In mathematics, a projection is a mapping of a set (or other mathematical structure) into a subset (or sub-structure), which is equal to its square for mapping composition (or, in other words, which is idempotent). The restriction to a subspace of a projection is also called a projection, even if the idempotence property is lost.An everyday example of a projection is the casting of shadows onto a plane (paper sheet). The projection of a point is its shadow on the paper sheet. The shadow of a point on the paper sheet is this point itself (idempotency). The shadow of a three-dimensional sphere is a closed disk. Originally, the notion of projection was introduced in Euclidean geometry to denote the projection of the Euclidean space of three dimensions onto a plane in it, like the shadow examp

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  • En matemàtiques, una projecció és una aplicació d'un conjunt (o una altra estructura matemàtica) en un subconjunt (o subestructura), que és igual al seu quadrat per composició de funcions (o, en altres paraules, que és idempotent). La restricció d'una projecció a un subespai també s'anomena projecció, encara que es perdi la propietat d'idempotència. (ca)
  • En general, una proyección en matemáticas es un mapeo de un conjunto (o de una estructura matemática) que es idempotente, es decir, que la proyección es igual a la composición consigo misma. Una proyección puede referirse también a un mapeo que tenga inversa izquierda, quedando ambas nociones fuertemente relacionadas como sigue: Sea p un mapeo idempotente de un conjunto E en sí mismo (es decir, p∘p = p) y sea F=pp(E) la imagen de p. Denotando por π al mapeo p como mapeo desde E en F y por i la función inyectiva asociada de F en E, tenemos entonces que i∘π = IdF; por otro lado i∘π = IdF implica que π∘i es idempotente. -La noción de proyección aparece originalmente en el contexto de la geometría euclidiana para denotar la proyección del espacio euclidiano de dimensión 3 sobre un plano contenido en él. Las dos principales proyecciones de este tipo son: * La proyección de un punto en un plano o : Si C es el punto denominado centro de la proyección, la proyección de un punto P distinto de C es la intersección de la línea CP con el plano. Si los puntos P son tales que la línea CP es paralela al plano, entonces no existe imagen bajo la proyección. * La proyección en un plano paralelo a la dirección D: La imagen de un punto P es la intersección con el plano de la línea paralela a D que pasa por P. Varias otras proyecciones, denominadas se definieron por las necesidades de la cartografía, mientras que varias proyecciones tridimensionales están en el centro de la teoría de la perspectiva. La necesidad de unificar ambos tipos de proyecciones y definir la imagen bajo una proyección central de cualquier punto distinto del centro de proyección da origen a la geometría proyectiva. La noción original de proyección se ha extendido o generalizado a varios contextos matemáticos, los cuales con frecuencia tienen alguna relación con la geometría. A continuación se proporcionan algunos ejemplos: * En teoría de conjuntos: * Cualquier operación caracterizada por el j-ésimo mapeo de proyección, escrito proyj , que toma una elemento x = (x1,..., xj ,..., xk) del producto cartesiano X1 × … × Xj × … × Xk al valor proyj (x) = xj . Este mapeo siempre es . * Un mapeo que toma un elemento a su clase de equivalencia bajo cualquier relación de equivalencia se conoce como una proyección canónica. * El mapeo de evaluación envía una función f al valor f(c) para cualquier valor fijo c. El espacio de funciones YX se puede identificar con el producto cartesiano , y el mapeo evaluación es un mapeo de proyección desde el producto cartesiano. * En teoría de categorías, el concepto mencionado de producto cartesiano de productos se generaliza a categorías arbitrarias. El producto de ciertos objetos tiene un morfismo canónico de proyección en cada factor. Esta proyección puede tener formas diversas en categorías diferentes: la proyección del producto cartesiano de conjuntos, de la topología producto de espacios