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- Le théorème du bicommutant de von Neumann est un théorème d'analyse fonctionnelle qui établit un lien entre l'adhérence d'un ensemble d'opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert dans certaines topologies et le bicommutant de cet ensemble. Il s'agit donc d'une connexion entre les aspects algébriques et topologiques de la théorie des opérateurs. L'énoncé formel du théorème est le suivant. Soit une algèbre d'opérateurs (linéaires) bornés sur un espace de Hilbert, contenant l'opérateur identité et fermée par passage à l'adjoint. Alors les adhérences de pour la (en) et pour la (en)(à ne pas confondre avec la topologie faible et la topologie forte) sont toutes deux égales au bicommutant de . Cette algèbre est l'algèbre de von Neumann engendrée par . On peut définir plusieurs autres topologies sur l'espace des opérateurs bornés, et l'on peut se demander quelles sont les algèbres involutives qui sont fermées pour ces topologies. Si A est fermée pour la topologie de la norme, alors c'est une C*-algèbre mais pas nécessairement une algèbre de von Neumann. Pour la plupart des autres topologies habituelles, les *-algèbres fermées contenant l'unité sont encore des algèbres de von Neumann ; c'est notamment le cas pour la topologie faible des opérateurs, la forte, l'*-forte et pour les topologies (en), (en) et *-ultraforte. (fr)
- In mathematics, specifically functional analysis, the von Neumann bicommutant theorem relates the closure of a set of bounded operators on a Hilbert space in certain topologies to the bicommutant of that set. In essence, it is a connection between the algebraic and topological sides of operator theory. The formal statement of the theorem is as follows: Von Neumann bicommutant theorem. Let M be an algebra consisting of bounded operators on a Hilbert space H, containing the identity operator, and closed under taking adjoints. Then the closures of M in the weak operator topology and the strong operator topology are equal, and are in turn equal to the bicommutant M′′ of M. This algebra is called the von Neumann algebra generated by M. There are several other topologies on the space of bounded operators, and one can ask what are the *-algebras closed in these topologies. If M is closed in the norm topology then it is a C*-algebra, but not necessarily a von Neumann algebra. One such example is the C*-algebra of compact operators (on an infinite dimensional Hilbert space). For most other common topologies the closed *-algebras containing 1 are von Neumann algebras; this applies in particular to the weak operator, strong operator, *-strong operator, ultraweak, ultrastrong, and *-ultrastrong topologies. It is related to the Jacobson density theorem. (en)
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- September 2015 (en)
- September 2018 (en)
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- As mentioned on the talk page, the proof of item is incomplete. (en)
- This part is incomplete since we must intersect a finite number of these subbasic open sets. (en)
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- Le théorème du bicommutant de von Neumann est un théorème d'analyse fonctionnelle qui établit un lien entre l'adhérence d'un ensemble d'opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert dans certaines topologies et le bicommutant de cet ensemble. Il s'agit donc d'une connexion entre les aspects algébriques et topologiques de la théorie des opérateurs. (fr)
- In mathematics, specifically functional analysis, the von Neumann bicommutant theorem relates the closure of a set of bounded operators on a Hilbert space in certain topologies to the bicommutant of that set. In essence, it is a connection between the algebraic and topological sides of operator theory. The formal statement of the theorem is as follows: This algebra is called the von Neumann algebra generated by M. It is related to the Jacobson density theorem. (en)
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- Théorème du bicommutant de von Neumann (fr)
- Von Neumann bicommutant theorem (en)
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