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- In der Geometrie versteht man unter dem Beltrami-Klein-Modell ein Modell der hyperbolischen Ebene. Es ist eines der Standardbeispiele einer nicht-euklidischen Geometrie und geht auf den italienischen Mathematiker Eugenio Beltrami (1835–1900) und den deutschen Mathematiker Felix Klein (1849–1925) zurück. Im deutschen Sprachraum wird das Modell oft einfach als Kleinsches Modell bezeichnet; manchmal auch als Modell von Cayley und Klein, wobei die letztere Bezeichnung der Tatsache Rechnung trägt, dass die Entwicklung des Modells durch Felix Klein neben den Untersuchungen von Eugenio Beltrami in besonderem Maße auch Ergebnisse von Arthur Cayley (1821–1895) berücksichtigt. Populär wird das Beltrami-Klein-Modell von einzelnen Autoren auch Bierdeckelgeometrie genannt. In Beltramis Definition handelt es sich um eine Realisierung der hyperbolischen Ebene als Riemannsche Mannigfaltigkeit, während Cayley und Klein das Modell als Teilmenge der projektiven Ebene betrachteten. Ende des 19. Jahrhunderts stellte David Hilbert ein Axiomensystem der Geometrie auf, für welches die Cayley-Klein-Ebene ebenfalls ein Modell ist. (de)
- In geometry, the Beltrami–Klein model, also called the projective model, Klein disk model, and the Cayley–Klein model, is a model of hyperbolic geometry in which points are represented by the points in the interior of the unit disk (or n-dimensional unit ball) and lines are represented by the chords, straight line segments with ideal endpoints on the boundary sphere. The Beltrami–Klein model is named after the Italian geometer Eugenio Beltrami and the German Felix Klein while "Cayley" in Cayley–Klein model refers to the English geometer Arthur Cayley. The Beltrami–Klein model is analogous to the gnomonic projection of spherical geometry, in that geodesics (great circles in spherical geometry) are mapped to straight lines. This model is not conformal, meaning that angles and circles are distorted, whereas the Poincaré disk model preserves these. In this model, lines and segments are straight Euclidean segments, whereas in the Poincaré disk model, lines are arcs that meet the boundary orthogonally. (en)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie non euclidienne, le modèle de Beltrami-Klein, également appelé modèle projectif ou modèle du disque de Klein, est un modèle de géométrie hyperbolique de dimension n dans lequel l'espace hyperbolique est modélisé par la boule unité euclidienne ouverte de rayon 1 de dimension n, les points de l'espace hyperbolique étant les points de la boule unité, et les droites de l'espace hyperbolique étant les cordes de la boule unité. Le terme fait sa première apparition dans les deux mémoires d'Eugenio Beltrami publiés en 1868. Le premier étudie le cas n = 2 et montre l'équiconsistance de la géométrie hyperbolique avec la géométrie euclidienne usuelle La relation entre le modèle de Beltrami-Klein et le disque de Poincaré est analogue, en géométrie hyperbolique, aux relations entre la projection gnomonique et la projection stéréographique pour une sphère. En particulier, le premier préserve les lignes droites là où le second préserve les angles. La distance est donné par la métrique de Cayley-Klein. Celle-ci a d'abord été décrite par Arthur Cayley dans le cadre de la géométrie projective et de la géométrie sphérique. Felix Klein reconnut l'importance de cette distance pour les géométries non euclidiennes et a popularisé le sujet. (fr)
- Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami per dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley ed approfondita successivamente da Felix Klein. Come il disco di Poincaré, il modello di Klein è una palla -dimensionale. La geometria è definita però in modo differente: le geodetiche nel modello di Klein sono infatti segmenti e non archi di circonferenza. La maggiore semplicità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiore complicazione nella descrizione degli angoli fra queste: il modello di Klein non è infatti un modello conforme, gli angoli fra rette non sono cioè quelli usuali del piano euclideo. (it)
- Проективная модель (называемая также модель Клейна, модель Бельтрами — Клейна, модель Кэли — Клейна) — модель планиметрии Лобачевского. Предложена итальянским математиком Эудженио Бельтрами.Немецкий математик Феликс Клейн разработал её независимо. С её помощью доказывается непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости евклидовой геометрии. (ru)
