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In transcendental number theory, the Lindemann–Weierstrass theorem is a result that is very useful in establishing the transcendence of numbers. It states the following: Lindemann–Weierstrass theorem — if α1, ..., αn are algebraic numbers that are linearly independent over the rational numbers , then eα1, ..., eαn are algebraically independent over . In other words, the extension field has transcendence degree n over . An equivalent formulation , is the following:

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  • En matemàtiques, el teorema de Lindemann-Weierstrass és un resultat molt útil per establir la transcendència d'un nombre. Afirma que si són nombres algebraics linealment independents sobre el cos dels nombres racionals , llavors són algebraicament independents sobre ℚ; és a dir, el grau de transcendència de l'extensió del cos sobre ℚ és n. Rep aquest nom en honor dels matemàtics alemanys Karl Weierstrass i Ferdinand von Lindemann. D'una banda Lindemann va demostrar el 1882 que és transcendent per tot algebraic no nul, i així va establir que π és transcendent. Posteriorment, el 1885, Weierstrass va demostrar la forma més general d'aquest teorema. Aquest teorema, juntament amb el teorema de Gelfond-Schneider, està generalitzat per la . (ca)
  • في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem)‏ هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس. (ar)
  • Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß. (de)
  • El teorema de Lindemann–Weierstrass es un resultado muy útil para establecer la trascendencia de un número. Afirma que si α1, α2, ...,αn son números algebraicos linealmente independientes sobre el cuerpo de los números racionales , entonces son algebraicamente independientes sobre ; es decir, el grado de trascendencia de la extensión del cuerpo sobre es n. Lindemann demostró en 1882 que eα es trascendente para todo α algebraico no nulo, y de este modo estableció que π es transcendente. Weierstrass demostró la forma más general de este teorema en 1885. El teorema anterior junto con el Teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado por la conjetura de Schanuel. (es)
  • In transcendental number theory, the Lindemann–Weierstrass theorem is a result that is very useful in establishing the transcendence of numbers. It states the following: Lindemann–Weierstrass theorem — if α1, ..., αn are algebraic numbers that are linearly independent over the rational numbers , then eα1, ..., eαn are algebraically independent over . In other words, the extension field has transcendence degree n over . An equivalent formulation , is the following: An equivalent formulation — If α1, ..., αn are distinct algebraic numbers, then the exponentials eα1, ..., eαn are linearly independent over the algebraic numbers. This equivalence transforms a linear relation over the algebraic numbers into an algebraic relation over by using the fact that a symmetric polynomial whose arguments are all conjugates of one another gives a rational number. The theorem is named for Ferdinand von Lindemann and Karl Weierstrass. Lindemann proved in 1882 that eα is transcendental for every non-zero algebraic number α, thereby establishing that π is transcendental (see below). Weierstrass proved the above more general statement in 1885. The theorem, along with the Gelfond–Schneider theorem, is extended by Baker's theorem, and all of these would be further generalized by Schanuel's conjecture. (en)
  • En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques α1, … , αn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles eα1, … , eαn sont algébriquement indépendantes sur Q.En d'autres termes, l'extension Q(eα1, … , eαn) de Q est transcendante de degré n. Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si α0, … , αn sont des nombres algébriques distincts alors eα0, … , eαn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres algébriques, c'est-à-dire :pour tous nombres algébriques ai non tous nuls. En 1882, ce théorème fut annoncé par Ferdinand von Lindemann à la fin de son article sur le cas particulier n = 1, et fut aussitôt démontré par Karl Weierstrass, qui diffusa son manuscrit mais différa jusqu'en 1885 sa publication. (fr)
  • Di dalam teori bilangan transedental, teorema Lindemann–Weierstrass menyatakan jika adalah bilangan aljabar yang secara linear independen sepanjang bilangan rasional , maka juga akan secara aljabar, independen sepanjang . Dengan kata lain, memiliki lebih dari . Nama teorema ini berasal dari dua orang matematikawan, Ferdinand von Lindemann dan Karl Weierstrass. Lindemann membuktikan pada tahun 1882 yang adalah transendental untuk bilangan aljabar , bukan nol. Dengan demikian, ini menetapkan adalah transendental. Weierstrass berhasil membuktikan pernyataan Lindemann secara lebih umum pada tahun 1885. (in)
