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- In geometry, an equidissection is a partition of a polygon into triangles of equal area. The study of equidissections began in the late 1960s with Monsky's theorem, which states that a square cannot be equidissected into an odd number of triangles. In fact, most polygons cannot be equidissected at all. Much of the literature is aimed at generalizing Monsky's theorem to broader classes of polygons. The general question is: Which polygons can be equidissected into how many pieces? Particular attention has been given to trapezoids, kites, regular polygons, centrally symmetric polygons, polyominos, and hypercubes. Equidissections do not have many direct applications. They are considered interesting because the results are counterintuitive at first, and for a geometry problem with such a simple definition, the theory requires some surprisingly sophisticated algebraic tools. Many of the results rely upon extending p-adic valuations to the real numbers and extending Sperner's lemma to more general colored graphs. (en)
- Die Zerlegung in flächengleiche Dreiecke (auch Gleichzerschneidung) ist ein Problem der ebenen Geometrie. Dabei wird unter anderem untersucht, ob die Zerlegung eines gegebenen Polygons in flächengleiche Dreiecke überhaupt möglich ist. Die Forschung zu diesem Problem begann in den späten 1960er Jahren mit dem Satz von Monsky, nach dem ein Quadrat nicht in eine ungerade Anzahl von Dreiecken gleichen Flächeninhalts zerlegt werden kann. Der Beweis benutzt Bewertungstheorie und ist der bisher einzige bekannte Beweis für diesen Satz. Tatsächlich können die meisten Polygone nicht in Dreiecke gleichen Flächeninhalts zerlegt werden. Es stellt sich daher die Frage: Welche Polygone können in wie viele Teile gleichen Flächeninhalts zerlegt werden? Untersucht wurden insbesondere Trapeze, Drachenvierecke, regelmäßige Polygone, punktsymmetrische Polygone und Polyominos sowie die Zerlegung von Hyperwürfeln in Simplizes. Im Falle regelmäßiger, n-eckiger Polygone mit n ≥ 5 zeigte Elaine Kasimatis, dass diese nur dann in m gleichflächige Dreiecke zerlegt werden können, falls m ein Vielfaches von n ist. Für n = 3 oder n = 4 ist dies offensichtlich nicht richtig: Ein Quadrat kann in zwei gleichflächige Dreiecke zerlegt werden und ein Dreieck in beliebig viele. Zerlegungen in flächengleiche Dreiecke haben nur wenige direkte Anwendungen. Sie gelten aber als interessant, weil die Ergebnisse auf den ersten Blick oft den Erwartungen widersprechen und die Theorie für ein geometrisches Problem mit einer so einfachen Definition überraschend anspruchsvolle algebraische Hilfsmittel benötigt. Viele Ergebnisse basieren auf der Anwendung der Bewertungstheorie auf die reellen Zahlen und der Färbung in der Graphentheorie anhand des Lemmas von Sperner. (de)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une équidissection d'un polygone est un découpage de celui-ci en triangles d'aires égales. L'étude des équidissections commença vers la fin des années 1960 avec le théorème de Monsky, affirmant qu'un carré (ou plus généralement un parallélogramme) ne peut être ainsi décomposé en un nombre impair de triangles. Au demeurant, la plupart des polygones n'admettent aucune équidissection. La plupart des résultats de la littérature sur cette question sont des généralisations du théorème de Monsky à des classes de figures plus vastes, la question principale étant : quels polygones peuvent être ainsi décomposés, et en combien de triangles ? En particulier, cette question a été résolue pour les trapèzes, les cerfs-volants, les polygones réguliers, les polygones admettant une symétrie centrale, les polyominos, et (en remplaçant les triangles par des simplexes) les hypercubes. Il y a peu d'applications directes des équidissections. Elles sont néanmoins vues comme intéressantes parce que les résultats semblent à première vue contraires à l'intuition, et parce qu'il est étonnant que pour un problème géométrique d'énoncé aussi simple, la théorie réclame des outils algébriques aussi sophistiqués : de nombreux résultats demandent l'utilisation de valuations p-adiques étendues aux nombres réels, et le prolongement du lemme de Sperner à des graphes colorés plus généraux. (fr)
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- Die Zerlegung in flächengleiche Dreiecke (auch Gleichzerschneidung) ist ein Problem der ebenen Geometrie. Dabei wird unter anderem untersucht, ob die Zerlegung eines gegebenen Polygons in flächengleiche Dreiecke überhaupt möglich ist. Die Forschung zu diesem Problem begann in den späten 1960er Jahren mit dem Satz von Monsky, nach dem ein Quadrat nicht in eine ungerade Anzahl von Dreiecken gleichen Flächeninhalts zerlegt werden kann. Der Beweis benutzt Bewertungstheorie und ist der bisher einzige bekannte Beweis für diesen Satz. (de)
- In geometry, an equidissection is a partition of a polygon into triangles of equal area. The study of equidissections began in the late 1960s with Monsky's theorem, which states that a square cannot be equidissected into an odd number of triangles. In fact, most polygons cannot be equidissected at all. (en)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une équidissection d'un polygone est un découpage de celui-ci en triangles d'aires égales. L'étude des équidissections commença vers la fin des années 1960 avec le théorème de Monsky, affirmant qu'un carré (ou plus généralement un parallélogramme) ne peut être ainsi décomposé en un nombre impair de triangles. Au demeurant, la plupart des polygones n'admettent aucune équidissection. (fr)
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