In geometry, inversive geometry is the study of those properties of figures that are preserved by a generalization of a type of transformation of the Euclidean plane, called inversion. These transformations preserve angles and map generalized circles into generalized circles, where a generalized circle means either a circle or a line (loosely speaking, a circle with infinite radius). Many difficult problems in geometry become much more tractable when an inversion is applied. The concept of inversion can be .

Property Value
dbo:abstract
  • In geometry, inversive geometry is the study of those properties of figures that are preserved by a generalization of a type of transformation of the Euclidean plane, called inversion. These transformations preserve angles and map generalized circles into generalized circles, where a generalized circle means either a circle or a line (loosely speaking, a circle with infinite radius). Many difficult problems in geometry become much more tractable when an inversion is applied. The concept of inversion can be . (en)
  • Eine Inversion ist in der Geometrie entweder eine Kreisspiegelung oder eine Spiegelung an einer Kugel. Beide Begriffe sind an die der gewöhnlichen Spiegelung an einer Gerade in der Ebene oder einer Ebene im Raum angelehnt und haben, wie diese, die folgenden Eigenschaften: a) Es gibt viele Fixpunkte: der Kreis/die Kugel, an dem/der gespiegelt wird, bleibt punktweise fest,b) Winkel bleiben erhalten (insbesondere rechte Winkel),c) Spiegelungen sind immer involutorisch, d. h., sie sind mit ihrer Umkehrabbildung identisch. Es gibt allerdings wesentliche Unterschiede: 1) Eine Inversion bildet eine Gerade meistens auf einen Kreis ab. Sie ist also keine Kollineation. 2) Eine Inversion ist nicht längentreu. Inversionen spielen schon lange eine wichtige Rolle in der Geometrie. Inverse Bilder von Kegelschnitten und Quadriken im Raum sind algebraische Kurven und Flächen von höchstens 4. Grad mit interessanten Eigenschaften (siehe Beispiele). (de)
  • En geometría se denomina inversión a una aplicación que establece una correspondencia biunívoca entre los puntos del exterior y los puntos del interior de una circunferencia dada en un plano, de forma que: Este procedimiento, cuando se aplica a distintas clases de líneas (como rectas, circunferencias o a diversos tipos de curvas algebraicas), permite generar imágenes inversas de estas líneas con propiedades geométricas reseñables. (es)
  • En géométrie, une inversion est une transformation qui inverse les distances par rapport à un point donné, appelé centre de l'inversion. Cela signifie en substance que l'image d'un point est d'autant plus éloignée du centre de l'inversion que le point d'origine en est proche. (fr)
  • Nella geometria piana, l'inversione circolare è una particolare trasformazione che "specchia" i punti rispetto ad una data circonferenza. La trasformazione non è una trasformazione geometrica piana in senso stretto, perché sposta il centro della circonferenza "all'infinito": si tratta piuttosto di una trasformazione della sfera ottenuta aggiungendo il punto all'infinito al piano tramite proiezione stereografica. Più in generale, una inversione è definita anche nello spazio tridimensionale (a partire da una sfera), e nello spazio euclideo . (it)
  • Inversie heeft in de meetkunde twee verschillende betekenissen. Het gaat in beide gevallen om een soort afbeelding. Er wordt in dit artikel vooral op de inversie ingegaan die synoniem is met cirkelspiegeling. Met deze betekenis is het een soort spiegeling in een cirkel in het platte vlak. Een puntspiegeling wordt ook een inversie genoemd. Een puntspiegeling beeldt een vector in tegengestelde richting af. (nl)