topológicos (que es siempre un ), o del , etc. Aunque estos morfismos son por lo regular epimorfismos, esto no tiene porqué ser necesariamente así. * En álgebra lineal, una transformación lineal que permanece invariante al ser aplicada dos veces (p(u) = p(p(u))), es decir, un operador idempotente. Por ejemplo, el mapeo que lleva un punto (x, y, z) al punto (x, y, 0) en el plano es una proyección. Este tipo de proyección se generaliza de forma natural a un número arbitrario de dimensiones, tanto para el dominio como para el contradominio. En el caso de proyecciones ortogonales, el espacio admite una descomposición como producto y el operador de proyección corresponde a una proyección en ese otro contexto. * En topología, un retracto es un mapeo continuo r: X → X que se restringe a la identidad en su imagen. Esto satisface una condición de idempotencia r2 = r y puede considerarse una generalización del mapeo de proyección. Un retracto que es a la identidad se denomina . El término también se usa en teoría de categorías para referirse a cualquier epimorfismo que se separa. * Datos: Q13415428 (es)
  • In mathematics, a projection is a mapping of a set (or other mathematical structure) into a subset (or sub-structure), which is equal to its square for mapping composition (or, in other words, which is idempotent). The restriction to a subspace of a projection is also called a projection, even if the idempotence property is lost.An everyday example of a projection is the casting of shadows onto a plane (paper sheet). The projection of a point is its shadow on the paper sheet. The shadow of a point on the paper sheet is this point itself (idempotency). The shadow of a three-dimensional sphere is a closed disk. Originally, the notion of projection was introduced in Euclidean geometry to denote the projection of the Euclidean space of three dimensions onto a plane in it, like the shadow example. The two main projections of this kind are: * The projection from a point onto a plane or central projection: If C is a point, called the center of projection, then the projection of a point P different from C onto a plane that does not contain C is the intersection of the line CP with the plane. The points P such that the line CP is parallel to the plane does not have any image by the projection, but one often says that they project to a point at infinity of the plane (see projective geometry for a formalization of this terminology). The projection of the point C itself is not defined. * The projection parallel to a direction D, onto a plane or parallel projection: The image of a point P is the intersection with the plane of the line parallel to D passing through P. See Affine space § Projection for an accurate definition, generalized to any dimension. The concept of projection in mathematics is a very old one, most likely has its roots in the phenomenon of the shadows cast by real-world objects on the ground. This rudimentary idea was refined and abstracted, first in a geometric context and later in other branches of mathematics. Over time different versions of the concept developed, but today, in a sufficiently abstract setting, we can unify these variations. In cartography, a map projection is a map of a part of the surface of the Earth onto a plane, which, in some cases, but not always, is the restriction of a projection in the above meaning. The 3D projections are also at the basis of the theory of perspective. The need for unifying the two kinds of projections and of defining the image by a central projection of any point different of the center of projection are at the origin of projective geometry. However, a projective transformation is a bijection of a projective space, a property not shared with the projections of this article. (en)
  • 사영 또는 투영은 어떤 집합을 부분집합으로 특정한 조건을 만족시키면서 옮기는 작용이다. (ko)
