In mathematics, a fractal is a self-similar subset of Euclidean space whose fractal dimension strictly exceeds its topological dimension. Fractals appear the same at different levels, as illustrated in successive magnifications of the Mandelbrot set. Fractals exhibit similar patterns at increasingly small scales called self-similarity, also known as expanding symmetry or unfolding symmetry; if this replication is exactly the same at every scale, as in the Menger sponge, it is called affine self-similar. Fractal geometry lies within the mathematical branch of measure theory.

Property Value
dbo:abstract
  • الكُسيريات أو الفركتلات (بالإنجليزية: Fractals) هي أشكال هندسية تختلف عن الأشكال الهندسية الأخرى بسبب الطريقة التي تتدرج بها زيادة أو نقصانا. مضاعفة أطوال حافة مضلع يضاعف لها المساحة إلى أربعة، وهو اثنان (النسبة بين الطول الجديد إلى طول الجانب القديم) مرفوعا للقوة (أس) اثنين ( مساحة المضلع ).وبالمثل، إذا تضاعف نصف قطر الكرة، فإن حجم الكرة يقفز إلى ثمانية أضعاف، والتي هي اثنين (نسبة القطر الجديد إلى القديم) مرفوعا إلى القوة ثلاثة (المساحة التى تشغلها الكرة). ولكن إذا تم مضاعفة الأطوال الفركتلية ذات البعد الواحد فقط، فإن المحتوى المكاني للجداول الكسورية من قبل الأس الذي ليس بالضرورة أن يكون واحدا صحيح. وتسمى هذه القوة أو الأس البعد كسيري للفراكتل، وعادة ما يتجاوز البعد الطوبوغرافي . مثل المعادلات الرياضية،فإن الفركتلات عادة ما تكون أي مكان. ويمكن تصور المنحنى الكسورية اللانهائي بأنه يكون ملتفا عبر الفضاء بشكل مختلف عن الخط العادي، لا يزال كونه وهو الخط لديه بعدا كسوريا مشيرا إلى أنه يشبه أيضا سطح. رياضية تم الرجوع إلى مفهوم الفركتلات على مر السنين كمسار رسمي من المصنفات المنشورة، بدءا من القرن ال17 مع مفاهيم استدعاء ذاتي، ثم تتحرك من خلال معالجة رياضية صارمة لمفهوم دراسة متواصلة ولكن ليست في القرن ال19، وإلى صياغة لل كلمة كسورية في القرن ال20 مع ازدهار لاحق من الاهتمام في فركتلات والنمذجة القائم على الحاسوب في القرن ال21. وقد استخدم مصطلح "كسورية" أول مرة من قبل عالم الرياضيات بونوا ماندلبرو في عام 1975. ماندلبروت قام باشتقاقها مناللاتينية frāctus تعني "كسر" أو "متشظية "، وتستخدم لتوسيع المفهوم النظري كسور البعد إلى . تدرس الهندسة الكسيرية (بالإنجليزية: Fractal Geometry أو Fractals) البنى الهندسية المؤلفة من كسيريات وهو مجموع كسيرية Fractals التي يمكن تعريفها بأنها جزء هندسي صغير جدا غير منتظم ذو أبعاد لامتناهية بالصغر، يمكن أن يتألف من أجزاء متشابهة مؤلفة بدورها من أجزاء متشابهة مشابهة للجزء الأم. الكسيرية إذا يمكن تعريفها على أنها كائن هندسي خشن غير منتظم على كافة المستويات، ويمكن تمثيلها بعملية كسر شيء ما إلى أجزاء أصغر لكن هذه الأجزاء تشابه الجسم الأصلي. تحمل الكسيرية في طياتها ملامح مفهوم اللانهاية وتتميز بخاصية التشابه الذاتي أي أن مكوناتها مشابهة للكسيرية الأم مهما كانت درجة التكبير.غالبا ما يتم تشكيل الأجسام الكسيرية عن طريق عمليات أو خوارزميات متكررة : مثل العمليات الذاتية الاستدعاء أو التكرارية. الكسيرية هي مجموعة لها بُعد كسيري عادة ما يتجاوز . تمت صياغة مصطلح كسيرية (fractal) من قبل بونوا ماندلبرو، من اللاتينية fractus بمعنى مكسور. كان ذلك عام 1975. قبل هذا المصطلح كان الاسم الشائع لهذه البنى هو ندفة الثلج لكوخ.تقوم الهندسة الكسيرية عادة بدراسة البنى المؤلفة من كسيريات وتصف العديد من الأوضاع والبنى التي لا يمكن تفسيرها أو دراستها بالهندسة الرياضية الكلاسيكية, إضافة لذلك تمتلك الهندسة الكسيرية تطبيقات عديدة في العلوم والتكنولوجيا والفنون الحاسوبية. (ar)
  • Un fractal és un objecte matemàtic de gran complexitat definit per algorismes simples.Les fractals van ser estudiades llargament per Benoît Mandelbrot i el terme fractal va ser implantat per ell gràcies al seu llibre Els objectes fractals. El terme fractal es va crear a partir de l'arrel llatina fractus 'trencat, fracturat, irregular'. Les fractals neixen de l'intent de trobar una geometria més apropiada per descriure els objectes de la natura. En aquesta recerca, Mandelbrot es va trobar una sèrie d'objectes matemàtics (conjunt de Cantor, triangle de Sierpiński, corba de Peano, floc de neu de Koch, etc.) que havien estat considerats curiositats dins les matemàtiques, però que no havien tingut major interès fins al moment que Mandelbrot s'adonà que tots tenien aspectes en comú. Són molt útils en multitud de camps com ara la medicina i la cardiologia, la sismologia, etc. (ca)
