| dbo:abstract
|
- Die Abbildungsgeometrie ist der Zweig der Geometrie, der die geometrischen Abbildungen untersucht. Kennzeichnend für eine bestimmte Klasse von geometrischen Abbildungen sind vor allem die Invarianten der betreffenden Abbildungen, also diejenigen Eigenschaften geometrischer Objekte, die bei Anwendung der betreffenden Abbildungen unverändert bleiben. Diese Sichtweise der Geometrie wurde insbesondere von Felix Klein in seinem Erlanger Programm propagiert. Zur Abbildungsgeometrie gehören beispielsweise die Ähnlichkeitsabbildungen (mit den Invarianten Streckenverhältnis und Winkelgröße) oder die Kongruenzabbildungen (mit den Invarianten Streckenlänge und Winkelgröße). (de)
- La geometría de las transformaciones (o geometría transformacional) se refiere a una teoría pedagógica acerca de la enseñanza de la geometría euclídea que tiene como base el Programa de Erlangen, propuesto por el matemático alemán Felix Klein (1849-1925). Enfoca el estudio de la geometría centrándose en el concepto de los grupos de transformaciones geométricas, y en sus propiedades invariantes subyacentes. Se opone al enfoque clásico de la geometría sintética de euclídea, que se centra en la demostración de teoremas. Por ejemplo, dentro de la geometría de las transformaciones, las propiedades de un triángulo isósceles se deducen del hecho de que una reflexión permite asignarse a sí mismo respecto a una determinada recta. Esto contrasta con las pruebas clásicas según los criterios como la congruencia de triángulos. (es)
- En mathématiques, la géométrie des transformations correspond à l'étude géométrique centrée sur les groupes de transformations géométriques et à leurs propriétés, indépendamment des figures, considérées invariantes. Elle s'oppose de façon claire à la géométrie euclidienne, qui se concentre sur la construction géométrique. Par exemple, dans la géométrie des transformations, les propriétés d'un triangle isocèle sont déduites des symétries internes autour des droites géométriques particulières (hauteurs, bissectrices, médiatrices). Cette définition contraste avec la définition classique selon laquelle est isocèle tout triangle qui au moins deux angles égaux. Au XIXe siècle, Felix Klein est le premier à utiliser la transformation comme fondement de la géométrie, et propose une refonte du système euclidien dans le programme d'Erlangen. Au XXe siècle, une généralisation a été proposée pour l'éducation. Andreï Kolmogorov inclut cette approche (avec la théorie des ensembles), comme partie intégrante de la réforme de la géométrie en Russie. Les mathématiques modernes des années 1960 reprendront une telle conception. (fr)
- Geometri transformasi adalah salah satu cabang geometri yang mempelajari dengan memperhatikan sifat obyeknya ketika dipetakan. Geometri transformasi melibatkan transformasi geometri dan sifat-sifat yang invarian terhadap suatu bangunan. (in)
- 数学における変換幾何学（へんかんきかがく、英: transformation geometry）あるいは変換の幾何学 (transformational geometry) は、幾何学を幾何学的変換の成す群とそれらの作用に関する不変量に立脚して研究する方法論に用いられる数学的および教育学的な名称である。これは、作図に着目する綜合幾何学的手法に対立するものである。 例えば、変換の幾何学において二等辺三角形の性質は、それが適当な直線に関する鏡映によって自身に写されるという事実から演繹される。これは判定法による古典的証明とは対照的である。 幾何学の基礎付けとして変換の幾何学を用いる最初の体系的な試みは、19世紀にエルランゲン目録の名のもとにフェリックス・クラインによって為された。ほぼ一世紀に亙りこのアプローチは数学の研究会に限られたままであったが、20世紀には数学教育のための変換の幾何学の開拓の努力が進められた。アンドレイ・コルモゴロフはロシアにおける幾何学教育改革への提言の一環として、（集合論とともに）このアプローチを含めた。これらの努力は1960年代アメリカでと呼ばれる数学の全般改革へと繋がっていった。 (ja)
- In mathematics, transformation geometry (or transformational geometry) is the name of a mathematical and pedagogic take on the study of geometry by focusing on groups of geometric transformations, and properties that are invariant under them. It is opposed to the classical synthetic geometry approach of Euclidean geometry, that focuses on proving theorems. For example, within transformation geometry, the properties of an isosceles triangle are deduced from the fact that it is mapped to itself by a reflection about a certain line. This contrasts with the classical proofs by the criteria for congruence of triangles. The first systematic effort to use transformations as the foundation of geometry was made by Felix Klein in the 19th century, under the name Erlangen programme. For nearly a century this approach remained confined to mathematics research circles. In the 20th century efforts were made to exploit it for mathematical education. Andrei Kolmogorov included this approach (together with set theory) as part of a proposal for geometry teaching reform in Russia. These efforts culminated in the 1960s with the general reform of mathematics teaching known as the New Math movement. (en)
