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- In der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, stellen Selbergsche Spurformeln einen Zusammenhang zwischen der Spur gewisser Operatoren und einer Summe geometrischer Terme her. Während die Berechnung der Eigenwerte eines Differentialoperators oft unzugänglich ist, kann mit den Spurformeln zumindest eine Aussage über die Summe der Eigenwerte getroffen werden. Insbesondere der von Selberg ausgearbeitete Fall des Laplace-Beltrami-Operators lokal symmetrischer Räume vom Rang 1 hat Anwendungen in der analytischen Zahlentheorie, Darstellungstheorie und Differentialgeometrie. Die allgemeinere spielt eine wichtige Rolle im Langlands-Programm. (de)
- En mathématiques, la formule des traces de Selberg est un résultat central en analyse harmonique non commutative. Elle fournit une expression pour la trace de certains opérateurs intégraux ou différentiels agissant sur des espaces de fonctions sur un espace homogène G/Γ, où G est un groupe de Lie et Γ un groupe discret, ou plus généralement sur un double quotient H\G/Γ. Un cas particulier important est celui où l'espace est une surface de Riemann compacte S. L'article initial de Atle Selberg en 1956 traitait de ce cas, pour l'opérateur laplacien et ses puissances. Les traces des puissances du Laplacien permettent dans ce cas de définir une forme de fonction zêta. L'intérêt est l'analogie puissante qui apparaît alors entre la formule obtenue et les formules explicites de la théorie des nombres. Les géodésiques fermées de S jouent le rôle des nombres premiers. Cette relation a été immédiatement reconnue comme une lueur nouvelle sur l'hypothèse de Riemann. La formule des traces de Selberg établit une relation entre le spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une surface compacte à courbure négative constante et les longueurs des géodésiques périodiques sur cette surface. Elle généralise la formule sommatoire de Poisson valide pour le tore. (fr)
- In mathematics, the Selberg trace formula, introduced by , is an expression for the character of the unitary representation of a Lie group G on the space L2(Γ\G) of square-integrable functions, where Γ is a cofinite discrete group. The character is given by the trace of certain functions on G. The simplest case is when Γ is cocompact, when the representation breaks up into discrete summands. Here the trace formula is an extension of the Frobenius formula for the character of an induced representation of finite groups. When Γ is the cocompact subgroup Z of the real numbers G = R, the Selberg trace formula is essentially the Poisson summation formula. The case when Γ\G is not compact is harder, because there is a continuous spectrum, described using Eisenstein series. Selberg worked out the non-compact case when G is the group SL(2, R); the extension to higher rank groups is the Arthur–Selberg trace formula. When Γ is the fundamental group of a Riemann surface, the Selberg trace formula describes the spectrum of differential operators such as the Laplacian in terms of geometric data involving the lengths of geodesics on the Riemann surface. In this case the Selberg trace formula is formally similar to the explicit formulas relating the zeros of the Riemann zeta function to prime numbers, with the zeta zeros corresponding to eigenvalues of the Laplacian, and the primes corresponding to geodesics. Motivated by the analogy, Selberg introduced the Selberg zeta function of a Riemann surface, whose analytic properties are encoded by the Selberg trace formula. (en)
