| dbo:abstract
|
- There are many relationships among the uniform polyhedra. The Wythoff construction is able to construct almost all of the uniform polyhedra from the acute and obtuse Schwarz triangles. The numbers that can be used for the sides of a non-dihedral acute or obtuse Schwarz triangle that does not necessarily lead to only degenerate uniform polyhedra are 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3, and 5/4 (but numbers with numerator 4 and those with numerator 5 may not occur together). (4/2 can also be used, but only leads to degenerate uniform polyhedra as 4 and 2 have a common factor.) There are 44 such Schwarz triangles (5 with tetrahedral symmetry, 7 with octahedral symmetry and 32 with icosahedral symmetry), which, together with the infinite family of dihedral Schwarz triangles, can form almost all of the non-degenerate uniform polyhedra. Many degenerate uniform polyhedra, with completely coincident vertices, edges, or faces, may also be generated by the Wythoff construction, and those that arise from Schwarz triangles not using 4/2 are also given in the tables below along with their non-degenerate counterparts. Reflex Schwarz triangles have not been included, as they simply create duplicates or degenerates; however, a few are mentioned outside the tables due to their application to three of the snub polyhedra. There are a few non-Wythoffian uniform polyhedra, which no Schwarz triangles can generate; however, most of them can be generated using the Wythoff construction as double covers (the non-Wythoffian polyhedron is covered twice instead of once) or with several additional coinciding faces that must be discarded to leave no more than two faces at every edge (see Omnitruncated polyhedron#Other even-sided nonconvex polyhedra). Such polyhedra are marked by an asterisk in this list. The only uniform polyhedra which still fail to be generated by the Wythoff construction are the great dirhombicosidodecahedron and the great disnub dirhombidodecahedron. Each tiling of Schwarz triangles on a sphere may cover the sphere only once, or it may instead wind round the sphere a whole number of times, crossing itself in the process. The number of times the tiling winds round the sphere is the density of the tiling, and is denoted μ. Jonathan Bowers' short names for the polyhedra, known as Bowers acronyms, are used instead of the full names for the polyhedra to save space. The Maeder index is also given. Except for the dihedral Schwarz triangles, the Schwarz triangles are ordered by their densities. The analogous cases of Euclidean tilings are also listed, and those of hyperbolic tilings briefly and incompletely discussed. (en)
- Существует много связей между однородными многогранниками. Построение Витхоффа способно построить почти все однородные многогранники из треугольников Шварца. Числа, которые могут быть использованы для сторон недиэдрического треугольника Шварца, которые не обязательно приводят только к вырожденным многогранникам, равны 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 и 5/4 (но числа с числителями 4 и 5 не могут встречаться вместе). Число 4/2 тоже можно использовать, но оно приводит к вырожденным однородным многогранникам, поскольку 4 и 2 имеют общий делитель. Существует 44 таких треугольников Шварца (5 с тетраэдральной симметрией, 7 с и 32 с икосаэдральной симметрией), которые, вместе с бесконечным семейством диэдрических треугольников Шварца, могут образовать почти все невырожденные однородные многогранники. Многие вырожденные однородные многогранники с полностью совпадающими вершинами, рёбрами или гранями могут быть также сгенерированы с помощью построения Витхоффа, и те, которые возникают из треугольников Шварца, не использующих 4/2, также включены в таблицы ниже вместе с их невырожденными аналогами. Существует несколько невитхоффовых однородных многогранника, которые треугольники Шварца не могут сгенерировать. Однако большинство из них может быть получено с помощью построения Витхоффа как двойное покрытие (невитхоффов многогранник покрывается дважды) или с несколькими дополнительными гранями (см. ). Такие многогранники помечены в списке звёздочкой. Только для двух однородных многогранников построение Витхоффа не работает — это и . Каждая мозаика треугольников Шварца на сфере может покрыть сферу только раз, либо, вместо этого, обойти сферу кратное число раз, пересекая себя в процессе покрытия. Число раз, которые мозаика оборачивает сферу, является мозаики и обозначается μ. Для экономии места в статье используются короткие имена многогранников, данные Джонатаном Бауэрсом (Jonathan Bowers), и известные как сокращения (акронимы) Бауэрса. Номер Маедера (система «Mathematic») также дан. За исключением диэдрических треугольников Шварца, треугольники Шварца упорядочены по их плотности. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- There are many relationships among the uniform polyhedra. The Wythoff construction is able to construct almost all of the uniform polyhedra from the acute and obtuse Schwarz triangles. The numbers that can be used for the sides of a non-dihedral acute or obtuse Schwarz triangle that does not necessarily lead to only degenerate uniform polyhedra are 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3, and 5/4 (but numbers with numerator 4 and those with numerator 5 may not occur together). (4/2 can also be used, but only leads to degenerate uniform polyhedra as 4 and 2 have a common factor.) There are 44 such Schwarz triangles (5 with tetrahedral symmetry, 7 with octahedral symmetry and 32 with icosahedral symmetry), which, together with the infinite family of dihedral Schwarz triangles, can form almost all of (en)
- Существует много связей между однородными многогранниками. Построение Витхоффа способно построить почти все однородные многогранники из треугольников Шварца. Числа, которые могут быть использованы для сторон недиэдрического треугольника Шварца, которые не обязательно приводят только к вырожденным многогранникам, равны 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 и 5/4 (но числа с числителями 4 и 5 не могут встречаться вместе). Число 4/2 тоже можно использовать, но оно приводит к вырожденным однородным многогранникам, поскольку 4 и 2 имеют общий делитель. Существует 44 таких треугольников Шварца (5 с тетраэдральной симметрией, 7 с и 32 с икосаэдральной симметрией), которые, вместе с бесконечным семейством диэдрических треугольников Шварца, могут образовать почти все невырожденные однородные многогранник (ru)
|