  • Fraktál je podle původní Mandelbrotovy definice množina, jejíž Hausdorffova dimenze je větší než dimenze topologická. Lze jej také definovat poněkud jednodušeji (méně obecně) jako geometrický objekt, který má následující vlastnosti: * je soběpodobný – znamená to, že pokud daný útvar pozorujeme v jakémkoliv měřítku či rozlišení, pozorujeme stále opakující se určitý charakteristický tvar (motiv); * mívá na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel. Fraktály se jeví coby nejsložitější geometrické objekty, které současná matematika zkoumá, mají však často překvapivě jednoduchou matematickou strukturu. Termín fraktál použil poprvé matematik Benoît Mandelbrot v roce 1975. Pochází z latinského fractus – rozbitý. Podobné objekty byly známy v matematice již dlouho předtím (např. Kochova křivka). B. Mandelbrot navázal na článek Deux types fondamentaux de distribution statistique (vyšlo česky v roce 1941 ve Statistickém obzoru, r. 22, str. 171-222, pod názvem Přírodní dualita statistického rozložení) českého geografa, demografa a statistika Jaromíra Korčáka z roku 1938. (cs)
  • Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". (el)
  • In mathematics, a fractal is a self-similar subset of Euclidean space whose fractal dimension strictly exceeds its topological dimension. Fractals appear the same at different levels, as illustrated in successive magnifications of the Mandelbrot set. Fractals exhibit similar patterns at increasingly small scales called self-similarity, also known as expanding symmetry or unfolding symmetry; if this replication is exactly the same at every scale, as in the Menger sponge, it is called affine self-similar. Fractal geometry lies within the mathematical branch of measure theory. One way that fractals are different from finite geometric figures is the way in which they scale. Doubling the edge lengths of a polygon multiplies its area by four, which is two (the ratio of the new to the old side length) raised to the power of two (the dimension of the space the polygon resides in). Likewise, if the radius of a sphere is doubled, its volume scales by eight, which is two (the ratio of the new to the old radius) to the power of three (the dimension that the sphere resides in). However, if a fractal's one-dimensional lengths are all doubled, the spatial content of the fractal scales by a power that is not necessarily an integer. This power is called the fractal dimension of the fractal, and it usually exceeds the fractal's topological dimension. Analytically, fractals are usually nowhere differentiable. An infinite fractal curve can be conceived of as winding through space differently from an ordinary line – although it is still 1-dimensional, its fractal dimension indicates that it also resembles a surface. Starting in the 17th century with notions of recursion, fractals have moved through increasingly rigorous mathematical treatment of the concept to the study of continuous but not differentiable functions in the 19th century by the seminal work of Bernard Bolzano, Bernhard Riemann, and Karl Weierstrass, and on to the coining of the word fractal in the 20th century with a subsequent burgeoning of interest in fractals and computer-based modelling in the 20th century. The term "fractal" was first used by