  • Rzut – odwzorowanie trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na daną powierzchnię zwaną rzutnią, które każdemu punktowi przestrzeni przypisuje punkt przecięcia się z rzutnią pewnej prostej z danej rodziny prostych rzutujących przechodzącej przez punkt . Rzutnia jest najczęściej płaszczyzną, choć stosuje się również rzuty na powierzchnię kuli, walca, stożka i inne. Rzut można także rozumieć jako funkcję odwzorowującą płaszczyznę na pewną jej prostą (będącą rzutnią) i ogólniej jako funkcję odwzorowującą n-wymiarową przestrzeń euklidesową na pewną jej hiperpłaszczyznę. W zależności od definicji rodziny prostych rzutujących wyróżnia się rzuty: * rzut równoległy – wszystkie proste rzutujące są równoległe do obranego kierunku, * prostokątny – kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni, * ukośny – kierunek rzutowania nie jest prostopadły do rzutni, * aksonometria – dostosowanie kierunku rzutowania i orientacji rzutni do kształtu rzutowanego obiektu, * rzut środkowy (perspektywa) – wszystkie proste rzutujące przechodzą przez pewien punkt zwany środkiem rzutu. (pl)
  • Projectie in de meetkunde is een bepaald soort transformatie, waarbij een hogerdimensionale ruimte tot een lagerdimensionale ruimte terug wordt gebracht. De meetkunde kent verschillende soorten projecties of projectiemethoden. (nl)
  • Em matemática, uma projecção num conjunto é uma aplicação idempotente. Dentro de cada área da matemática podem ser exigidas outras propriedades, como linearidade (na álgebra linear), continuidade (em topologia), etc. Dada uma relação de equivalência num conjunto X, também se chama projecção à aplicação que envia cada elemento de X à sua classe de equivalência. (pt)
  • Inom matematikområdena linjär algebra och funktionalanalys är en projektion en linjär avbildning från ett vektorrum till sig själv sådant att (man säger att är idempotent). En ortogonalprojektion är inom linjär algebra en metod att bestämma en uppdelning av en vektor i en del som ligger i ett underrum och den del som är ortogonal mot underrummet. Även ortogonala projektioner kan uttryckas som avbildningar, men framställs ofta som en formel, projektionsformeln. (sv)
  • Проекция (лат. projectio — «выбрасывание вперёд») 1. * изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов зрения, фотографии, камеры-обскуры. Термин проекция в этом контексте также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод. Широко применяется в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Изучением методов построения проекций как инженерная дисциплина занимается начертательная геометрия. 2. * обобщение проекции в первом смысле (точнее — её разновидности — параллельной проекции) для отображения точек, фигур, векторов пространства любой размерности на его подпространство любой размерности, например, кроме проекции точек трёхмерного пространства на плоскость, это может быть проекция точек трёхмерного пространства на прямую, точек плоскости на прямую, точек 7-мерного пространства на его 4-мерное подпространство и т. п., а также проекция вектора на любое подпространство исходного пространства, и в особенности, как особенно важный частный случай, на прямую или на направление. Проекция в этом смысле находит широкое применение в отношении векторов (как в элементарном контексте, так и в абстрактном), при использовании декартовых координат и т. п. (ru)
  • 射影是一个存在于数学及物理学中的概念,存在于集合论、线性代数、几何学以及拓扑学等诸多理念中。在平面几何中,与一个图形相似的图形叫做这个图形的射影。 在三维立体几何中,对图形用“垂直于平面的光线”进行投影,在平面上形成的图像就是图形在平面内的射影。 (zh)
  • Проє́кція (від лат. projectio — «викидання вперед»). Проєкції – зображення просторових об’єктів на площині або якій-небудь іншій поверхні. (uk)
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  • En matemàtiques, una projecció és una aplicació d'un conjunt (o una altra estructura matemàtica) en un subconjunt (o subestructura), que és igual al seu quadrat per composició de funcions (o, en altres paraules, que és idempotent). La restricció d'una projecció a un subespai també s'anomena projecció, encara que es perdi la propietat d'idempotència. (ca)
  • 사영 또는 투영은 어떤 집합을 부분집합으로 특정한 조건을 만족시키면서 옮기는 작용이다. (ko)
  • Projectie in de meetkunde is een bepaald soort transformatie, waarbij een hogerdimensionale ruimte tot een lagerdimensionale ruimte terug wordt gebracht. De meetkunde kent verschillende soorten projecties of projectiemethoden. (nl)
