| dbo:abstract
|
- In mathematics, particularly in algebraic geometry, complex analysis and algebraic number theory, an abelian variety is a projective algebraic variety that is also an algebraic group, i.e., has a group law that can be defined by regular functions. Abelian varieties are at the same time among the most studied objects in algebraic geometry and indispensable tools for much research on other topics in algebraic geometry and number theory. An abelian variety can be defined by equations having coefficients in any field; the variety is then said to be defined over that field. Historically the first abelian varieties to be studied were those defined over the field of complex numbers. Such abelian varieties turn out to be exactly those complex tori that can be embedded into a complex projective space. Abelian varieties defined over algebraic number fields are a special case, which is important also from the viewpoint of number theory. Localization techniques lead naturally from abelian varieties defined over number fields to ones defined over finite fields and various local fields. Since a number field is the fraction field of a Dedekind domain, for any nonzero prime of your Dedekind domain, there is a map from the Dedekind domain to the quotient of the Dedekind domain by the prime, which is a finite field for all finite primes. This induces a map from the fraction field to any such finite field. Given a curve with equation defined over the number field, we can apply this map to the coefficients to get a curve defined over some finite field, where the choices of finite field correspond to the finite primes of the number field. Abelian varieties appear naturally as Jacobian varieties (the connected components of zero in Picard varieties) and Albanese varieties of other algebraic varieties. The group law of an abelian variety is necessarily commutative and the variety is non-singular. An elliptic curve is an abelian variety of dimension 1. Abelian varieties have Kodaira dimension 0. (en)
- In der Mathematik werden Abelsche Varietäten im Rahmen der algebraischen Geometrie, komplexen Analysis und der Zahlentheorie untersucht. Abelsche Varietäten besitzen gleichzeitig zwei mathematische Strukturen: die Struktur einer algebraischen Varietät (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät sind durch Polynome bestimmt) und die Struktur einer Gruppe (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät lassen sich so miteinander verknüpfen, dass die von der Addition ganzer Zahlen gewohnten Rechengesetze gelten). Daneben muss eine Abelsche Varietät noch gewisse topologische Bedingungen erfüllen (Vollständigkeit, Zusammenhang). Abelsche Varietäten sind also spezielle algebraische Gruppen.Der Begriff der Abelschen Varietät entstand durch geeignete Verallgemeinerung der Eigenschaften elliptischer Kurven. (de)
- En mathématiques, et en particulier, en géométrie algébrique et géométrie complexe, une variété abélienne A est une variété algébrique projective qui est un groupe algébrique. La condition de « projectivité » est l'équivalent de la compacité pour les variétés différentielles ou analytiques, et donne une certaine rigidité à la structure. C'est un objet central en géométrie arithmétique. (fr)
- In matematica, in particolare in geometria algebrica, in analisi complessa e in teoria algebrica dei numeri, una varietà abeliana è una varietà algebrica proiettiva che è anche un gruppo algebrico, cioè ha una legge di gruppo che può essere definita da funzioni regolari. Le varietà abeliane sono tra gli oggetti più studiati della geometria algebrica e sono anche strumenti indispensabili per molte ricerche su altri argomenti in geometria algebrica e teoria dei numeri. Una varietà abeliana può essere definita da equazioni aventi coefficienti in qualsiasi campo; si dice quindi che la varietà è definita su quel campo. Storicamente le prime varietà abeliane a essere studiate furono quelle definite sul campo dei numeri complessi. Tali varietà abeliane risultano essere esattamente quei tori complessi che possono essere immersi in uno spazio proiettivo complesso. Le varietà abeliane definite su campi di numeri algebrici sono un caso speciale, importante anche dal punto di vista della teoria dei numeri. Le tecniche di localizzazione portano naturalmente da varietà abeliane definite su campi numerici a quelle definite su campi finiti e vari . Poiché un campo di numeri è il campo delle frazioni di un dominio di Dedekind, per ogni ideale primo diverso da zero del dominio di Dedekind, esiste una funzione dal dominio di Dedekind al quoziente del dominio di Dedekind per il primo, che è un campo finito per tutti i primi finiti. Ciò induce una funzione dal campo delle frazioni a qualsiasi campo finito di questo tipo. Data una curva con equazione definita sul campo di numeri, possiamo applicare questa funzione ai coefficienti per ottenere una curva definita su un campo finito, dove le scelte di campo finito corrispondono ai primi finiti del campo di numeri. Le varietà abeliane appaiono naturalmente come (le componenti connesse dello zero nelle ) e di altre varietà algebriche. La legge di gruppo di una varietà abeliana è necessariamente commutativa e la varietà è non singolare. Una curva ellittica è una varietà abeliana di dimensione 1. Le varietà abeliane hanno dimensione di Kodaira 0. (it)
