro tak, to i jądro rozpatrywanego homomorfizmu musi być ideałem pierwszym. Pierścień wielomianów ma ideały pierwsze w postaci bądź , bądź to ideałów maksymalnych, a każdy ideał tego pierścienia jest główny – skoro więc ma być to jednocześnie ideał maksymalny, będzie on generowany przez pewien wielomian nierozkładalny. W pierwszym przypadku jądrem może być wielomian zerowy. Oznacza to, że żaden inny wielomian nie znika dla elementu Element ten, nie będąc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielominanu, określa się jako przestępny. Homomorfizm będzie wtedy zanurzeniem. Wskazuje się wtedy izomorfizm pomiędzy zbiorem a i podobnie między zbiorem ilorazów elementów tego zbioru z Dowodzi się w takim wypadku, że jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych od co wskazuje na nieskończenie liczną bazę rozszerzenia . W drugim przypadku jądrem będzie ideał generowany przez pewien wielomian nierozkładalny taki, że stanowi jego pierwiastek. Taki element rozszerzenia, będący pierwiastkiem niezerowego wielomianu z pierścienia nazywa się elementem algebraicznym nad tym ciałem. Wobec powyższego każdy wielomian wzięty z jeśli znika po podstawieniu za to należy do jądra Z uwagi na właściwości tegoż jądra musi więc być wielokrotnością Czyni to ten ostatni jedynym nierozkładalnym wielomianem przyjmującym dla wartość . W dalszych rozważaniach korzysta się z twierdzenia o izomorfizmie. Wynika z niego, że izomorficzne w stosunku do siebie są dwa pierścienie, z których pierwszy to a drugi to pierścień ilorazowy przez Jako że oznacza tutaj ideał maksymalny generowany przez drugi pierścień jest ciałem. Wobec izomorfizmu oba pierścienie to ciała. Pamiętając, że przyporządkowuje wielomianowi z jego wartość dla dochodzi się do wniosku, że . Więcej informacji na temat ciała otrzymać można, przedstawiając dowolny wielomian należący do w postaci gdzie stanowi iloraz z dzielenia przez a stanowi resztę z tego dzielenia (i dlatego stopień wielomianu winien być mniejszy od stopnia ). Po podstawieniu w miejsce okazuje się, że się zeruje i Wobec tego pamiętając o warunku nałożonym na stopień Można wykazać jednoznaczność przedstawienia elementów poprzez Oznacza to, że każdy element należący do stanowi kombinację liniową elementów tworzonych poprzez podnoszenie do potęg od do o mniejszej od stopnia Wobec tego zbiór tych potęg elementu stanowić będzie bazę dokonanego rozszerzenia. Ma ona dokładnie tyle elementów, ile wynosił stopień . Z przeanalizowanych przypadków wynika, że w przypadku rozszerzenia ciała o element algebraiczny nad tym ciałem zawsze jest liczbą skończoną. Liczbę tę określa się jako stopień elementu względem ciała . Stopień ten w przeanalizowanym przypadku równa się stopniowi rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu który przyjmuje wartość po podstawieniu doń tego elementu i zwany jest sam wielomianem minimalnym dla tegoż elementu. Powyższe rozważania można rozszerzyć na dowolną liczbę elementów z Dla elementów algebraicznych nad od do i również jest liczbą skończoną. Jeżeli więc dla danego ciała które stanowi rozszerzenie ciała dla dowolnego jego elementu zachodzi druga opisana sytuacja, to znaczy każdy element rzeczonego rozszerzenia jest algebraiczny nad a żaden nie jest przestępny, to wtedy stanowi rozszerzenie algebraiczne . Jak wynika z powyższych rozważań, rozszerzenie algebraiczne jest skończone. Prawdą jest także implikacja w drugą stronę: mianowicie każde rozszerzenie skończone ciała jest zarazem algebraiczne. Jeśli bowiem jest skończone, to dla każdego elementu wziętego z rozszerzenie będzie podciałem Wobec tego nie będzie mogło być większe od które przyjmuje skończoną wartość. W efekcie także będzie miało wartość skończoną. Wobec tego rozszerzenie to będzie podpadać pod drugi z rozważanych przykładów i element będzie algebraiczny nad tym ciałem. Jako że tyczy się to dowolnego elementu wybranego z ciała rozszerzenie musi więc być algebraiczne. (pl)
- Uma extensão algébrica de um corpo é um corpo que é contradomínio de um homomorfismo injetivo , em todo elemento de F é algébrico em E, ou seja, todo elemento é raiz de um polinômio cujos coeficientes são elementos de E. Esta definição é amplamente utilizada nos estudos de polinômios, notavelmente para a teoria de Galois. Note que a imagem de um polinômio por homomorfismo será um polinômio de mesmo grau; seus coeficientes serão imagem dos coeficientes do polinômio inicial: Em particular, se é raiz deste polinômio - sabendo-se que um homomorfismo leva o elemento neutro da soma de um corpo no elemento neutro da soma do outro - logo será raiz do polinômio . (pt)
- 代数扩张（英語：Algebraic extension）是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張L/K被稱作代數擴張，若且唯若L中的每个元素都是某个以K中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有：、。 (zh)
- Алгебраи́ческое расшире́ние — расширение поля , где каждый элемент алгебраичен над , то есть существует аннулирующий многочлен с коэффициентами из , для которого является корнем, то есть . (ru)
- Алгебричне розширення — розширення поля , кожен елемент якого є алгебричним над , тобто існує многочлен з коефіцієнтами з для якого є коренем. Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними.Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En matemàtiques, concretament en àlgebra abstracta, una extensió algebraica és una extensió de cossos L/K a la qual cada element del cos més gran L és algebraic sobre el cos K, és a dir, cada element de L és una arrel d'algun polinomi de grau distint de zero amb coeficients en K. Una extensió de cossos que no és algebraica s'anomena , ja que ha de contenir , és a dir, no algebraics. Per exemple, l'extensió de cossos R/Q és transcendent, mentre que les extensions de cossos C/R i Q(√2)/Q són algebraiques. (ca)
