| dbo:abstract
|
- في نظرية الحقول، فرعا من الرياضيات، متعددة الحدود الدنيا (بالإنجليزية: Minimal polynomial) لعنصر a ما، من حقل ما، هي متعددة حدودة تكون درجتها أصغر ما أمكن حيث تبقى معاملاتها في ذلك الحقل وحيث يكون ذلك العنصر a جذرا لها. إذا وجدت هذه المتعددة للحدود فإنها وحيدة لا ثاني لها. يُشترط فيها أن يكون المعامل المضروب في الحد ذي الدرجة الأكبر، مساويا لواحد. (ar)
- Minimální polynom je pojem z teorie těles, podoboru abstraktní algebry. (cs)
- En matemàtiques, el polinomi minimal d'un nombre algebraic és una noció derivada de l'àlgebra lineal, serveix per fonamentar dues teories. La teoria clàssica de Galois té com a camps d'estudi certs cossos commutatius, construïts per les de cossos inicials com un cos finit o el dels nombres racionals. El polinomi minimal proveeix un mètode natural per construir tals extensions. Aquestes es fan servir per elucidar les propietats d'una noció fonamental, el grup de Galois. Un teorema clau, com el de l'element primitiu s'expressa en termes de polinomi minimal. La teoria de nombres algebraics estudia els enters algebraics. Es defineixen amb l'ajuda d'un polinomi minimal. El seu anàlisi permet explicitar les propietats d'eines de l'aritmètica com el discriminant d'un anell, o la norma (matemàtiques) d'un nombre algebraic. Les propietats d'un polinomi minimal d'un enter algebraic es fan servir per a la demostració de nombrosos resultats, com l'estructura del o el teorema de les unitats de Dirichlet. Un exemple relativament simple d'utilització és el dels , marc d'estudi dels nombres algebraics inclosos en una . En àlgebra lineal hi ha una noció connexa, anomenada polinomi mínim d'un endomorfisme. (ca)
- Έστω και ένα στοιχείο αλγεβρικό επί του .Ως ελάχιστο πολυώνυμο του επί του (minimum polynomial of a over K) ορίζουμε το μοναδικό μονικό πολυώνυμο ελαχίστου βαθμού για το οποίο ισχύει . (el)
- Unter einem Minimalpolynom versteht man allgemein ein Polynom minimalen Grades, das gerade noch eine Eigenschaft erfüllt, die von Faktoren kleineren Grades nicht mehr erfüllt wird. Insbesondere gibt in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik das Minimalpolynom die minimale lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen einer Matrix bzw. einer linearen Abbildung oder allgemeiner eines Elementes einer Algebra an. (de)
- En théorie des corps, le polynôme minimal sur un corps commutatif K d'un élément algébrique d'une extension de K, est le polynôme unitaire de degré minimal parmi les polynômes à coefficients dans le corps de base K qui annulent l'élément. Il divise tous ces polynômes. C'est toujours un polynôme irréductible. Dans le cas d'une extension du corps des rationnels (en particulier d'un corps de nombres), on parle de nombre algébrique et donc de polynôme minimal d'un nombre algébrique. C'est une notion élémentaire utile aussi bien en théorie classique de Galois qu'en théorie algébrique des nombres. Ainsi dans une extension du corps K où le polynôme minimal de a est scindé, les éléments conjugués de a sont toutes les racines de son polynôme minimal, et les automorphismes de corps d'une telle extension (qui forment le groupe de Galois de celle-ci) laissant stable K associent nécessairement à a un de ses éléments conjugués. Une extension de K est