mathematician Benoit Mandelbrot in 1975. Mandelbrot based it on the Latin frāctus, meaning "broken" or "fractured", and used it to extend the concept of theoretical fractional dimensions to geometric patterns in nature. There is some disagreement among mathematicians about how the concept of a fractal should be formally defined. Mandelbrot himself summarized it as "beautiful, damn hard, increasingly useful. That's fractals." More formally, in 1982 Mandelbrot stated that "A fractal is by definition a set for which the Hausdorff–Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension." Later, seeing this as too restrictive, he simplified and expanded the definition to: "A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way." Still later, Mandelbrot settled on this use of the language: "...to use fractal without a pedantic definition, to use fractal dimension as a generic term applicable to all the variants". The consensus is that theoretical fractals are infinitely self-similar, iterated, and detailed mathematical constructs having fractal dimensions, of which many examples have been formulated and studied in great depth. Fractals are not limited to geometric patterns, but can also describe processes in time. Fractal patterns with various degrees of self-similarity have been rendered or studied in images, structures and sounds and found in , , , architecture and . Fractals are of particular relevance in the field of chaos theory, since the graphs of most chaotic processes are fractals. (en)
  • Fraktalo aŭ frakto estas objekto, kiu havas almenaŭ unu el la sekvantaj karakterizaĵoj: * Ĝi havas detalojn en arbitre grandaj aŭ malgrandaj skaloj, * ĝi estas tro malregula por esti priskribita en tradicia geometrio, * ĝi estas , * ĝia dimensio estas pli granda ol ĝia , * aŭ ĝi estas difinita rekursie. La problemo kun tiu difino estas, ke ekzistas objektoj, kiujn oni volus nomi fraktaloj, sed ili ne obeas la tutan regularon. Ekzemple, fraktaloj de la naturo (kiel nuboj, montoj kaj angioj) ne havas detalojn sen limoj; ne ekzistas preciza signifo de "tro malregula"; ekzistas multaj manieroj esti "sam-simila"; ekzistas multaj malsamaj difinoj de "dimensio" kiuj akceptas malentjerajn numerojn; kaj ne ĉiuj fraktaloj estas difinitaj rekursie. Ekzemploj de fraktaloj estas la aro de Mandelbrot, la aro de Kantor, la triangulo de Sierpinski, la kaj la neĝero de Koch. fraktaloj rilatas kun la kaosa teorio. Fraktaloj povas esti kategoriitaj en: 1. * Iteraciitaj sistemoj de funkcioj: Tiuj havas fiksan geometrian regulon. Ekzemploj: aro de Kantor, la triangulo de Sierpinski, la kaj la neĝero de Koch. 2. * Fraktaloj difinitaj per rekursia rilato. Ekzemploj: Aro de Mandelbrot, 3. * Hazardaj fraktaloj, generitaj per stokastaj procedoj. Ekzemplo: fraktalaj pejzaĝoj. Hazardaj fraktaloj, havas grandan realan aplikadon. Ili povas esti uzataj por priskribi multajn malregulajn real-mondajn objektojn kiel nuboj, montoj, marbordoj, arboj, ktp. (eo)
  • Fraktal ist ein vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 geprägter Begriff (lateinisch fractus ‚gebrochen‘, von lateinisch frangere‚ (in Stücke zer-)‚brechen‘), der bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet. Diese Gebilde oder Muster besitzen im Allgemeinen keine ganzzahlige Hausdorff-Dimension, sondern eine gebrochene – daher der Name – und weisen zudem einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit auf. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren. (de)
  • Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas.​ El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número racional no entero. Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el ámbito de la teoría de la medida. (es)
