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- En matemàtiques, els enters algebraics formen una família de nombres que generalitza el conjunt dels nombres enters. Juguen un paper anàleg a aquests últims en teoria algebraica de nombres. En primer lloc, els nombres algebraics són els elements particulars de les dels nombres racionals, és a dir dels subcossos dels nombres complexos també són de dimensió finita sobre els racionals en tant que espai vectorial. Un nombre algebraic s'anomena enter algebraic si és arrel d'un polinomi mònic (és a dir que el coeficient del seu monomi dominant és igual a 1) de coeficients enters. Per exemple, els nombres de la forma a + ib amb a i b enters, on i designa la unitat imaginària, formen un subconjunt del conjunt dels enters algebraics; s'anomenen enters de Gauss. Històricament la primera aplicació per la que es van fer servir va ser en la resolució d'equacions diofàntiques, és a dir equacions (sovint) polinòmiques amb coeficients enters, i de les que es busquen solucions enteres. En són exemples el teorema dels dos quadrats de Fermat, l'últim teorema de Fermat o fins i tot l'equació de Pell-Fermat. D'altra banda, el fet d'entendre l'estructura d'un anell d'enters permet comprendre millor el cos d'origen. Les tècniques desenvolupades per descriure les propietats d'aquests anells es fan servir per demostrar teoremes fonamentals dels com el de . (ca)
- في نظرية الأعداد، عدد صحيح جبري (بالإنجليزية: Algebraic integer) هو عدد عقدي يكون جذرا لمتعددة حدود ما واحدية المدخل (أي متعددة حدود يساوي معاملها المضروب في حدها ذي الأس الأكبر واحدا)، وذات معاملات مساوية لأعداد صحيحة. (ar)
- Ένας μιγαδικός αριθμός θ καλείται αλγεβρικός ακέραιος αν υπάρχει με ακεραίους συντελεστές έτσι ώστε δηλαδή όπου .Το σύνολο των αλγεβρικών ακεραίων συμβολίζεται με και αποτελεί υποδακτύλιο του σώματος των αλγεβρικών αριθμών. Ισχύει δε, ότι η τομή των αλγεβρικών ακεραίων με τον δακτύλιο των ρητών είναι ακριβώς ο δακτύλιος των ακεραίων. Οι αλγεβρικοί ακέραιοι διαδραματίζουν ουσιαστικό ρόλο στην απόδειξη του , που αναφέρει ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα που έχει τάξη γινόμενο δυνάμεων πρώτων είναι επιλύσιμη. (el)
- In algebraic number theory, an algebraic integer is a complex number which is integral over the integers. That is, an algebraic integer is a complex root of some monic polynomial (a polynomial whose leading coefficient is 1) whose coefficients are integers. The set of all algebraic integers A is closed under addition, subtraction and multiplication and therefore is a commutative subring of the complex numbers. The ring of integers of a number field K, denoted by OK, is the intersection of K and A: it can also be characterised as the maximal order of the field K. Each algebraic integer belongs to the ring of integers of some number field. A number α is an algebraic integer if and only if the ring is finitely generated as an abelian group, which is to say, as a -module. (en)
- En teoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal 1) con coeficientes en ℤ. El conjunto de todos los enteros algebraicos es cerrado bajo la adición y multiplicación y también es un subanillo de números complejos denotado mediante A. El anillo A es la de los enteros regulares ℤ en los números complejos. El anillo de los números enteros de un cuerpo numérico K, denotado mediante OK , es la intersección de K y A: este también puede ser caracterizado como el máximo orden del cuerpo K. Cada entero algebraico pertenece al anillo de enteros de algún cuerpo numérico. Un número x es un entero algebraico si y solo si el anillo ℤ[x] es finitamente generado como un grupo abeliano, es decir, como módulo -ℤ. (es)
- En mathématiques, un entier algébrique est un élément d'un corps de nombres qui y joue un rôle analogue à celui d'un entier relatif dans le corps des nombres rationnels. L'étude des entiers algébriques est à la base de l'arithmétique des corps de nombres, et de la généralisation dans ces corps de notions comme celles de nombre premier ou de division euclidienne. Par définition, un entier algébrique est une racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans ℤ. Par exemple, le nombre 1 + √3 est un entier algébrique, car il est une racine du polynôme unitaire à coefficients entiers X2 – 2X – 2. Les nombres de la forme a + bi où a et b sont des entiers relatifs et où i désigne une racine du polynôme X2 + 1 sont aussi des entiers algébriques particuliers ; ils sont appelés entiers de Gauss. Cette définition a émergé au cours du XIXe siècle, en particulier dans les travaux de Richard Dedekind, car elle donne une notion adéquate pour développer l'arithmétique dans des corps de nombres.Un autre usage de ces nombres est la résolution d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations polynomiales à coefficients dans les entiers relatifs, et dont on recherche les solutions entières. Des exemples sont le théorème des deux carrés de Fermat, le dernier théorème de Fermat ou encore l'équation de Pell-Fermat. Par ailleurs, la compréhension de la structure d'un anneau d'entiers permet de mieux comprendre le corps d'origine. Les techniques développées pour décrire les propriétés de tels anneaux sont utilisées pour démontrer des théorèmes fondamentaux sur les corps de nombres comme celui de Kronecker-Weber. (fr)
- 数論において代数的整数（だいすうてきせいすう、英: algebraic integer）とは、ある整数係数モニック多項式の根となる複素数のことである。代数的整数の全体 A は加法と乗法について閉じており、ゆえに複素数環 C の部分環をなす。この環 A は有理整数環 Z の C における整閉包となっている。 代数体 K の整数環 OK は K ∩ A に等しく、また体 K の極大整環（英: maximal order）となっている。全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している。x が代数的整数であることは、環 Z[x] がアーベル群として有限生成（即ち有限生成 Z-加群）であることと同値である。 (ja)
- In de getaltheorie is een algebraïsch geheel getal een complex getal dat een wortel is van een zogeheten monische of monieke polynoom (een polynoom waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht 1 is) met gehele coëfficiënten. (nl)