aussi une algèbre associative sur K, et il est possible de définir plus généralement le polynôme minimal dans ce cadre, qui recouvre aussi l'algèbre linéaire et les endomorphismes d'un espace vectoriel sur K. Le polynôme minimal d'un élément algébrique a sur K est d'ailleurs également, du point de vue de l'algèbre linéaire, le polynôme minimal de l'endomorphisme x ↦ ax de l'extension vu comme K-espace vectoriel. D'autres outils de la théorie des corps, comme la trace, la norme, le polynôme caractéristique d'un élément algébrique, peuvent se définir à partir de cet endomorphisme et entretiennent les mêmes liens avec le polynôme minimal que leurs correspondants en algèbre linéaire. (fr)
- En teoría de cuerpos, el polinomio mínimo sobre un cuerpo conmutativo K de un elemento algebraico de una extensión de K, es el polinomio mónico de grado mínimo entre los polinomios con coeficientes en el cuerpo base K que se cancelan con el elemento dado. El polinomio mínimo es divisor del resto de los mencionados polinomios que se cancelan con el elemento dado. Además, es un polinomio irreducible. En el caso de una extensión del cuerpo de los números racionales (en particular de un cuerpo numérico), se habla de un número algebraico, y por lo tanto, del polinomio mínimo de un número algebraico. Es una noción elemental útil tanto en teoría clásica de Galois como en teoría de números algebraicos. Así, en una extensión del cuerpo K donde el polinomio mínimo de a es separado, los elementos conjugados de a son todas las raíces de su polinomio mínimo; y los automorfismos de cuerpo de dicha extensión (que forman el grupo de Galois del mismo) dejando estable a K necesariamente asociado con a, son cada uno de sus elementos conjugados. Una extensión de K también es un álgebra asociativa en K, y es posible definir de manera más general el polinomio mínimo en este marco, que también cubre el álgebra lineal y los endomorfismos de un espacio vectorial sobre K. El polinomio mínimo de un elemento algebraico a sobre K es también, desde el punto de vista del álgebra lineal, el polinomio mínimo del endomorfismo x ↦ ax de la extensión vista como un K-espacio vectorial. Otras herramientas de la teoría de cuerpos, como la traza, la norma o el polinomio característico de un elemento algebraico, pueden definirse a partir de este endomorfismo y mantener los mismos vínculos con el polinomio mínimo que sus correspondientes en álgebra lineal. (es)
- In field theory, a branch of mathematics, the minimal polynomial of an element α of a field is, roughly speaking, the polynomial of lowest degree having coefficients in the field, such that α is a root of the polynomial. If the minimal polynomial of α exists, it is unique. The coefficient of the highest-degree term in the polynomial is required to be 1, and the type for the remaining coefficients could be integers, rational numbers, real numbers, or others. More formally, a minimal polynomial is defined relative to a field extension E/F and an element of the extension field E/F. The minimal polynomial of an element, if it exists, is a member of F[x], the ring of polynomials in the variable x with coefficients in F. Given an element α of E, let Jα be the set of all polynomials f(x) in F[x] such that f(α) = 