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- In der Mathematik ist die Manin-Mumford-Vermutung ein von Michel Raynaud bewiesener Lehrsatz der arithmetischen Geometrie, der unabhängig von Juri Manin und David Mumford vermutet worden war. Er besagt, dass für eine über definierte abelsche Varietät und eine Kurve vom Geschlecht mindestens , es nur endlich viele Torsionspunkte in gibt. Insbesondere erhält man für die Jacobi-Varietät einer algebraischen Kurve , dass im Fall die Kurve nur endlich viele Torsionspunkte (für die Gruppenstruktur der Jacobi-Varietät als abelsche Varietät) enthalten kann. (Das war die ursprüngliche Formulierung der Vermutung.) Allgemeinere Formen der Manin-Mumford-Vermutung sind die und die . Der Beweis der Mordell-Lang-Vermutung benötigte die Manin-Mumford-Vermutung zusammen mit der von Faltings bewiesenen Mordell-Vermutung. Die Bogomolow-Vermutung wurde von Ullmo und Zhang bewiesen. Neben dem ursprünglichen, Arithmetik über Zahlkörpern benutzenden Beweis Raynauds gab es noch mehrere Beweise, darunter solche, die Modelltheorie (Ehud Hrushovski) und o-Minimalität verwenden. Einen fast nur klassische algebraische Geometrie verwendenden Beweis, der auf dem Beweis von Hrushovski basierte, gaben Richard Pink und Damian Rössler. Sie bewiesen die Manin-Mumford-Vermutung auch für abelsche Varietäten über Körpern endlicher Charakteristik. (de)
- In mathematics, the arithmetic of abelian varieties is the study of the number theory of an abelian variety, or a family of abelian varieties. It goes back to the studies of Pierre de Fermat on what are now recognized as elliptic curves; and has become a very substantial area of arithmetic geometry both in terms of results and conjectures. Most of these can be posed for an abelian variety A over a number field K; or more generally (for global fields or more general finitely-generated rings or fields). (en)
- 数学では、アーベル多様体の数論(arithmetic of abelian varieties)とは、アーベル多様体、あるいはそれらの族の数論を研究することである。これは、現在は楕円曲線として認識されているピエール・ド・フェルマー(Pierre de Fermat)の研究に遡り、結果と予想の両面で非常に実績に富んだ分野となっている。これらの楕円曲線上で得られたうちの大半は、数体 K（あるいは、より一般的には、大域体や有限生成の環や体）の上のアーベル多様体 A に対して成立している。 (ja)
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- In mathematics, the arithmetic of abelian varieties is the study of the number theory of an abelian variety, or a family of abelian varieties. It goes back to the studies of Pierre de Fermat on what are now recognized as elliptic curves; and has become a very substantial area of arithmetic geometry both in terms of results and conjectures. Most of these can be posed for an abelian variety A over a number field K; or more generally (for global fields or more general finitely-generated rings or fields). (en)
- 数学では、アーベル多様体の数論(arithmetic of abelian varieties)とは、アーベル多様体、あるいはそれらの族の数論を研究することである。これは、現在は楕円曲線として認識されているピエール・ド・フェルマー(Pierre de Fermat)の研究に遡り、結果と予想の両面で非常に実績に富んだ分野となっている。これらの楕円曲線上で得られたうちの大半は、数体 K（あるいは、より一般的には、大域体や有限生成の環や体）の上のアーベル多様体 A に対して成立している。 (ja)
- In der Mathematik ist die Manin-Mumford-Vermutung ein von Michel Raynaud bewiesener Lehrsatz der arithmetischen Geometrie, der unabhängig von Juri Manin und David Mumford vermutet worden war. Er besagt, dass für eine über definierte abelsche Varietät und eine Kurve vom Geschlecht mindestens , es nur endlich viele Torsionspunkte in gibt. Insbesondere erhält man für die Jacobi-Varietät einer algebraischen Kurve , dass im Fall die Kurve nur endlich viele Torsionspunkte (für die Gruppenstruktur der Jacobi-Varietät als abelsche Varietät) enthalten kann. (Das war die ursprüngliche Formulierung der Vermutung.) (de)
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- Manin-Mumford-Vermutung (de)
- Arithmetic of abelian varieties (en)
- アーベル多様体の数論 (ja)
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