  • Em matemática, uma projecção num conjunto é uma aplicação idempotente. Dentro de cada área da matemática podem ser exigidas outras propriedades, como linearidade (na álgebra linear), continuidade (em topologia), etc. Dada uma relação de equivalência num conjunto X, também se chama projecção à aplicação que envia cada elemento de X à sua classe de equivalência. (pt)
  • Inom matematikområdena linjär algebra och funktionalanalys är en projektion en linjär avbildning från ett vektorrum till sig själv sådant att (man säger att är idempotent). En ortogonalprojektion är inom linjär algebra en metod att bestämma en uppdelning av en vektor i en del som ligger i ett underrum och den del som är ortogonal mot underrummet. Även ortogonala projektioner kan uttryckas som avbildningar, men framställs ofta som en formel, projektionsformeln. (sv)
  • 射影是一个存在于数学及物理学中的概念,存在于集合论、线性代数、几何学以及拓扑学等诸多理念中。在平面几何中,与一个图形相似的图形叫做这个图形的射影。 在三维立体几何中,对图形用“垂直于平面的光线”进行投影,在平面上形成的图像就是图形在平面内的射影。 (zh)
  • Проє́кція (від лат. projectio — «викидання вперед»). Проєкції – зображення просторових об’єктів на площині або якій-небудь іншій поверхні. (uk)
  • In mathematics, a projection is a mapping of a set (or other mathematical structure) into a subset (or sub-structure), which is equal to its square for mapping composition (or, in other words, which is idempotent). The restriction to a subspace of a projection is also called a projection, even if the idempotence property is lost.An everyday example of a projection is the casting of shadows onto a plane (paper sheet). The projection of a point is its shadow on the paper sheet. The shadow of a point on the paper sheet is this point itself (idempotency). The shadow of a three-dimensional sphere is a closed disk. Originally, the notion of projection was introduced in Euclidean geometry to denote the projection of the Euclidean space of three dimensions onto a plane in it, like the shadow examp (en)
  • En general, una proyección en matemáticas es un mapeo de un conjunto (o de una estructura matemática) que es idempotente, es decir, que la proyección es igual a la composición consigo misma. Una proyección puede referirse también a un mapeo que tenga inversa izquierda, quedando ambas nociones fuertemente relacionadas como sigue: -La noción de proyección aparece originalmente en el contexto de la geometría euclidiana para denotar la proyección del espacio euclidiano de dimensión 3 sobre un plano contenido en él. Las dos principales proyecciones de este tipo son: (es)
  • Rzut – odwzorowanie trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na daną powierzchnię zwaną rzutnią, które każdemu punktowi przestrzeni przypisuje punkt przecięcia się z rzutnią pewnej prostej z danej rodziny prostych rzutujących przechodzącej przez punkt . Rzutnia jest najczęściej płaszczyzną, choć stosuje się również rzuty na powierzchnię kuli, walca, stożka i inne. Rzut można także rozumieć jako funkcję odwzorowującą płaszczyznę na pewną jej prostą (będącą rzutnią) i ogólniej jako funkcję odwzorowującą n-wymiarową przestrzeń euklidesową na pewną jej hiperpłaszczyznę. (pl)
  • Проекция (лат. projectio — «выбрасывание вперёд») 1. * изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов зрения, фотографии, камеры-обскуры. Термин проекция в этом контексте также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод. Широко применяется в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Изучением методов построения проекций как инженерная дисциплина занимается начертательная геометрия. 2. * обобщение проекции в первом смысле (точнее — её разновидности — параллельной проекции) для отображения точек, фигур, векторов пространства любой размерности на его подпространство любой размерности, например, кроме пр (ru)
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  • Projecció (matemàtiques) (ca)
  • Projection (mathematics) (en)
  • Proyección (matemáticas) (es)
  • 射影 (ja)
  • 사영 (ko)
  • Rzut (geometria) (pl)
  • Projectie (wiskunde) (nl)
  • Projeção (matemática) (pt)
  • Проекция (геометрия) (ru)
  • Projektion (algebra) (sv)
  • Проєкція (математика) (uk)
  • 射影 (zh)
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