0. The element α is called a root or zero of each polynomial in Jα. The set Jα is so named because it is an ideal of F[x]. The zero polynomial, all of whose coefficients are 0, is in every Jα since 0αi = 0 for all α and i. This makes the zero polynomial useless for classifying different values of α into types, so it is excepted. If there are any non-zero polynomials in Jα, then α is called an algebraic element over F, and there exists a monic polynomial of least degree in Jα. This is the minimal polynomial of α with respect to E/F. It is unique and irreducible over F. If the zero polynomial is the only member of Jα, then α is called a transcendental element over F and has no minimal polynomial with respect to E/F. Minimal polynomials are useful for constructing and analyzing field extensions. When α is algebraic with minimal polynomial a(x), the smallest field that contains both F and α is isomorphic to the quotient ring F[x]/⟨a(x)⟩, where ⟨a(x)⟩ is the ideal of F[x] generated by a(x). Minimal polynomials are also used to define conjugate elements. (en)
- 数学の分野である体論において、最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）は体の拡大 E/F と拡大体 E の元に対して定義される。元の最小多項式は、存在すれば、x を変数とする F 上の多項式環 F[x] の元である。E の元 α が与えられたとき、Jα を f(α) = 0 なる F[x] のすべての多項式 f(x) の集合とする。元 α は Jα の各多項式の根あるいは零点と呼ばれる。集合 Jα は F[x] のイデアルであるからそのように名づけられている。すべての係数が 0 である零多項式は、すべての α と i に対し 0αi = 0 であるから、すべての Jα に属している。そのため零多項式は異なる値の α を分類するには役に立たないから、除外される。Jα に零でない多項式が存在すれば、α は F 上代数的な元と呼ばれ、Jα の中に最小次数のモニック多項式が存在する。これが E/F に関しての α の最小多項式である。これは一意的で、F 上既約である。零多項式が Jα の唯一の元であれば、α は F 上超越的な元と呼ばれ、E/F に関して最小多項式は存在しない。 最小多項式は体の拡大を構成したり解析したりするときに有用である。α が代数的で最小多項式が a(x) のとき、F と α をともに含む最小の体は商環 F[x]/⟨a(x)⟩ に同型である。ここで ⟨a(x)⟩ は a(x) によって生成された F[x] のイデアルである。最小多項式はを定義するためにも使われる。 (ja)
- In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is bij een gegeven getal de minimale polynoom de irreducibele polynoom van de laagste graad, waarvan een nulpunt is. Als is gegeven dat een algebraïsch getal is, is de minimale polynoom van uniek bepaald. Getallen die geen algebraïsch getal zijn, die geen nulpunt zijn van een polynoom, hebben dus ook geen minimale polynoom. De coëfficiënt voor de hoogste macht van de variabele van de minimale polynoom is 1, of anders: de hoogste macht van de variabele van de minimale polynoom heeft geen coëfficiënt. (nl)
- O polinômio mínimo ou polinômio minimal de α é o polinômio mônico de menor grau que satisfaz p(α) = 0.
* Em álgebra linear, temos o de um operador linear ou de uma matriz quadrada.
* Na teoria dos corpos, temos o de um elemento α algébrico sobre um corpo K. Em álgebra linear, seja A uma matriz . O teorema de Cayley-Hamilton garante que pA(t)=det(tI-A), o polinômio característico, satisfaz p(A)=0. Este polinômio é mônico e tem grau=n. Entretanto, para algumas matrizes A é possível ter polinômios de grau menor (não-nulos, claro) com a mesma propriedade. O (único) polinômio mônico de grau menor com a mesma propriedade é chamado o polinômio mínimo de A, denotado pm(t). O polinômio mínimo de A pode ser caracterizado em duas maneiras equivalentes: 1.
* Em termos da forma de Jordan J de A. Seja J1 a matriz de Jordan obtida por J apagando todas as células exceto a maior célula para cada autovalor. Então pm(t)=det(tI-J1). 2.