- 대수기하학에서 아벨 다양체(Abel多樣體, 영어: Abelian variety) 또는 가환다양체(可換多樣體)는 아벨 군을 이루는 대수다양체다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념이다. (ko)
- In de algebraïsche meetkunde, de complexe analyse en de getaltheorie, die alle drie deelgebieden van de wiskunde zijn, is een abelse variëteit een projectieve algebraïsche variëteit, die tegelijkertijd ook een algebraïsche groep is, dat wil zeggen dat een abelse variëteit een groepswet heeft, die kan worden gedefinieerd door reguliere functies. Abelse variëteiten behoren tot de meest bestudeerde objecten binnen de algebraïsche meetkunde. Zij zijn een onmisbaar gereedschap voor veel onderzoek naar andere onderwerpen in de algebraïsche meetkunde en de getaltheorie. Abelse variëteiten van dimensie 1 worden ook elliptische krommen genoemd. (nl)
- 数学において、特に代数幾何学や複素解析や数論では、アーベル多様体(アーベルたようたい、abelian variety)は、射影代数多様体であり、また正則函数(regular function)により定義することのできる群法則を持つ代数群でもある代数多様体を言う。アーベル多様体は、代数幾何の最も研究されている対象であり、同時に代数幾何学や数論やそれ以外の他の分野の研究の不可欠な道具である。 アーベル多様体は、任意の体に係数を持つ方程式により定義することができる。従って、多様体はその体の上で定義されると言う。歴史的には、最初研究されたアーベル多様体は複素数体上で定義された多様体であった。そのようなアーベル多様体はまさに複素射影空間へ埋め込むことができであることが判明している。代数体上に定義されたアーベル多様体は、特別であり、数論の観点から重要である。環の局所化のテクニックは、数体上に定義されたアーベル多様体から有限体上や様々な局所体上に定義されたアーベル多様体を自然に導く。 アーベル多様体は代数多様体のヤコビ多様体（ピカール多様体のゼロ点の連結成分として）自然に現れてくる。アーベル多様体の群法則は必然的に可換となり、多様体は非特異となる。楕円曲線は1次元のアーベル多様体である。アーベル多様体は小平次元が0である。 (ja)
- Em matemática, particularmente em geometria algébrica, análise complexa e teoria dos números, uma variedade abeliana é uma variedade algébrica projetiva que é também um grupo algébrico, i.e., tem uma lei de grupo que pode ser definida por Variedades abelianas estão ao mesmo tempo entre os mais estudados objetos em geometria algébrica e ferramentas indispensáveis para muitas pesquisas em outros tópicos em geometria algébrica e teoria dos números. (pt)
- Abelsk varietet är inom algebraisk geometri en komplett . Namnet kommer av den norske matematikern Niels Henrik Abel. Det kan bevisas att gruppstrukturen hos en sammanhängande abelsk varietet automatiskt är kommutativ; detta är dock inte ursprunget till namnet. Snarare åsyftas Abels banbrytande undersökningar av integraler av algebraiska funktioner, vilka senare utvecklades och fördjupades av många betydande matematiker. (sv)
- Абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие, являющееся алгебраической группой (это значит, что закон композиции задаётся регулярной функцией). Абелевы многообразия являются хорошо изученными объектами в алгебраической геометрии. Это понятие используется в различных разделах алгебраической геометрии и теории чисел. Абелево многообразие может быть определено уравнениями с коэффициентами в любом поле k. Говорят,многообразие над полем k. Исторически, сначала изучались абелевы многообразия над полем комплексных чисел. Особым случаем являются абелевы многообразия над полями алгебраических чисел. Этот случай важен в теории чисел. (ru)
- Абелів многовид — проективний алгебричний многовид, що є алгебричною групою (це означає, що закон композиції задається регулярною функцією). Абелеві многовиди є добре вивченими об'єктами в алгебраїчній геометрії. Це поняття використовується в різних розділах алгебраїчної геометрії і теорії чисел. Абелів многовид може бути визначений рівняннями з коефіцієнтами в будь-якому полі k. Історично, спочатку вивчалися абелеві многовиди над полем комплексних чисел. Особливим випадком є абелеві многовиди над полями алгебраїчних чисел. Цей випадок важливий в теорії чисел. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En mathématiques, et en particulier, en géométrie algébrique et géométrie complexe, une variété abélienne A est une variété algébrique projective qui est un groupe algébrique. La condition de « projectivité » est l'équivalent de la compacité pour les variétés différentielles ou analytiques, et donne une certaine rigidité à la structure. C'est un objet central en géométrie arithmétique. (fr)
- 대수기하학에서 아벨 다양체(Abel多樣體, 영어: Abelian variety) 또는 가환다양체(可換多樣體)는 아벨 군을 이루는 대수다양체다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념이다. (ko)