  • Fraktal bat bere oinarrizko egitura, zatikatua edo ez erregularra eskala ezberdinetan errepikatzen den objektu erdigeometriko bat da. Izena Benoît Mandelbrotek proposatu zuen 1975ean eta latinezko fractus hitzetik dator, hautsia edo pitzatua esan nahi duena. Egitura natural asko fraktal erakoak dira. Objektu geometriko fraktal bati ematen zaizkion ezaugarriak honako hauek dira: * Ez erregularregia da geometria tradizionalaren arabera deskribatua izateko. * Edozein behaketa eskalan du xehetasuna. * da (zehazki, gutxi gora-behera edo estatistikoki) * Bere Hausdorff-Besikobitxen dimentsioa bere baino handiagoa da. * sinple baten bidez definitzen da. Ez da nahikoa ezaugarri hauetako bakar bat fraktal bat definitzeko. Adibidez, benetako lerro zuzena ez da fraktaltzat hartzen, objektu autoantzekoa den arren, gainontzeko ezaugarriak ez baititu. Fraktal natural bat geometria fraktalaren bidez deskriba daitekeen naturako elementu bat da. Hodeiak, mendiak, zirkulazio-aparatua kostaldeak edo elur malutak fraktal naturalak dira. Irudikapen hau gutxi gora-beherakoa da, objektu fraktal idealei ematen zaizkien ezaugarriek, xehetasun mugagabea kasu, mundu naturalean mugak baitituzte. (eu)
  • Is é is codach nó frachtal ann ná tacar a fanann 'casta' cé chomh beag agus atá sé. Is tacair féinchosúlta iad go léir. Cialaíonn é sin ná go bhfuil an cuma céanna ar an dtacar iomlán is atá ar aon phíosa beag den tacar. Toisc go bhfuil codaigh casta, chun roinnt dá n-airíonna is tábhachtaí a achoimriú, is maith an rud é roinnt coincheaptha réasúnta simplí a bheith againn. Is é toise tacair ceann de na coincheaptha is tabhachtaí den saghas seo. Tá toise ghraf feidhme slime y = f(x) cothrom le 1 agus tá toise sféir cothrom le 2, ach de ghnath ní slánuimhir é toise chodaigh. Ar feadh fhormhóir a staire, níor pléidh ach amháin tacair a raibh roinnt slime acu agus mar sin, d'fhan matamaitic amach ó codaigh. Ní raibh an focal Francach do chodach cumtha go dtí 1975. Le teacht ríomhairí agus teaspáintí ghrafacha nua-aimseartha, fuair taighde ar chodaigh a lán cabhair agus an-chuid spreagadh. É sin ráite, bhí roinnt samplaí de chodaigh luaite fadó. Sa bhliain 1872, shainigh Gearmánach Karl Weierstrass feidhm f a bhí leanúnach ag gach pointe ach a bhí do-dhifreálaithe ag gach pointe freisin. Ghlaofaí codach ar ghraf na feidhme sin inniu. Is sampla casta é sin ach shainigh an matamaiticeoir Sualannach Helge von Koch sampla eile a bhí i bhfad níos simplí i 1904. Rinne daoine mar Poincaré, Fatou agus Julia mionfhiosrú ar an gcoincheap de chóras feidhme atrialla sa 19ú agus go luath sa 20ú haois. Tugann an coincheap sin slí tábhachtach dúinn chun codaigh a shainiú. Go dtí gur chuir Mandelbrot chun suntais na hairíonna atá i gcoitianta ag na tacair den tsaghas seo, chonacthas mar thacair iargúlta aisteacha iad. Chomh maith le sin, thaispean sé gur samhlacha réadúla agus úsáideacha iad i gcomhair a lán feiniméin nádúrtha. Mar shampla gneithe geolaíochta cosúil le chóstaí, struchtúr plandaí, soithigh fola, scamhóga, praghasanna sa stocmhargadh agus Brúnghluaisne. Dúirt sé go raibh codaigh níos nádúrtha agus imfhiosaí ná na rudaí slime a bhí sa mhatamaitic traidisiúnta. (ga)
  • Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detail yang tak hingga dan dapat memiliki struktur pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif. Bahasa Inggris dari fraktal adalah fractal. Istilah fractal dibuat oleh Benoît Mandelbrot pada tahun 1975 dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya ) adalah kurva monster. Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan . Dulu ide-ide konseptual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euklides dan kalkulus gagal menganalisis objek-objek kurva monster tersebut. (in)
  • Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie. Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico", e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione anche non intera. Ad esempio, la curva di Koch ha dimensione . I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici, nella definizione di curve o insiemi e nella teoria del caos, e sono spesso descritti in modo ricorsivo da algoritmi o equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei numeri complessi. Ad esempio l'equazione che descrive l'insieme di Mandelbrot è la seguente: dove e sono numeri complessi. (it)
  • 프랙탈(영어: fractal) 또는 프랙털은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다. 이런 특징을 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 한다. 브누아 망델브로가 처음으로 쓴 단어로, 어원은 조각났다는 뜻의 라틴어 형용사 ‘fractus’이다. 프랙탈 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상 공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조이다. 불규칙하며 혼란스러워 보이는 현상을 배후에서 지배하는 규칙도 찾아낼 수 있다. 복잡성의 과학은 이제까지의 과학이 이해하지 못했던 불규칙적인 자연의 복잡성을 연구하여 그 안의 숨은 질서를 찾아내는 학문으로, 복잡성의 과학을 대표하는 혼돈 이론에도 프랙탈로 표현될 수 있는 질서가 나타난다. 프랙탈은 수학적 도형으로도 연구되고 있다. 프랙탈 도형은 종종 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 이거나 반복적인 작업에 의한 반복되는 패턴으로 만들어진다. 대표적인 프랙탈 도형에는 망델브로 집합, 칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형, 페아노 곡선, 코흐 곡선 등이 있다. 프랙탈은 결정론적이거나 추계학적일 수 있으며, 혼돈적 계와 연관지어 발생할 수도 있다. 프랙탈 기하학은 프랙탈의 성질을 연구하는 수학 분야의 하나이다. 이는 과학, 공학, 에 적용되기도 한다. 자연계에서도 프랙탈 구조가 자주 발견되며, 구름, 산, 번개, 난류, 해안선 및 나뭇가지 등이 여기에 해당한다. 프랙탈은 실용적인 목적으로 많이 사용되며, 현실 세계의 매우 불규칙한 물체들을 표현하기 위해서 쓰일 수 있다. 프랙탈 기법은 과학의 여러 분야에서는 물론, 기술적으로 이미지 압축 등에서도 사용된다. (ko)
  • フラクタル(仏: fractale, 英: fractal)は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。ラテン語 fractus から。図形の部分と全体が自己相似(再帰)になっているものなどをいう。なお、マンデルブロが導入する以前から以下で述べるような性質を持つ形状などはよく考えられてきたものであり、また、そういった図形の一つである高木曲線は幾何ではなく解析学上の興味によるものである。 (ja)
  • Een fractal, soms ook fractaal genoemd, is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is, dat wil zeggen opgebouwd is uit delen die min of meer gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Fractals hebben een oneindige hoeveelheid details, en bij sommige fractals komen motieven voor die zich op steeds kleinere schaal herhalen. Doorgaans kunnen fractals gegenereerd worden door het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking. De term fractal werd geïntroduceerd in 1975 door Benoît Mandelbrot en is afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken). Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden eind 19e en begin 20e eeuw ontdekt door wiskundigen als Karl Weierstrass, Helge von Koch, Georg Cantor, Henri Poincaré en Gaston Julia. De fractalmeetkunde is de tak van wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van fractals. Het is een aanvulling op de klassieke meetkunde, met toepassingen in wetenschap, technologie en computerkunst. De bekendste fractals zijn de Mandelbrotverzameling en de Juliaverzameling. (nl)
  • Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe charakterystyki albo przynajmniej ich większość: * ma nietrywialną strukturę w każdej skali, * struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, * jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, * jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, * ma względnie prostą definicję rekurencyjną, * ma naturalny („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd. Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samopodobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal. Wiele fraktali ma niecałkowity wymiar Hausdorffa, co wyjaśnia etymologię tej nazwy. (pl)
  • Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da Geometria não euclidiana. A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam as tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 70 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa . Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos. (pt)
  • Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, , функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры. Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств: * Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину. * Является самоподобным или приближённо самоподобным. * Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую. Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы. (ru)
  • En fraktal är ett självlikformigt mönster med struktur i alla skalor, vilket betyder att det liknar sig självt på samma sätt som ett träds grenar i sin tur har likadana fast mindre grenar, en så kallad naturlig fraktal. De fraktala mönstren (i 2D) eller strukturerna (vid 3D) skapas vanligtvis genom olika matematiska transformationer som upprepas (itereras) ett stort antal gånger. (sv)
  • 分形(英語:fractal,源自拉丁語:frāctus,有「零碎」、「破裂」之意),又稱碎形、殘形,通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀,可以分成數個部分,且每一部分都(至少近似地)是整體縮小後的形狀」,即具有自相似的性質。分形在数学中是一种抽象的物体,用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状。分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后,形状的重复是完全相同的,这被称为自相似。自相似的一个例子是门格海绵。分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。曼德博集合的放大图像中显示了这种模式。分形也包有图像的细节重复自身的意味。 分形与其他幾何圖形相似但又有所不同。当你缩放一个图形时,你就能看出分形和其他几何图形的区别。将一个多边形的边长加倍,它的面积变为原来的四倍。新的边长与旧边长相比增加了 2 倍,而面积增加了 4 倍,即 倍。平面内的多边形在二维空间中,指数 2 刚好是多边形所在的二维空间的维数。类似的,对于三维空间中的球,如果它的半径加倍,则它的体积变为原来的 8 倍,即 倍,指数 3 依旧是球所在空间的维数。如果将分形的一维长度加倍,如将康托三分集的初始线段长加倍,分型空间的内容变为 倍,此时n 不一定是个整数。幂指数n 称为分型的维数,它通常大于分型的拓撲維數。 作为一个数学函数,分形通常是处处不可微的。无穷分形曲线可以理解为一条一维的曲线在空间中绕行,它的拓撲維數仍然是 1,但大于 1 的分形维数暗示了它也有类似曲面的性质。 我们可以从这些年来正式发表的文献中追踪分形概念的。从 17 世纪有了递归的概念开始,到 19 世纪,伯納德·波爾查諾、波恩哈德·黎曼和卡尔·魏尔斯特拉斯对连续不可微函数开创性的研究,这些严谨的数学概念推动着分形的发展。20 世纪时,人们创造了wikt:分形这个词,随之而来的是人们对分形和计算机建模和兴趣的迅速增长。1975 年本華·曼德博首次提出“分形(fractal)”这个术语。分型的拉丁文词源frāctus 有“破坏”、“破碎”的意思,曼德博将分型的概念从理论分形维数拓展到自然界中的几何图形。 一個數學意義上碎形的生成是基於一個不斷迭代的方程式,即一種基於遞歸的反饋系統。碎形有幾種類型,可以分別依據表現出的精確自相似性、半自相似性和統計自相似性來定義。权威学者们对分形的精确定义仍有争论。曼德博自己将分形总结为:“美丽、(研究起来)极其困难但又非常的有用,这就是分形”。1982 年曼德博提出了更正式的定义:“分形是一种其豪斯多夫维数严格大于拓撲維數的集合”。后来他认为这种定义过于严格,于是简化并扩展了这个定义:“分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形。”。又过了一段时间,曼德博决定使用以下方式来描述分形:“...在研究和使用分形 时,不需要迂腐的定义。用分形维数 作为描述各种不同分型的通用术语”。 通常认为,理论分型是无限迭代、自相似的、具有分形维数的详细数学结构。人们创造了许多分型图形并进行了充分的研究。分形并不限于几何图形,它也可以描述时间序列。雖然碎形是一個數學構造,它們同樣可以在自然界中被找到,這使得它們被劃入藝術作品的範疇。碎形在醫學、土力學、地震学和技术分析中都有应用。在自然、技术、艺术、建筑和法律等领域,人们对图形、结构和音频中不同程度自相似的分形图形进行了研究,并反过来利用分形理论取生成图形、结构和音频。分形和混沌理论密切相关,因为混沌过程的图形大多数都是分形。 (zh)
  • Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельброт. (uk)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 10913 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 72598 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 986417836 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:date
  • 2001-11-16 (xsd:date)
dbp:group
  • notes (en)
dbp:title
  • Fractals (en)
dbp:url
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". (el)
  • フラクタル(仏: fractale, 英: fractal)は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。ラテン語 fractus から。図形の部分と全体が自己相似(再帰)になっているものなどをいう。なお、マンデルブロが導入する以前から以下で述べるような性質を持つ形状などはよく考えられてきたものであり、また、そういった図形の一つである高木曲線は幾何ではなく解析学上の興味によるものである。 (ja)
  • En fraktal är ett självlikformigt mönster med struktur i alla skalor, vilket betyder att det liknar sig självt på samma sätt som ett träds grenar i sin tur har likadana fast mindre grenar, en så kallad naturlig fraktal. De fraktala mönstren (i 2D) eller strukturerna (vid 3D) skapas vanligtvis genom olika matematiska transformationer som upprepas (itereras) ett stort antal gånger. (sv)
  • Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельброт. (uk)
  • الكُسيريات أو الفركتلات (بالإنجليزية: Fractals) هي أشكال هندسية تختلف عن الأشكال الهندسية الأخرى بسبب الطريقة التي تتدرج بها زيادة أو نقصانا. مضاعفة أطوال حافة مضلع يضاعف لها المساحة إلى أربعة، وهو اثنان (النسبة بين الطول الجديد إلى طول الجانب القديم) مرفوعا للقوة (أس) اثنين ( مساحة المضلع ).وبالمثل، إذا تضاعف نصف قطر الكرة، فإن حجم الكرة يقفز إلى ثمانية أضعاف، والتي هي اثنين (نسبة القطر الجديد إلى القديم) مرفوعا إلى القوة ثلاثة (المساحة التى تشغلها الكرة). ولكن إذا تم مضاعفة الأطوال الفركتلية ذات البعد الواحد فقط، فإن المحتوى المكاني للجداول الكسورية من قبل الأس الذي ليس بالضرورة أن يكون واحدا صحيح. وتسمى هذه القوة أو الأس البعد كسيري للفراكتل، وعادة ما يتجاوز البعد الطوبوغرافي . (ar)
  • Un fractal és un objecte matemàtic de gran complexitat definit per algorismes simples.Les fractals van ser estudiades llargament per Benoît Mandelbrot i el terme fractal va ser implantat per ell gràcies al seu llibre Els objectes fractals. El terme fractal es va crear a partir de l'arrel llatina fractus 'trencat, fracturat, irregular'. (ca)
  • Fraktál je podle původní Mandelbrotovy definice množina, jejíž Hausdorffova dimenze je větší než dimenze topologická. Lze jej také definovat poněkud jednodušeji (méně obecně) jako geometrický objekt, který má následující vlastnosti: * je soběpodobný – znamená to, že pokud daný útvar pozorujeme v jakémkoliv měřítku či rozlišení, pozorujeme stále opakující se určitý charakteristický tvar (motiv); * mívá na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel. (cs)
  • Fraktal ist ein vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 geprägter Begriff (lateinisch fractus ‚gebrochen‘, von lateinisch frangere‚ (in Stücke zer-)‚brechen‘), der bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet. (de)
  • In mathematics, a fractal is a self-similar subset of Euclidean space whose fractal dimension strictly exceeds its topological dimension. Fractals appear the same at different levels, as illustrated in successive magnifications of the Mandelbrot set. Fractals exhibit similar patterns at increasingly small scales called self-similarity, also known as expanding symmetry or unfolding symmetry; if this replication is exactly the same at every scale, as in the Menger sponge, it is called affine self-similar. Fractal geometry lies within the mathematical branch of measure theory. (en)
  • Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas.​ El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número racional no entero. (es)
  • Fraktalo aŭ frakto estas objekto, kiu havas almenaŭ unu el la sekvantaj karakterizaĵoj: * Ĝi havas detalojn en arbitre grandaj aŭ malgrandaj skaloj, * ĝi estas tro malregula por esti priskribita en tradicia geometrio, * ĝi estas , * ĝia dimensio estas pli granda ol ĝia , * aŭ ĝi estas difinita rekursie. Ekzemploj de fraktaloj estas la aro de Mandelbrot, la aro de Kantor, la triangulo de Sierpinski, la kaj la neĝero de Koch. fraktaloj rilatas kun la kaosa teorio. Fraktaloj povas esti kategoriitaj en: (eo)
  • Fraktal bat bere oinarrizko egitura, zatikatua edo ez erregularra eskala ezberdinetan errepikatzen den objektu erdigeometriko bat da. Izena Benoît Mandelbrotek proposatu zuen 1975ean eta latinezko fractus hitzetik dator, hautsia edo pitzatua esan nahi duena. Egitura natural asko fraktal erakoak dira. Objektu geometriko fraktal bati ematen zaizkion ezaugarriak honako hauek dira: Ez da nahikoa ezaugarri hauetako bakar bat fraktal bat definitzeko. Adibidez, benetako lerro zuzena ez da fraktaltzat hartzen, objektu autoantzekoa den arren, gainontzeko ezaugarriak ez baititu. (eu)