- In matematica, la geometria delle trasformazioni (o geometria trasformazionale) è un approccio matematico e pedagogico allo studio della geometria che si focalizza sui gruppi di trasformazioni geometriche e sulle proprietà delle figure che sono rispetto a tali gruppi. Si contrappone all'approccio classico della geometria euclidea, basato sulla geometria sintetica, che si incentra sulle costruzioni geometriche. Ad esempio, nell'ambito della geometria delle trasformazioni, le proprietà di un triangolo isoscele si deducono dal fatto che viene mappato su sé stesso da una trasformazione speculare intorno a una certa linea. Questo contrasta con le dimostrazioni classiche mediante i criteri di congruenza dei triangoli. Il primo sforzo sistematico per usare le trasformazioni come fondamento della geometria fu fatto da Felix Klein nel XIX secolo, che enunciò il cosiddetto programma di Erlangen. Per quasi un secolo questo approccio rimase confinato ai circoli della ricerca matematica. Nel XX secolo furono fatti sforzi per sfruttarlo ai fini della didattica della matematica. Andrei Kolmogorov incluse questo approccio (unitamente alla teoria degli insiemi) come parte di una proposta per la riforma dell'insegnamento della geometria in Russia. Questi tentativi culminarono negli anni 1960 con la riforma generale dell'insegnamento della matematica conosciuto come movimento della . (it)
- Em matemática, a geometria das transformações (ou geometria transformacional) é o nome para o estudo de geometria por meio dos grupos de transformações geométricas, e também de uma teoria pedagógica sobre o ensino de geometria euclidiana, ambos baseados no Programa de Erlangen. Uma geometria pode ser definida como o estudo de invariantes sob determinados grupos de transformações geométricas. Felix Klein, pioneiro deste ponto de vista, tinha interesse por educação matemática. No entanto, levou muitos anos para que a exposição de suas idéias tivesse muita influência, e assim, a geometria sintética permaneceu dominante. A reforma do ensino de geometria acabou sendo iniciada muito tempo depois, dentro do movimento Matemática Moderna. Uma exploração da geometria das transformações, frequentemente começa com um estudo da simetria bilateral como observada no cotidiano. A primeira transformação real é a reflexão através de uma reta ou reflexão através de um eixo. A composta de duas reflexões resulta em uma rotação quando as retas são transversais, ou numa translação quando elas são paralelas. Assim, através de transformações, os estudantes aprendem sobre isometrias no plano euclidiano. Por exemplo, considerando-se a reflexão por uma reta vertical e uma reta inclinada 45° em relação a horizontal, pode-se observar que uma composição produz uma rotação de 90° no sentido anti-horário enquanto a composta reversa produz uma rotação de 90° no sentido horário. Tais resultados mostram que a geometria das transformações inclui processos não-comutativos. Outra transformação apresentada aos estudantes é a homotetia. No entanto, a geralmente não é apresentada em cursos básicos. Assim, o estudo de , que é mais amplo do que a geometria das transformações para séries escolares, fica geralmente reservado para estudantes universitários. Experimentos com grupos de simetria concretos pavimentam o caminho para o estudo de teoria dos grupos. Outras atividades concretas usam cálculos com números complexos, números hipercomplexos, ou matrizes para expressar a geometria das transformações. Educadores mostraram algum interesse e descreveram projetos e experiências com geometria das transformações para crianças do jardim de infância até alunos do ensino médio. No caso de crianças de muita pouca idade, de modo a evitar a introdução de nova terminologia e de fazer ligações com as experiências cotidianas dos estudantes com objetos concretos, é por vezes recomendado usar palavras com as quais eles têm familiaridade, mesmo quando não são linguagem matemática precisa. Em algumas propostas, os estudantes começam experimentando com objetos concretos antes de realizar as transformações abstratas por meio de suas definições de transformações de cada ponto da figura. Em uma tentativa de reestruturar os cursos de geometria na Rússia, Andrei Kolmogorov sugeriu apresentá-la sob o ponto de vista das transformações, assim os cursos de geometria foram estruturados com base na teoria dos conjuntos, isto levou à aparição do termo "congruentes" nas escolas, para figuras que antes eram ditas "iguais", assim, como uma figura era considerada um conjunto de pontos, ela só podia ser igual a ela mesma, e dois triângulos que pudessem ser sobrepostos através de isometrias eram ditos congruentes. Por exemplo, no âmbito da geometria das transformações, para provar as propriedades usuais de um triângulo isósceles e de um paralelogramo, mostra-se que o triângulo isósceles possui um eixo de simetria e que o paralelogramo possui um centro de simetria. Isso contrasta com as demonstrações clássicas pelos critérios de congruência de triângulos. Algumas demonstrações nesta linha aparecem em livros escritos por Kolmogorov. (pt)