  • Inwersja – rodzaj przekształcenia geometrycznego; można je sobie wyobrażać jako „wywinięcie” wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i „zawinięcie” zewnętrza tego koła do jego wnętrza. Do kluczowych własności inwersji należą: zachowywanie kątów (nieskierowanych) oraz fakt, iż obrazami uogólnionych okręgów (tzn. okręgów lub prostych interpretowanych jako okręgi o nieskończonym promieniu) są uogólnione okręgi. Pojęcie to uogólnia się na przestrzenie wyższego wymiaru, zob. . Choć inwersje można zdefiniować dla płaszczyzny euklidesowej (lub ogólniej: afinicznej), to naturalnym miejscem badania tych przekształceń jest płaszczyzna inwersyjna rozszerzająca płaszczyznę o nienależący do niej punkt nazywany punktem w nieskończoności (nieskończenie dalekim, niewłaściwym, idealnym). Dodanie punktu do liczb zespolonych (zob. uzwarcenie) daje zespoloną prostą rzutową nazywaną często sferą Riemanna. (pl)
  • Inversion i planet är, löst uttryckt, ett sätt att spegla geometriska objekt i en given cirkel, den så kallade inversioncirkeln. Inversion innebär alltså att man vänder objekt innanför cirkeln, så de hamnar utanför cirkeln och tvärtom. Objekt som ligger helt på inversionscirkeln, kommer att övergå i objekt som fortfarande ligger på inversionscirkeln. Medan inversion (lokalt) bevarar vinklar, förvanskas dock längder och bland de få objekt som har enkla utseenden både före och efter inversion finns linjer (som övergår i linjer eller cirklar) och cirklar (som övergår i linjer eller cirklar). Därför kan ses som en formalisering av den transparenta och intuitiva observationen att linjer kan betraktas som "cirklar med oändlig radie". Grunden för inversion av geometriska objekt är inversion av punkter. Två punkter A och B sägs vara inversiva punkter till varandra med avseende på cirkeln med centrum O och radie r om Genom likformighet kan man till exempel visa vända-ut-och-in egenskapen samt att vinklar bevaras som nämndes ovan. Man kan på analogt sätt även införa inversion i rummet. Inversion "uppfanns" av Jakob Steiner cirka 1830 och behandlas rätt smidigt i kartesianska koordinatsystem genom att representera punkter (vektorer) som komplexa tal. Typiskt utseende på inversion ges då av Möbiusavbildningen För att kunna undersöka något djupare egenskaper hos inversion, visar det sig lämpligt använda resultat och metoder från den komplexa analysen. Faktum är, att inversion numer oftast studeras på högskolenivå som en del i kurser i komplex analys. Möbiustransformationer kan visas bilda en grupp. Och enlighet med Felix Kleins , att geometri är studium av symmetrigruppen hos vissa funktionsklasser, kommer inversion att bilda en egen geometri, så kallad . Vissa geometriska problem som behandlar cirklar och linjer och vid första anblick verkar svåra kan lösas genom att utföra en lämplig inversion varpå resultatet följer. Ett exempel på detta är . Inversion har även kopplingar till icke-euklidisk geometri. (sv)
  • Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя. (ru)
  • 反演是種幾何變換。給定點、常數,點的變換對應點就是在以開始的射線上的一點使得。 反演的結果: * 過的直線:直線 * 過的圓:不過的直線 * 不過的圓:圓 * 過的球:不過的平面 對於點,以原點為中心,在直角坐標系的反演變換可寫成 以下都可視為反演: * :可以取球面上任意一點為中心,球的直徑為。 * :在平面取一系列共心圓,取一系列經過共心圓圓心的線,任意取一點為中心進行反演。 (zh)
  • Інверсія (від лат. inversio «звернення») відносно кола — евклідової площини, що переводить узагальнені кола (кола або прямі) в узагальнені кола, при якому одне з кіл поточково переводиться в себе. (uk)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 295844 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 28528 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 981543201 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:title
  • Inversion (en)
dbp:urlname
  • Inversion (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
rdfs:comment
  • In geometry, inversive geometry is the study of those properties of figures that are preserved by a generalization of a type of transformation of the Euclidean plane, called inversion. These transformations preserve angles and map generalized circles into generalized circles, where a generalized circle means either a circle or a line (loosely speaking, a circle with infinite radius). Many difficult problems in geometry become much more tractable when an inversion is applied. The concept of inversion can be . (en)