  • Is é is codach nó frachtal ann ná tacar a fanann 'casta' cé chomh beag agus atá sé. Is tacair féinchosúlta iad go léir. Cialaíonn é sin ná go bhfuil an cuma céanna ar an dtacar iomlán is atá ar aon phíosa beag den tacar. Toisc go bhfuil codaigh casta, chun roinnt dá n-airíonna is tábhachtaí a achoimriú, is maith an rud é roinnt coincheaptha réasúnta simplí a bheith againn. Is é toise tacair ceann de na coincheaptha is tabhachtaí den saghas seo. Tá toise ghraf feidhme slime y = f(x) cothrom le 1 agus tá toise sféir cothrom le 2, ach de ghnath ní slánuimhir é toise chodaigh. (ga)
  • Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detail yang tak hingga dan dapat memiliki struktur pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif. (in)
  • Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie. Ad esempio, la curva di Koch ha dimensione . dove e sono numeri complessi. (it)
  • 프랙탈(영어: fractal) 또는 프랙털은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다. 이런 특징을 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 한다. 브누아 망델브로가 처음으로 쓴 단어로, 어원은 조각났다는 뜻의 라틴어 형용사 ‘fractus’이다. 프랙탈 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상 공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조이다. 불규칙하며 혼란스러워 보이는 현상을 배후에서 지배하는 규칙도 찾아낼 수 있다. 복잡성의 과학은 이제까지의 과학이 이해하지 못했던 불규칙적인 자연의 복잡성을 연구하여 그 안의 숨은 질서를 찾아내는 학문으로, 복잡성의 과학을 대표하는 혼돈 이론에도 프랙탈로 표현될 수 있는 질서가 나타난다. (ko)
  • Een fractal, soms ook fractaal genoemd, is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is, dat wil zeggen opgebouwd is uit delen die min of meer gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Fractals hebben een oneindige hoeveelheid details, en bij sommige fractals komen motieven voor die zich op steeds kleinere schaal herhalen. Doorgaans kunnen fractals gegenereerd worden door het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking. De term fractal werd geïntroduceerd in 1975 door Benoît Mandelbrot en is afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken). (nl)
  • Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe charakterystyki albo przynajmniej ich większość: (pl)
  • Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da Geometria não euclidiana. A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam as tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos. (pt)
  • Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами. (ru)
  • 分形(英語:fractal,源自拉丁語:frāctus,有「零碎」、「破裂」之意),又稱碎形、殘形,通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀,可以分成數個部分,且每一部分都(至少近似地)是整體縮小後的形狀」,即具有自相似的性質。分形在数学中是一种抽象的物体,用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状。分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后,形状的重复是完全相同的,这被称为自相似。自相似的一个例子是门格海绵。分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。曼德博集合的放大图像中显示了这种模式。分形也包有图像的细节重复自身的意味。 分形与其他幾何圖形相似但又有所不同。当你缩放一个图形时,你就能看出分形和其他几何图形的区别。将一个多边形的边长加倍,它的面积变为原来的四倍。新的边长与旧边长相比增加了 2 倍,而面积增加了 4 倍,即 倍。平面内的多边形在二维空间中,指数 2 刚好是多边形所在的二维空间的维数。类似的,对于三维空间中的球,如果它的半径加倍,则它的体积变为原来的 8 倍,即 倍,指数 3 依旧是球所在空间的维数。如果将分形的一维长度加倍,如将康托三分集的初始线段长加倍,分型空间的内容变为 倍,此时n 不一定是个整数。幂指数n 称为分型的维数,它通常大于分型的拓撲維數。 (zh)
rdfs:label
  • هندسة كسيرية (ar)
  • Fractal (ca)
  • Fraktál (cs)
  • Fraktal (de)
  • Φράκταλ (el)
  • Fractal (en)
  • Fraktalo (eo)
  • Fractal (es)
  • Fraktal (eu)
  • Codach (ga)
  • Fraktal (in)
  • Frattale (it)
  • フラクタル (ja)
  • 프랙탈 (ko)
  • Fractal (nl)
  • Fraktal (pl)
  • Fractal (pt)
  • Фрактал (ru)
  • Fraktal (sv)
  • Фрактал (uk)
  • 分形 (zh)
rdfs:seeAlso
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:academicDiscipline of
is dbo:genre of
is dbo:knownFor of
is dbo:nonFictionSubject of
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is dbp:group of
is foaf:primaryTopic of