- In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo dove i coefficienti sono tutti numeri interi. Come i numeri interi sono un sottoanello del campo formato dai numeri razionali, gli interi algebrici formano un sottoanello del campo dei numeri algebrici. (it)
- 在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個整系數的首一多項式的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。 因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作。 如果是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則的根都不是代數整數。 (zh)
- Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и, в частности, вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице. По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо .Очевидно, является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа. Пусть — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо , порождённое добавлением к кольцу обычных целых чисел . Оно образовано всевозможными значениями , где — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда — конечнопорождённая абелева группа. (ru)
- Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема дійсні) корені многочленів з цілими коефіцієнтами і із старшим коефіцієнтом, рівним одиниці. (uk)
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- في نظرية الأعداد، عدد صحيح جبري (بالإنجليزية: Algebraic integer) هو عدد عقدي يكون جذرا لمتعددة حدود ما واحدية المدخل (أي متعددة حدود يساوي معاملها المضروب في حدها ذي الأس الأكبر واحدا)، وذات معاملات مساوية لأعداد صحيحة. (ar)
- Ένας μιγαδικός αριθμός θ καλείται αλγεβρικός ακέραιος αν υπάρχει με ακεραίους συντελεστές έτσι ώστε δηλαδή όπου .Το σύνολο των αλγεβρικών ακεραίων συμβολίζεται με και αποτελεί υποδακτύλιο του σώματος των αλγεβρικών αριθμών. Ισχύει δε, ότι η τομή των αλγεβρικών ακεραίων με τον δακτύλιο των ρητών είναι ακριβώς ο δακτύλιος των ακεραίων. Οι αλγεβρικοί ακέραιοι διαδραματίζουν ουσιαστικό ρόλο στην απόδειξη του , που αναφέρει ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα που έχει τάξη γινόμενο δυνάμεων πρώτων είναι επιλύσιμη. (el)
- 数論において代数的整数（だいすうてきせいすう、英: algebraic integer）とは、ある整数係数モニック多項式の根となる複素数のことである。代数的整数の全体 A は加法と乗法について閉じており、ゆえに複素数環 C の部分環をなす。この環 A は有理整数環 Z の C における整閉包となっている。 代数体 K の整数環 OK は K ∩ A に等しく、また体 K の極大整環（英: maximal order）となっている。全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している。x が代数的整数であることは、環 Z[x] がアーベル群として有限生成（即ち有限生成 Z-加群）であることと同値である。 (ja)
- In de getaltheorie is een algebraïsch geheel getal een complex getal dat een wortel is van een zogeheten monische of monieke polynoom (een polynoom waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht 1 is) met gehele coëfficiënten. (nl)
- In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo dove i coefficienti sono tutti numeri interi. Come i numeri interi sono un sottoanello del campo formato dai numeri razionali, gli interi algebrici formano un sottoanello del campo dei numeri algebrici. (it)
- 在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個整系數的首一多項式的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。 因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作。 如果是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則的根都不是代數整數。 (zh)
- Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема дійсні) корені многочленів з цілими коефіцієнтами і із старшим коефіцієнтом, рівним одиниці. (uk)
- En matemàtiques, els enters algebraics formen una família de nombres que generalitza el conjunt dels nombres enters. Juguen un paper anàleg a aquests últims en teoria algebraica de nombres. En primer lloc, els nombres algebraics són els elements particulars de les dels nombres racionals, és a dir dels subcossos dels nombres complexos també són de dimensió finita sobre els racionals en tant que espai vectorial. Un nombre algebraic s'anomena enter algebraic si és arrel d'un polinomi mònic (és a dir que el coeficient del seu monomi dominant és igual a 1) de coeficients enters. Per exemple, els nombres de la forma a + ib amb a i b enters, on i designa la unitat imaginària, formen un subconjunt del conjunt dels enters algebraics; s'anomenen enters de Gauss. (ca)
- In algebraic number theory, an algebraic integer is a complex number which is integral over the integers. That is, an algebraic integer is a complex root of some monic polynomial (a polynomial whose leading coefficient is 1) whose coefficients are integers. The set of all algebraic integers A is closed under addition, subtraction and multiplication and therefore is a commutative subring of the complex numbers. (en)
- En teoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal 1) con coeficientes en ℤ. El conjunto de todos los enteros algebraicos es cerrado bajo la adición y multiplicación y también es un subanillo de números complejos denotado mediante A. El anillo A es la de los enteros regulares ℤ en los números complejos. El anillo de los números enteros de un cuerpo numérico K, denotado mediante OK , es la intersección de K y A: este también puede ser caracterizado como el máximo orden del cuerpo K. (es)
- En mathématiques, un entier algébrique est un élément d'un corps de nombres qui y joue un rôle analogue à celui d'un entier relatif dans le corps des nombres rationnels. L'étude des entiers algébriques est à la base de l'arithmétique des corps de nombres, et de la généralisation dans ces corps de notions comme celles de nombre premier ou de division euclidienne. Par définition, un entier algébrique est une racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans ℤ. Par exemple, le nombre 1 + √3 est un entier algébrique, car il est une racine du polynôme unitaire à coefficients entiers X2 – 2X – 2. Les nombres de la forme a + bi où a et b sont des entiers relatifs et où i désigne une racine du polynôme X2 + 1 sont aussi des entiers algébriques particuliers ; ils sont appelés entiers de Gauss. (fr)
- Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и, в частности, вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице. По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо .Очевидно, является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа. (ru)
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