- セルバーグ跡公式（セルバーグせきこうしき、Selberg trace formula）とは、 で導入された、二乗可積分函数の空間 L2(G/Γ) 上の G のユニタリ表現の指標の表現である。ここに G はリー群で Γ は余有限 (cofinite) な離散群とする。指標は、G 上のある函数のトレースにより与えられる。 Γ がな場合とは、離散的な和へ表現が分解するときのことを言う。ここで、跡公式とは、有限群の誘導表現の指標の(Frobenius formula)の拡張である。Γ が実数 G=R の余コンパクト部分群 Z のときには、セルバーグ跡公式は本質的にポアソン和公式である。 G/Γ がコンパクトでないときは、アイゼンシュタイン級数を使い記述された連続スペクトルとなり、より難しくなる。セルバーグは、G が群 SL2(R) の非コンパクトの場合に結果をもたらし、さらに高いランクの群への拡張が(Arthur-Selberg trace formula)である。 Γ がリーマン面の基本群のとき、セルバーグ跡公式は、リーマン面の測地線の長さを意味する幾何学的データの項にラプラシアンのような微分作用素のスペクトルを書き表す。この場合にはセルバーグ跡公式は、リーマンの明示公式に似た形となり、素数のリーマンゼータ函数のゼロ点に関係し、ゼータのゼロ点はラプラシアンの固有値に対応し、素数は測地線に対応する。この類似に動機を得て、セルバーグはリーマン面のセルバーグゼータ函数を導入し、解析的な性質は、このセルバーグ跡公式にエンコードされる。 (ja)
- 在數學中，塞爾伯格跡公式是的重要定理之一。此公式表達了齊性空間 的函數空間上某類算子的跡數，其中 是李群而 是其離散子群。 在1956年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了塞爾伯格ζ函數。此時的公式相似於解析數論關注的「明確公式」：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數在明確公式裡的角色。 一般而言，塞爾伯格跡公式聯繫了負常數曲率緊曲面上的拉普拉斯算子的譜，以及該曲面上的週期測地線長度。對於環面，塞爾伯格跡公式化為泊松求和公式。 (zh)
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- 在數學中，塞爾伯格跡公式是的重要定理之一。此公式表達了齊性空間 的函數空間上某類算子的跡數，其中 是李群而 是其離散子群。 在1956年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了塞爾伯格ζ函數。此時的公式相似於解析數論關注的「明確公式」：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數在明確公式裡的角色。 一般而言，塞爾伯格跡公式聯繫了負常數曲率緊曲面上的拉普拉斯算子的譜，以及該曲面上的週期測地線長度。對於環面，塞爾伯格跡公式化為泊松求和公式。 (zh)
- In der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, stellen Selbergsche Spurformeln einen Zusammenhang zwischen der Spur gewisser Operatoren und einer Summe geometrischer Terme her. Während die Berechnung der Eigenwerte eines Differentialoperators oft unzugänglich ist, kann mit den Spurformeln zumindest eine Aussage über die Summe der Eigenwerte getroffen werden. Insbesondere der von Selberg ausgearbeitete Fall des Laplace-Beltrami-Operators lokal symmetrischer Räume vom Rang 1 hat Anwendungen in der analytischen Zahlentheorie, Darstellungstheorie und Differentialgeometrie. (de)
- In mathematics, the Selberg trace formula, introduced by , is an expression for the character of the unitary representation of a Lie group G on the space L2(Γ\G) of square-integrable functions, where Γ is a cofinite discrete group. The character is given by the trace of certain functions on G. The case when Γ\G is not compact is harder, because there is a continuous spectrum, described using Eisenstein series. Selberg worked out the non-compact case when G is the group SL(2, R); the extension to higher rank groups is the Arthur–Selberg trace formula. (en)
- En mathématiques, la formule des traces de Selberg est un résultat central en analyse harmonique non commutative. Elle fournit une expression pour la trace de certains opérateurs intégraux ou différentiels agissant sur des espaces de fonctions sur un espace homogène G/Γ, où G est un groupe de Lie et Γ un groupe discret, ou plus généralement sur un double quotient H\G/Γ. La formule des traces de Selberg établit une relation entre le spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une surface compacte à courbure négative constante et les longueurs des géodésiques périodiques sur cette surface. (fr)
- セルバーグ跡公式（セルバーグせきこうしき、Selberg trace formula）とは、 で導入された、二乗可積分函数の空間 L2(G/Γ) 上の G のユニタリ表現の指標の表現である。ここに G はリー群で Γ は余有限 (cofinite) な離散群とする。指標は、G 上のある函数のトレースにより与えられる。 Γ がな場合とは、離散的な和へ表現が分解するときのことを言う。ここで、跡公式とは、有限群の誘導表現の指標の(Frobenius formula)の拡張である。Γ が実数 G=R の余コンパクト部分群 Z のときには、セルバーグ跡公式は本質的にポアソン和公式である。 G/Γ がコンパクトでないときは、アイゼンシュタイン級数を使い記述された連続スペクトルとなり、より難しくなる。セルバーグは、G が群 SL2(R) の非コンパクトの場合に結果をもたらし、さらに高いランクの群への拡張が(Arthur-Selberg trace formula)である。 (ja)
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- Selberg trace formula (en)
- Selbergsche Spurformel (de)
- Formule des traces de Selberg (fr)
- セルバーグ跡公式 (ja)
- 塞爾伯格跡公式 (zh)
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