- 数学において、特に代数幾何学や複素解析や数論では、アーベル多様体(アーベルたようたい、abelian variety)は、射影代数多様体であり、また正則函数(regular function)により定義することのできる群法則を持つ代数群でもある代数多様体を言う。アーベル多様体は、代数幾何の最も研究されている対象であり、同時に代数幾何学や数論やそれ以外の他の分野の研究の不可欠な道具である。 アーベル多様体は、任意の体に係数を持つ方程式により定義することができる。従って、多様体はその体の上で定義されると言う。歴史的には、最初研究されたアーベル多様体は複素数体上で定義された多様体であった。そのようなアーベル多様体はまさに複素射影空間へ埋め込むことができであることが判明している。代数体上に定義されたアーベル多様体は、特別であり、数論の観点から重要である。環の局所化のテクニックは、数体上に定義されたアーベル多様体から有限体上や様々な局所体上に定義されたアーベル多様体を自然に導く。 アーベル多様体は代数多様体のヤコビ多様体（ピカール多様体のゼロ点の連結成分として）自然に現れてくる。アーベル多様体の群法則は必然的に可換となり、多様体は非特異となる。楕円曲線は1次元のアーベル多様体である。アーベル多様体は小平次元が0である。 (ja)
- Em matemática, particularmente em geometria algébrica, análise complexa e teoria dos números, uma variedade abeliana é uma variedade algébrica projetiva que é também um grupo algébrico, i.e., tem uma lei de grupo que pode ser definida por Variedades abelianas estão ao mesmo tempo entre os mais estudados objetos em geometria algébrica e ferramentas indispensáveis para muitas pesquisas em outros tópicos em geometria algébrica e teoria dos números. (pt)
- Abelsk varietet är inom algebraisk geometri en komplett . Namnet kommer av den norske matematikern Niels Henrik Abel. Det kan bevisas att gruppstrukturen hos en sammanhängande abelsk varietet automatiskt är kommutativ; detta är dock inte ursprunget till namnet. Snarare åsyftas Abels banbrytande undersökningar av integraler av algebraiska funktioner, vilka senare utvecklades och fördjupades av många betydande matematiker. (sv)
- Абелів многовид — проективний алгебричний многовид, що є алгебричною групою (це означає, що закон композиції задається регулярною функцією). Абелеві многовиди є добре вивченими об'єктами в алгебраїчній геометрії. Це поняття використовується в різних розділах алгебраїчної геометрії і теорії чисел. Абелів многовид може бути визначений рівняннями з коефіцієнтами в будь-якому полі k. Історично, спочатку вивчалися абелеві многовиди над полем комплексних чисел. Особливим випадком є абелеві многовиди над полями алгебраїчних чисел. Цей випадок важливий в теорії чисел. (uk)
- In mathematics, particularly in algebraic geometry, complex analysis and algebraic number theory, an abelian variety is a projective algebraic variety that is also an algebraic group, i.e., has a group law that can be defined by regular functions. Abelian varieties are at the same time among the most studied objects in algebraic geometry and indispensable tools for much research on other topics in algebraic geometry and number theory. (en)
- In der Mathematik werden Abelsche Varietäten im Rahmen der algebraischen Geometrie, komplexen Analysis und der Zahlentheorie untersucht. Abelsche Varietäten besitzen gleichzeitig zwei mathematische Strukturen: die Struktur einer algebraischen Varietät (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät sind durch Polynome bestimmt) und die Struktur einer Gruppe (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät lassen sich so miteinander verknüpfen, dass die von der Addition ganzer Zahlen gewohnten Rechengesetze gelten). Daneben muss eine Abelsche Varietät noch gewisse topologische Bedingungen erfüllen (Vollständigkeit, Zusammenhang). Abelsche Varietäten sind also spezielle algebraische Gruppen.Der Begriff der Abelschen Varietät entstand durch geeignete Verallgemeinerung der Eigenschaften elliptische (de)
- In matematica, in particolare in geometria algebrica, in analisi complessa e in teoria algebrica dei numeri, una varietà abeliana è una varietà algebrica proiettiva che è anche un gruppo algebrico, cioè ha una legge di gruppo che può essere definita da funzioni regolari. Le varietà abeliane sono tra gli oggetti più studiati della geometria algebrica e sono anche strumenti indispensabili per molte ricerche su altri argomenti in geometria algebrica e teoria dei numeri. (it)
- In de algebraïsche meetkunde, de complexe analyse en de getaltheorie, die alle drie deelgebieden van de wiskunde zijn, is een abelse variëteit een projectieve algebraïsche variëteit, die tegelijkertijd ook een algebraïsche groep is, dat wil zeggen dat een abelse variëteit een groepswet heeft, die kan worden gedefinieerd door reguliere functies. Abelse variëteiten behoren tot de meest bestudeerde objecten binnen de algebraïsche meetkunde. Zij zijn een onmisbaar gereedschap voor veel onderzoek naar andere onderwerpen in de algebraïsche meetkunde en de getaltheorie. (nl)
- Абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие, являющееся алгебраической группой (это значит, что закон композиции задаётся регулярной функцией). Абелевы многообразия являются хорошо изученными объектами в алгебраической геометрии. Это понятие используется в различных разделах алгебраической геометрии и теории чисел. Абелево многообразие может быть определено уравнениями с коэффициентами в любом поле k. Говорят,многообразие над полем k. Исторически, сначала изучались абелевы многообразия над полем комплексных чисел. (ru)
|