- У математиці геометрія перетворень це спосіб вивчення геометрії, зосереджуючись на групах геометричних перетворень та інваріантних під них. Вона протистоїть класичному підходу до синтетичної геометрії евклідової геометрії, що фокусується на геометричних конструкціях. Наприклад, в рамках геометрії перетворення властивості рівнобедреного трикутника виводяться з того факту, що при симетричному відбитті одної половини вона переходить в іншу половину. Це контрастує з класичними доказами за критеріями конгруентності трикутників. Перші зусилля в використанні геометрії перетворень як основи геометрії були зроблені Феліксом Кляйном в XIX столітті в Ерлангенській програмі. Майже протягом сторіччя такий підхід був відомий лише в математичних кругах. У XX столітті були спроби використати його для математичної освіти. Андрій Колмогоров включив цей підхід (разом із Теорією Множин) як частину пропозиції щодо реформування викладання геометрії в Росії. Ці зусилля завершилися в 1960-х роках з загальною реформою викладання математики, відома під назвою "Нова математика". (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Geometri transformasi adalah salah satu cabang geometri yang mempelajari dengan memperhatikan sifat obyeknya ketika dipetakan. Geometri transformasi melibatkan transformasi geometri dan sifat-sifat yang invarian terhadap suatu bangunan. (in)
- 数学における変換幾何学（へんかんきかがく、英: transformation geometry）あるいは変換の幾何学 (transformational geometry) は、幾何学を幾何学的変換の成す群とそれらの作用に関する不変量に立脚して研究する方法論に用いられる数学的および教育学的な名称である。これは、作図に着目する綜合幾何学的手法に対立するものである。 例えば、変換の幾何学において二等辺三角形の性質は、それが適当な直線に関する鏡映によって自身に写されるという事実から演繹される。これは判定法による古典的証明とは対照的である。 幾何学の基礎付けとして変換の幾何学を用いる最初の体系的な試みは、19世紀にエルランゲン目録の名のもとにフェリックス・クラインによって為された。ほぼ一世紀に亙りこのアプローチは数学の研究会に限られたままであったが、20世紀には数学教育のための変換の幾何学の開拓の努力が進められた。アンドレイ・コルモゴロフはロシアにおける幾何学教育改革への提言の一環として、（集合論とともに）このアプローチを含めた。これらの努力は1960年代アメリカでと呼ばれる数学の全般改革へと繋がっていった。 (ja)
- La geometría de las transformaciones (o geometría transformacional) se refiere a una teoría pedagógica acerca de la enseñanza de la geometría euclídea que tiene como base el Programa de Erlangen, propuesto por el matemático alemán Felix Klein (1849-1925). Enfoca el estudio de la geometría centrándose en el concepto de los grupos de transformaciones geométricas, y en sus propiedades invariantes subyacentes. Se opone al enfoque clásico de la geometría sintética de euclídea, que se centra en la demostración de teoremas. (es)
- Die Abbildungsgeometrie ist der Zweig der Geometrie, der die geometrischen Abbildungen untersucht. Kennzeichnend für eine bestimmte Klasse von geometrischen Abbildungen sind vor allem die Invarianten der betreffenden Abbildungen, also diejenigen Eigenschaften geometrischer Objekte, die bei Anwendung der betreffenden Abbildungen unverändert bleiben. Diese Sichtweise der Geometrie wurde insbesondere von Felix Klein in seinem Erlanger Programm propagiert. (de)
- En mathématiques, la géométrie des transformations correspond à l'étude géométrique centrée sur les groupes de transformations géométriques et à leurs propriétés, indépendamment des figures, considérées invariantes. Elle s'oppose de façon claire à la géométrie euclidienne, qui se concentre sur la construction géométrique. (fr)
- In mathematics, transformation geometry (or transformational geometry) is the name of a mathematical and pedagogic take on the study of geometry by focusing on groups of geometric transformations, and properties that are invariant under them. It is opposed to the classical synthetic geometry approach of Euclidean geometry, that focuses on proving theorems. (en)
- In matematica, la geometria delle trasformazioni (o geometria trasformazionale) è un approccio matematico e pedagogico allo studio della geometria che si focalizza sui gruppi di trasformazioni geometriche e sulle proprietà delle figure che sono rispetto a tali gruppi. Si contrappone all'approccio classico della geometria euclidea, basato sulla geometria sintetica, che si incentra sulle costruzioni geometriche. (it)
- Em matemática, a geometria das transformações (ou geometria transformacional) é o nome para o estudo de geometria por meio dos grupos de transformações geométricas, e também de uma teoria pedagógica sobre o ensino de geometria euclidiana, ambos baseados no Programa de Erlangen. Uma geometria pode ser definida como o estudo de invariantes sob determinados grupos de transformações geométricas. Felix Klein, pioneiro deste ponto de vista, tinha interesse por educação matemática. No entanto, levou muitos anos para que a exposição de suas idéias tivesse muita influência, e assim, a geometria sintética permaneceu dominante. A reforma do ensino de geometria acabou sendo iniciada muito tempo depois, dentro do movimento Matemática Moderna. (pt)
- У математиці геометрія перетворень це спосіб вивчення геометрії, зосереджуючись на групах геометричних перетворень та інваріантних під них. Вона протистоїть класичному підходу до синтетичної геометрії евклідової геометрії, що фокусується на геометричних конструкціях. Наприклад, в рамках геометрії перетворення властивості рівнобедреного трикутника виводяться з того факту, що при симетричному відбитті одної половини вона переходить в іншу половину. Це контрастує з класичними доказами за критеріями конгруентності трикутників. (uk)
|