  • En geometría se denomina inversión a una aplicación que establece una correspondencia biunívoca entre los puntos del exterior y los puntos del interior de una circunferencia dada en un plano, de forma que: Este procedimiento, cuando se aplica a distintas clases de líneas (como rectas, circunferencias o a diversos tipos de curvas algebraicas), permite generar imágenes inversas de estas líneas con propiedades geométricas reseñables. (es)
  • En géométrie, une inversion est une transformation qui inverse les distances par rapport à un point donné, appelé centre de l'inversion. Cela signifie en substance que l'image d'un point est d'autant plus éloignée du centre de l'inversion que le point d'origine en est proche. (fr)
  • Nella geometria piana, l'inversione circolare è una particolare trasformazione che "specchia" i punti rispetto ad una data circonferenza. La trasformazione non è una trasformazione geometrica piana in senso stretto, perché sposta il centro della circonferenza "all'infinito": si tratta piuttosto di una trasformazione della sfera ottenuta aggiungendo il punto all'infinito al piano tramite proiezione stereografica. Più in generale, una inversione è definita anche nello spazio tridimensionale (a partire da una sfera), e nello spazio euclideo . (it)
  • Inversie heeft in de meetkunde twee verschillende betekenissen. Het gaat in beide gevallen om een soort afbeelding. Er wordt in dit artikel vooral op de inversie ingegaan die synoniem is met cirkelspiegeling. Met deze betekenis is het een soort spiegeling in een cirkel in het platte vlak. Een puntspiegeling wordt ook een inversie genoemd. Een puntspiegeling beeldt een vector in tegengestelde richting af. (nl)
  • Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя. (ru)
  • 反演是種幾何變換。給定點、常數,點的變換對應點就是在以開始的射線上的一點使得。 反演的結果: * 過的直線:直線 * 過的圓:不過的直線 * 不過的圓:圓 * 過的球:不過的平面 對於點,以原點為中心,在直角坐標系的反演變換可寫成 以下都可視為反演: * :可以取球面上任意一點為中心,球的直徑為。 * :在平面取一系列共心圓,取一系列經過共心圓圓心的線,任意取一點為中心進行反演。 (zh)
  • Інверсія (від лат. inversio «звернення») відносно кола — евклідової площини, що переводить узагальнені кола (кола або прямі) в узагальнені кола, при якому одне з кіл поточково переводиться в себе. (uk)
  • Eine Inversion ist in der Geometrie entweder eine Kreisspiegelung oder eine Spiegelung an einer Kugel. Beide Begriffe sind an die der gewöhnlichen Spiegelung an einer Gerade in der Ebene oder einer Ebene im Raum angelehnt und haben, wie diese, die folgenden Eigenschaften: a) Es gibt viele Fixpunkte: der Kreis/die Kugel, an dem/der gespiegelt wird, bleibt punktweise fest,b) Winkel bleiben erhalten (insbesondere rechte Winkel),c) Spiegelungen sind immer involutorisch, d. h., sie sind mit ihrer Umkehrabbildung identisch. (de)
  • Inwersja – rodzaj przekształcenia geometrycznego; można je sobie wyobrażać jako „wywinięcie” wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i „zawinięcie” zewnętrza tego koła do jego wnętrza. Do kluczowych własności inwersji należą: zachowywanie kątów (nieskierowanych) oraz fakt, iż obrazami uogólnionych okręgów (tzn. okręgów lub prostych interpretowanych jako okręgi o nieskończonym promieniu) są uogólnione okręgi. Pojęcie to uogólnia się na przestrzenie wyższego wymiaru, zob. . (pl)
  • Inversion i planet är, löst uttryckt, ett sätt att spegla geometriska objekt i en given cirkel, den så kallade inversioncirkeln. Inversion innebär alltså att man vänder objekt innanför cirkeln, så de hamnar utanför cirkeln och tvärtom. Objekt som ligger helt på inversionscirkeln, kommer att övergå i objekt som fortfarande ligger på inversionscirkeln. Grunden för inversion av geometriska objekt är inversion av punkter. Två punkter A och B sägs vara inversiva punkter till varandra med avseende på cirkeln med centrum O och radie r om Man kan på analogt sätt även införa inversion i rummet. (sv)
rdfs:label
  • Inversive geometry (en)
  • Inversion (Geometrie) (de)
  • Inversión (geometría) (es)
  • Inversion (géométrie) (fr)
  • Inversione circolare (it)
  • Inwersja (geometria) (pl)
  • Inversie (meetkunde) (nl)
  • Инверсия (геометрия) (ru)
  • Inversion (sv)
  • Інверсія (геометрія) (uk)
  • 反演 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is rdfs:seeAlso of
is foaf:primaryTopic of