- En álgebra abstracta, una extensión de cuerpo L/K se dice algebraica si cada elemento de L es algebraico sobre K, por ejemplo, si cada elemento de L es una raíz de algún polinomio distinto de cero con coeficientes en K.Las extensiones de cuerpos que no son algebraicas, i.e. que contienen elementos trascendentes, son llamadas transcendentes. R/Q es trascendente, mientras que las extensiones de cuerpos C/R y Q(√2)/Q son algebraicas. (es)
- In algebra astratta, una estensione di campi è detta algebrica se ogni elemento di è ottenibile come radice di un qualche polinomio a coefficienti in . (it)
- In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, wordt een uitbreiding van het lichaam/veld algebraïsch genoemd als elk element van algebraïsch is over , dat wil zeggen dat ieder element van een nulpunt van een polynoom met coëfficiënten in is. De uitbreiding , het lichaam van de reële getallen als een uitbreiding van het lichaam van de rationale getallen, is bijvoorbeeld transcendent, terwijl de uitbreidingen en wel algebraïsch zijn. is de verzameling van de complexe getallen. (nl)
- 代数扩张（英語：Algebraic extension）是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張L/K被稱作代數擴張，若且唯若L中的每个元素都是某个以K中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有：、。 (zh)
- Алгебраи́ческое расшире́ние — расширение поля , где каждый элемент алгебраичен над , то есть существует аннулирующий многочлен с коэффициентами из , для которого является корнем, то есть . (ru)
- Алгебричне розширення — розширення поля , кожен елемент якого є алгебричним над , тобто існує многочлен з коефіцієнтами з для якого є коренем. Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними.Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним. (uk)
- Algebraické nadtěleso je pojem z oboru abstraktní algebry. Nadtěleso L/K se nazývá algebraické, pokud je každý prvek z L algebraický nad K, tedy pokud je každý prvek z L kořenem nějakého mnohočlenu s koeficienty z K. Tělesová rozšíření, která nejsou algebraická, tedy taková, která obsahují nějaký transcendentní prvek, se nazývají transcendentní. Těleso, které nemá žádné vlastní algebraické rozšíření, se nazývá algebraicky uzavřené těleso. Příkladem takového tělesa je těleso komplexních čísel. (cs)
- In der Algebra heißt eine Körpererweiterung algebraisch, wenn jedes Element von algebraisch über ist, d. h., wenn jedes Element von Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in ist. Körpererweiterungen, die nicht algebraisch sind, also transzendente Elemente enthalten, heißen transzendent. Zum Beispiel sind die Erweiterungen und algebraisch, wohingegen transzendent ist. Es gibt aber auch unendliche algebraische Erweiterungen, zum Beispiel bilden die algebraischen Zahlen eine unendliche Erweiterung von . Sind und Körpererweiterungen, so sind folgende Aussagen äquivalent: (de)
- In mathematics, an algebraic extension is a field extension L/K such that every element of the larger field L is algebraic over the smaller field K; that is, if every element of L is a root of a non-zero polynomial with coefficients in K . A field extension that is not algebraic, is said to be transcendental, and must contain transcendental elements, that is, elements that are not algebraic. (en)
- En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante. (fr)
- Dalam aljabar abstrak, L/K disebut aljabar jika setiap elemen L adalah di atas K, yaitu jika setiap elemen L adalah akar dari beberapa polinomial bukan nol dengan K. Ekstensi bidang yang bukan aljabar, yaitu yang berisi , disebut transendental. Misalnya, bidang ekstensi R/Q, yaitu bidang bilangan real sebagai perpanjangan dari bidang bilangan rasional, bersifat transendental, sedangkan bidang ekstensi C/R dan Q(√2)/Q bersifat aljabar, di mana C adalah bidang bilangan kompleks. Sebuah ekstensi L/K adalah aljabar jika dan hanya jika setiap sub K, aljabar dari L adalah bidang. (in)
- 抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。 例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。 すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。 a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。 非自明な代数拡大をもたない体は代数的閉体と呼ばれる。例は複素数体である。すべての体は代数的閉であるような代数拡大をもつ（これは代数的閉包と呼ばれる）が、これを一般に証明するには選択公理が必要である。 (ja)
- Rozszerzenie algebraiczne – w teorii ciał rozszerzenie ciała którego każdy element jest algebraiczny nad Rozważania nad rozszerzeniem ciała o pewien element należący do ciała które samo stanowi rozszerzenie ciała Jerzy Browkin zaczyna od wprowadzenia pewnego homomorfizmu mianowicie takiego, który elementom pierścienia wielomianów przyporządkowywać będzie wartość, jaką dany wielomian przyjmuje po podstawieniu za Formalizując,. Powyższe rozważania można rozszerzyć na dowolną liczbę elementów z Dla elementów algebraicznych nad od do i również jest liczbą skończoną. (pl)
- Uma extensão algébrica de um corpo é um corpo que é contradomínio de um homomorfismo injetivo , em todo elemento de F é algébrico em E, ou seja, todo elemento é raiz de um polinômio cujos coeficientes são elementos de E. Esta definição é amplamente utilizada nos estudos de polinômios, notavelmente para a teoria de Galois. Note que a imagem de um polinômio por homomorfismo será um polinômio de mesmo grau; seus coeficientes serão imagem dos coeficientes do polinômio inicial: (pt)
|