* Em termos de multiplicidades algébricas. Sejam λi os autovalores de A, e para cada λi sejam mi1 ≥ mi2 ≥... suas multiplicidades. Então, pm(t) é o produto dos polinômios (t-λi)mi1. A matriz A é chamada não-derogatória se pA=pm, ou seja, cada autovalor só tem uma multiplicidade algébrica não-nula. Pode-se mostrar que A é não-derogatória se e somente se ela é similar a uma matriz companheira (antigamente chamada forma canônica racional). (pt)
- Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент. Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение и элемент , алгебраический над , то минимальное подполе , содержащее и , изоморфно факторкольцу , где — кольцо многочленов с коэффициентами в , а — главный идеал, порождённый минимальным многочленом . Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов. (ru)
- 在抽象代數中，一個域上的代數元 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) 。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。 (zh)
- В теорії полів, мінімальний многочлен — це визначений щодо розширення поля і елемента з Мінімальний многочлен елемента, якщо він існує, це член кільця поліномів від змінної з коефіцієнтами в Для елемента нехай буде множиною всіх многочленів таких, що Елемент називається коренем або нулем кожного многочлена в Ми так називаємо множину бо це ідеал Нульовий многочлен, всі коефіцієнти якого є в кожному бо Це робить нульовий многочлен непридатним для класифікації різних значень за типами, отже його виключаємо. Якщо існує будь-який ненульовий многочлен в тоді називається алгебраїчним елементом над і існує нормований, зі старшим коефіцієнтом найменшого степеня в многочлен. Це і є мінімальний многочлен для щодо Він унікальний і незвідний над Якщо єдиним членом є нульовий многочлен, тоді називають трансцендентним елементом над і воно не має мінімального многочлена щодо Мінімальний многочлен корисний для побудови й аналізу розширень полів. Коли є алгебраїчним з мінімальним многочленом найменше поле, яке містить і і до фактор-кільця де є ідеалом утвореним Мінімальні многочлени також використовуються для означення . (uk)
|
| rdfs:comment
|
- في نظرية الحقول، فرعا من الرياضيات، متعددة الحدود الدنيا (بالإنجليزية: Minimal polynomial) لعنصر a ما، من حقل ما، هي متعددة حدودة تكون درجتها أصغر ما أمكن حيث تبقى معاملاتها في ذلك الحقل وحيث يكون ذلك العنصر a جذرا لها. إذا وجدت هذه المتعددة للحدود فإنها وحيدة لا ثاني لها. يُشترط فيها أن يكون المعامل المضروب في الحد ذي الدرجة الأكبر، مساويا لواحد. (ar)
- Minimální polynom je pojem z teorie těles, podoboru abstraktní algebry. (cs)
- Έστω και ένα στοιχείο αλγεβρικό επί του .Ως ελάχιστο πολυώνυμο του επί του (minimum polynomial of a over K) ορίζουμε το μοναδικό μονικό πολυώνυμο ελαχίστου βαθμού για το οποίο ισχύει . (el)
- Unter einem Minimalpolynom versteht man allgemein ein Polynom minimalen Grades, das gerade noch eine Eigenschaft erfüllt, die von Faktoren kleineren Grades nicht mehr erfüllt wird. Insbesondere gibt in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik das Minimalpolynom die minimale lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen einer Matrix bzw. einer linearen Abbildung oder allgemeiner eines Elementes einer Algebra an. (de)
- In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is bij een gegeven getal de minimale polynoom de irreducibele polynoom van de laagste graad, waarvan een nulpunt is. Als is gegeven dat een algebraïsch getal is, is de minimale polynoom van uniek bepaald. Getallen die geen algebraïsch getal zijn, die geen nulpunt zijn van een polynoom, hebben dus ook geen minimale polynoom. De coëfficiënt voor de hoogste macht van de variabele van de minimale polynoom is 1, of anders: de hoogste macht van de variabele van de minimale polynoom heeft geen coëfficiënt. (nl)
- Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент. Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение и элемент , алгебраический над , то минимальное подполе , содержащее и , изоморфно факторкольцу , где — кольцо многочленов с коэффициентами в , а — главный идеал, порождённый минимальным многочленом . Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов. (ru)