  • In matematica, il teorema di Lindemann-Weierstrass è un risultato di algebra astratta molto utile per stabilire la trascendenza di determinati numeri. Come corollari, ne vengono la trascendenza di e . Esso afferma che se sono numeri algebrici linearmente indipendenti sul campo dei numeri razionali , allora sono algebricamente indipendenti su . Una formulazione equivalente è la seguente: se sono numeri algebrici distinti, allora sono linearmente indipendenti sull'insieme dei numeri algebrici. Ferdinand von Lindemann provò per primo, nel 1882, che è trascendente per ogni numero algebrico non nullo , mentre nel 1885 Karl Weierstrass ha provato la versione più generale qua enunciata. Il teorema è generalizzato dalla congettura di Schanuel. (it)
  • リンデマンの定理(リンデマンのていり、Lindemann's theorem)は、1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンが証明した、超越数論における定理の一つである。この定理は、円周率やネイピア数などの数が超越数であることを内包する。1885年のカール・ワイエルシュトラスによる寄与を踏まえ、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理 (Lindemann–Weierstrass theorem) とも呼ばれる。 (ja)
  • De stelling van Lindemann-Weierstrass gaat over een bepaald resultaat in de getaltheorie. De stelling zegt, dat algebraïsche lineaire combinaties van algebraïsche machten van e niet nul kunnen zijn. Uit deze stelling kan afgeleid worden dat e en π transcendent getallen zijn. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Ferdinand von Lindemann en Karl Weierstrass. (nl)
  • O teorema de Lindemann–Weierstrass é um resultado útil para estabelecer a transcendência de um número. Afirma que se α1, α2, ...,αn são números algébricos linearmente independentes sobre o corpo dos números racionais , então são algebricamente independentes sobre ; ou seja, o grau de transcendência da extensão do corpo sobre é n. Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que eα é transcendente para todo α algébrico não nulo, estabelecendo desta forma que π é transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885. Este teorema, juntamente com o teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado como a . (pt)
  • Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее: Часто используется другая эквивалентная формулировка: (ru)
  • 林德曼-魏尔斯特拉斯定理(Lindemann–Weierstrass theorem)是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明,如果 是代数数,在有理数 ℚ 内是线性独立的,那么在 ℚ 内是代数独立的;也就是说,扩张域在 ℚ 内具有超越次数 n。 一个等价的表述是:如果是不同的代数数,那么指数在代数数范围内是线性独立的。 这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数,都是超越数,因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。 这个定理,以及格尔丰德-施奈德定理,可以推广为。 (zh)
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  • Let be integers and, for every between and , let be the roots of a non-zero polynomial with integer coefficients . If whenever , then : has only the trivial solution for all (en)
  • If b, ..., b are integers and γ, ..., γ, are distinct algebraic numbers, then : has only the trivial solution for all (en)
  • Suppose is some prime number and are -adic numbers which are algebraic and linearly independent over , such that for all then the -adic exponentials are -adic numbers that are algebraically independent over . (en)
  • If are algebraic numbers, and are distinct algebraic numbers, then : has only the trivial solution for all (en)
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  • -adic Lindemann–Weierstrass Conjecture. (en)
  • Lemma A. (en)
  • Lemma B. (en)
  • Lindemann–Weierstrass Theorem . (en)
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  • Hermite-Lindemann Theorem (en)
  • Lindemann-Weierstrass Theorem (en)
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  • Hermite-LindemannTheorem (en)
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  • في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem)‏ هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس. (ar)
  • Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß. (de)
  • リンデマンの定理(リンデマンのていり、Lindemann's theorem)は、1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンが証明した、超越数論における定理の一つである。この定理は、円周率やネイピア数などの数が超越数であることを内包する。1885年のカール・ワイエルシュトラスによる寄与を踏まえ、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理 (Lindemann–Weierstrass theorem) とも呼ばれる。 (ja)
  • De stelling van Lindemann-Weierstrass gaat over een bepaald resultaat in de getaltheorie. De stelling zegt, dat algebraïsche lineaire combinaties van algebraïsche machten van e niet nul kunnen zijn. Uit deze stelling kan afgeleid worden dat e en π transcendent getallen zijn. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Ferdinand von Lindemann en Karl Weierstrass. (nl)
  • Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее: Часто используется другая эквивалентная формулировка: (ru)
  • 林德曼-魏尔斯特拉斯定理(Lindemann–Weierstrass theorem)是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明,如果 是代数数,在有理数 ℚ 内是线性独立的,那么在 ℚ 内是代数独立的;也就是说,扩张域在 ℚ 内具有超越次数 n。 一个等价的表述是:如果是不同的代数数,那么指数在代数数范围内是线性独立的。 这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数,都是超越数,因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。 这个定理,以及格尔丰德-施奈德定理,可以推广为。 (zh)
  • En matemàtiques, el teorema de Lindemann-Weierstrass és un resultat molt útil per establir la transcendència d'un nombre. Afirma que si són nombres algebraics linealment independents sobre el cos dels nombres racionals , llavors són algebraicament independents sobre ℚ; és a dir, el grau de transcendència de l'extensió del cos sobre ℚ és n. Aquest teorema, juntament amb el teorema de Gelfond-Schneider, està generalitzat per la . (ca)
  • El teorema de Lindemann–Weierstrass es un resultado muy útil para establecer la trascendencia de un número. Afirma que si α1, α2, ...,αn son números algebraicos linealmente independientes sobre el cuerpo de los números racionales , entonces son algebraicamente independientes sobre ; es decir, el grado de trascendencia de la extensión del cuerpo sobre es n. Lindemann demostró en 1882 que eα es trascendente para todo α algebraico no nulo, y de este modo estableció que π es transcendente. Weierstrass demostró la forma más general de este teorema en 1885. (es)
  • In transcendental number theory, the Lindemann–Weierstrass theorem is a result that is very useful in establishing the transcendence of numbers. It states the following: Lindemann–Weierstrass theorem — if α1, ..., αn are algebraic numbers that are linearly independent over the rational numbers , then eα1, ..., eαn are algebraically independent over . In other words, the extension field has transcendence degree n over . An equivalent formulation , is the following: (en)
  • En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques α1, … , αn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles eα1, … , eαn sont algébriquement indépendantes sur Q.En d'autres termes, l'extension Q(eα1, … , eαn) de Q est transcendante de degré n. Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si α0, … , αn sont des nombres algébriques distincts alors eα0, … , eαn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres algébriques, c'est-à-dire :pour tous nombres algébriques ai non tous nuls. (fr)
  • Di dalam teori bilangan transedental, teorema Lindemann–Weierstrass menyatakan jika adalah bilangan aljabar yang secara linear independen sepanjang bilangan rasional , maka juga akan secara aljabar, independen sepanjang . Dengan kata lain, memiliki lebih dari . (in)
  • In matematica, il teorema di Lindemann-Weierstrass è un risultato di algebra astratta molto utile per stabilire la trascendenza di determinati numeri. Come corollari, ne vengono la trascendenza di e . Esso afferma che se sono numeri algebrici linearmente indipendenti sul campo dei numeri razionali , allora sono algebricamente indipendenti su . Una formulazione equivalente è la seguente: se sono numeri algebrici distinti, allora sono linearmente indipendenti sull'insieme dei numeri algebrici. Il teorema è generalizzato dalla congettura di Schanuel. (it)
  • O teorema de Lindemann–Weierstrass é um resultado útil para estabelecer a transcendência de um número. Afirma que se α1, α2, ...,αn são números algébricos linearmente independentes sobre o corpo dos números racionais , então são algebricamente independentes sobre ; ou seja, o grau de transcendência da extensão do corpo sobre é n. Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que eα é transcendente para todo α algébrico não nulo, estabelecendo desta forma que π é transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885. (pt)
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  • مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (ar)
  • Teorema de Lindemann-Weierstrass (ca)
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  • Teorema de Lindemann–Weierstrass (es)
  • Théorème de Lindemann-Weierstrass (fr)
  • Teorema Lindemann–Weierstrass (in)
  • Teorema di Lindemann-Weierstrass (it)
  • Lindemann–Weierstrass theorem (en)
  • リンデマンの定理 (ja)
  • Stelling van Lindemann-Weierstrass (nl)
  • Teorema de Lindemann–Weierstrass (pt)
  • Теорема Линдемана — Вейерштрасса (ru)
  • 林德曼-魏尔斯特拉斯定理 (zh)
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