- Проєктивна модель (модель Кляйна, модель Бельтрамі — Кляйна) — модель геометрії Лобачевского, запропонована італійським математиком Еудженіо Бельтрамі. Німецький математик Фелікс Кляйн розробив її незалежно. За її допомогою доводиться несуперечливість геометрії Лобачевського в припущенні несуперечливості евклідової геометрії. (uk)
- 几何中，凯勒-克莱因模型（Cayley–Klein model），也称为射影模型（projective model）、克莱因圆盘模型（Klein disk model）或贝尔特拉米-克莱因模型（Beltrami–Klein model），是 n-维双曲几何的一个模型，其中点由 n-维单位球（二维时或称单位圆盘）中的点表示，直线由端点位于边界球面的直线段（即弦）表示。此模型最先出现于贝尔特拉米1868年的两篇论文中，首先是 n = 2 然后是一般的 n，用于证明双曲几何与通常欧几里得几何的（equiconsistency）。 距离公式最先由阿瑟·凯莱在射影和球面几何的情形下写出。菲利克斯·克莱因意识到它对非欧几里得几何的重要性并普及了这个论题。 (zh)
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- Проективная модель (называемая также модель Клейна, модель Бельтрами — Клейна, модель Кэли — Клейна) — модель планиметрии Лобачевского. Предложена итальянским математиком Эудженио Бельтрами.Немецкий математик Феликс Клейн разработал её независимо. С её помощью доказывается непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости евклидовой геометрии. (ru)
- Проєктивна модель (модель Кляйна, модель Бельтрамі — Кляйна) — модель геометрії Лобачевского, запропонована італійським математиком Еудженіо Бельтрамі. Німецький математик Фелікс Кляйн розробив її незалежно. За її допомогою доводиться несуперечливість геометрії Лобачевського в припущенні несуперечливості евклідової геометрії. (uk)
- 几何中，凯勒-克莱因模型（Cayley–Klein model），也称为射影模型（projective model）、克莱因圆盘模型（Klein disk model）或贝尔特拉米-克莱因模型（Beltrami–Klein model），是 n-维双曲几何的一个模型，其中点由 n-维单位球（二维时或称单位圆盘）中的点表示，直线由端点位于边界球面的直线段（即弦）表示。此模型最先出现于贝尔特拉米1868年的两篇论文中，首先是 n = 2 然后是一般的 n，用于证明双曲几何与通常欧几里得几何的（equiconsistency）。 距离公式最先由阿瑟·凯莱在射影和球面几何的情形下写出。菲利克斯·克莱因意识到它对非欧几里得几何的重要性并普及了这个论题。 (zh)
- In geometry, the Beltrami–Klein model, also called the projective model, Klein disk model, and the Cayley–Klein model, is a model of hyperbolic geometry in which points are represented by the points in the interior of the unit disk (or n-dimensional unit ball) and lines are represented by the chords, straight line segments with ideal endpoints on the boundary sphere. The Beltrami–Klein model is named after the Italian geometer Eugenio Beltrami and the German Felix Klein while "Cayley" in Cayley–Klein model refers to the English geometer Arthur Cayley. (en)
- In der Geometrie versteht man unter dem Beltrami-Klein-Modell ein Modell der hyperbolischen Ebene. Es ist eines der Standardbeispiele einer nicht-euklidischen Geometrie und geht auf den italienischen Mathematiker Eugenio Beltrami (1835–1900) und den deutschen Mathematiker Felix Klein (1849–1925) zurück. Im deutschen Sprachraum wird das Modell oft einfach als Kleinsches Modell bezeichnet; manchmal auch als Modell von Cayley und Klein, wobei die letztere Bezeichnung der Tatsache Rechnung trägt, dass die Entwicklung des Modells durch Felix Klein neben den Untersuchungen von Eugenio Beltrami in besonderem Maße auch Ergebnisse von Arthur Cayley (1821–1895) berücksichtigt. Populär wird das Beltrami-Klein-Modell von einzelnen Autoren auch Bierdeckelgeometrie genannt. In Beltramis Definition hande (de)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie non euclidienne, le modèle de Beltrami-Klein, également appelé modèle projectif ou modèle du disque de Klein, est un modèle de géométrie hyperbolique de dimension n dans lequel l'espace hyperbolique est modélisé par la boule unité euclidienne ouverte de rayon 1 de dimension n, les points de l'espace hyperbolique étant les points de la boule unité, et les droites de l'espace hyperbolique étant les cordes de la boule unité. Le terme fait sa première apparition dans les deux mémoires d'Eugenio Beltrami publiés en 1868. Le premier étudie le cas n = 2 et montre l'équiconsistance de la géométrie hyperbolique avec la géométrie euclidienne usuelle (fr)
- Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami per dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley ed approfondita successivamente da Felix Klein. (it)
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- Beltrami-Klein-Modell (de)
- Beltrami–Klein model (en)
- Modèle de Klein (fr)
- Modello di Klein (it)
- Проективная модель (ru)
- Проєктивна модель (uk)
- 凯莱-克莱因模型 (zh)
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