- 在抽象代數中，一個域上的代數元 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) 。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。 (zh)
- En matemàtiques, el polinomi minimal d'un nombre algebraic és una noció derivada de l'àlgebra lineal, serveix per fonamentar dues teories. La teoria clàssica de Galois té com a camps d'estudi certs cossos commutatius, construïts per les de cossos inicials com un cos finit o el dels nombres racionals. El polinomi minimal proveeix un mètode natural per construir tals extensions. Aquestes es fan servir per elucidar les propietats d'una noció fonamental, el grup de Galois. Un teorema clau, com el de l'element primitiu s'expressa en termes de polinomi minimal. (ca)
- En teoría de cuerpos, el polinomio mínimo sobre un cuerpo conmutativo K de un elemento algebraico de una extensión de K, es el polinomio mónico de grado mínimo entre los polinomios con coeficientes en el cuerpo base K que se cancelan con el elemento dado. El polinomio mínimo es divisor del resto de los mencionados polinomios que se cancelan con el elemento dado. Además, es un polinomio irreducible. En el caso de una extensión del cuerpo de los números racionales (en particular de un cuerpo numérico), se habla de un número algebraico, y por lo tanto, del polinomio mínimo de un número algebraico. (es)
- In field theory, a branch of mathematics, the minimal polynomial of an element α of a field is, roughly speaking, the polynomial of lowest degree having coefficients in the field, such that α is a root of the polynomial. If the minimal polynomial of α exists, it is unique. The coefficient of the highest-degree term in the polynomial is required to be 1, and the type for the remaining coefficients could be integers, rational numbers, real numbers, or others. (en)
- En théorie des corps, le polynôme minimal sur un corps commutatif K d'un élément algébrique d'une extension de K, est le polynôme unitaire de degré minimal parmi les polynômes à coefficients dans le corps de base K qui annulent l'élément. Il divise tous ces polynômes. C'est toujours un polynôme irréductible. Dans le cas d'une extension du corps des rationnels (en particulier d'un corps de nombres), on parle de nombre algébrique et donc de polynôme minimal d'un nombre algébrique. (fr)
- 数学の分野である体論において、最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）は体の拡大 E/F と拡大体 E の元に対して定義される。元の最小多項式は、存在すれば、x を変数とする F 上の多項式環 F[x] の元である。E の元 α が与えられたとき、Jα を f(α) = 0 なる F[x] のすべての多項式 f(x) の集合とする。元 α は Jα の各多項式の根あるいは零点と呼ばれる。集合 Jα は F[x] のイデアルであるからそのように名づけられている。すべての係数が 0 である零多項式は、すべての α と i に対し 0αi = 0 であるから、すべての Jα に属している。そのため零多項式は異なる値の α を分類するには役に立たないから、除外される。Jα に零でない多項式が存在すれば、α は F 上代数的な元と呼ばれ、Jα の中に最小次数のモニック多項式が存在する。これが E/F に関しての α の最小多項式である。これは一意的で、F 上既約である。零多項式が Jα の唯一の元であれば、α は F 上超越的な元と呼ばれ、E/F に関して最小多項式は存在しない。 (ja)
- O polinômio mínimo ou polinômio minimal de α é o polinômio mônico de menor grau que satisfaz p(α) = 0.
* Em álgebra linear, temos o de um operador linear ou de uma matriz quadrada.
* Na teoria dos corpos, temos o de um elemento α algébrico sobre um corpo K. O polinômio mínimo de A pode ser caracterizado em duas maneiras equivalentes: A matriz A é chamada não-derogatória se pA=pm, ou seja, cada autovalor só tem uma multiplicidade algébrica não-nula. Pode-se mostrar que A é não-derogatória se e somente se ela é similar a uma matriz companheira (antigamente chamada forma canônica racional). (pt)
- В теорії полів, мінімальний многочлен — це визначений щодо розширення поля і елемента з Мінімальний многочлен елемента, якщо він існує, це член кільця поліномів від змінної з коефіцієнтами в Для елемента нехай буде множиною всіх многочленів таких, що Елемент називається коренем або нулем кожного многочлена в Ми так називаємо множину бо це ідеал Нульовий многочлен, всі коефіцієнти якого є в кожному бо Це робить нульовий многочлен непридатним для класифікації різних значень за типами, отже його виключаємо. Якщо існує будь-який ненульовий многочлен в тоді називається алгебраїчним елементом над і існує нормований, зі старшим коефіцієнтом найменшого степеня в многочлен. Це і є мінімальний многочлен для щодо Він унікальний і незвідний над Якщо єдиним членом є нульовий м (uk)
|
