In mathematics, a line integral is an integral where the function to be integrated is evaluated along a curve. The terms path integral, curve integral, and curvilinear integral are also used; contour integral is used as well, although that is typically reserved for .

Property Value
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  • في الرياضيات، التكامل الخطي (بالإنجليزية: Line integral) يدعى أحيانا بتكامل المسار أو تكامل المنحنى، هو تكامل يتم فيه حساب تكامل الدالة على منحنى. ينبغي عدم الخلط بين هذا التكامل وحساب طول قوس بالتكامل. هناك العديد من التكاملات الخطية كما أن هناك حالة خاصة من التكامل على مسار مغلق في بعدين أو المستوى العقدي هي . يمكن أن تكون الدالة المكاملة حقل قياسي أو حقل متجهي. قيمة التكامل الخطي عبارة عن مجموع قيم المجال عند جميع النقاط على المنحنى, يتم توزينها بدالة قياسية معينة على المنحنى (طول القوس عادة، أو بالنسبة لمجال متجه, الضرب القياسي للمجال المتجه مع متجه تفاضلي في المنحنى). هذا التوزين يميز التكامل الخطي عن التكاملات البسيطة المعرفة على فترات. العديد من الصيغ البسيطة في الفيزياء، (على سبيل المثال لحساب الشغل الميكانيكي, ) لها تماثليات طبيعية متصلة بدلالة التكاملات الخطية (). يستطيع التكامل الخطي ايجاد الشغل الميكانيكي المبذول على جسم متحرك في مجال كهربي أو جاذبية مثلا. (ar)
  • En matemàtiques, una integral curvilínia (de vegades anomenada integral de camí) és una integral on la funció a integrar cal avaluar-la al llarg d'una corba. En el cas d'una corba tancada s'anomena també integral de contorn. La funció a integrar pot ser un camp escalar o un camp vectorial. El valor de la integral curvilínia és la suma dels valors del camp a tots els punts de la corba, ponderats per alguna funció escalar de la corba (normalment la ) o, pel cas d'un camp vectorial, el producte escalar del vector dels camp a cada punt de la corba per un de la corba. Aquesta ponderació (i el fet que la corba sigui a l'espai) distingeix la integral curvilínia de les simples integrals definides en un interval. Moltes fórmules senzilles de la física (la del treball mecànic per exemple, ) tenen expressions contínues anàlogues en termes d'integrals curvilínies (). La integral curvilínia determina el treball fet sobre un objecte que es mou, per exemple, en un camp elèctric o gravitacional. Intuïtivament es pot interpretar aquesta integral curvilínia pensant que el camp gravitacional aplica a l'objecte una força diferent en cada punt (la magnitud i la direcció d'aquesta força depèn de la distància del punt a les masses que generen el camp gravitacional). En moure's l'objecte (tot resseguint la corba) una distància infinitesimal ds, el camp gravitatori fa sobre ell un treball igual al producte de la força pel desplaçament ds pel cosinus de l'angle entre el vector força i el vector desplaçament. La suma de tots aquests treballs infinitesimals és el valor de la integral curvilínia. La integral curvilínia es pot calcular amb mètodes numèrics, per exemple aproximant els desplaçaments infinitesimals per desplaçaments petits però finits o transformant-la en una integral definida en un interval i llavors aplicant les tècniques per resoldre aquest tipus d'integrals. (ca)
  • V matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je mnoho druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné. (cs)
  • En matematiko, kurba integralo estas integralo komputita laŭ kurbo en ia spaco. Kurbaj integraloj estas uzataj en vektora kalkulo kaj kompleksa analitiko. En vektora kalkulo oni konsideras integralojn de skalara aŭ vektora kampoj sur multdimensia spaco; En kompleksa analitiko oni konsideras integralojn de sur kompleksa ebeno. Por kurba integralo oni uzas la normalan integralan simbolon . Kelkfoje, por integralo laŭ fermitaj kurboj (t.e., kurboj kies komenca kaj fina punktoj koincidas), oni uzas la specialan simbolon . (eo)
  • Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis). Den Weg, die Linie oder die Kurve, über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg. Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol geschrieben. (de)
  • En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser: * el cálculo de la longitud de una curva en el espacio, * o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. (es)
  • Dalam matematika, integral garis adalah integral yang dihitung dengan mengevaluasi fungsi yang hendak diintegralkan sepanjang seutas kurva (garis). Fungsi yang hendak diintegralkan mungkin adalah sebuah atau . Nilai dari integral garis adalah jumlah dari nilai medan pada semua titik pada kurva, dibobotkan dengan suatu fungsi skalar pada kurva (biasanya , atau pada medan vektor, hasilkali skalar dari medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva. Pembobotan ini membedakan integral garis dengan integral yang lebih sederhana pada suatu . Banyak rumus sederhana dalam fisika, (contohnya W = F·s) memiliki analogi kontinu alami dalam bentuk integral garis (W=∫C F· ds). Integral garis dapat digunakan untuk menghitung kerja yang dilakukan pada benda yang bergerak dalam medan listrik atau gravitasi. (in)
  • In matematica, un integrale di linea (da non confondere con il calcolo della lunghezza di una curva usando l'integrazione) o integrale curvilineo è un integrale in cui la funzione da integrare è valutata lungo un cammino o una curva. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato integrale di contorno. La funzione da integrare può essere un campo scalare o un campo vettoriale. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la lunghezza di un arco o, nel campo vettoriale, il prodotto scalare del campo scalare con il vettore differenziale nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su intervalli. Molte relazioni in fisica sono formulate in termini di integrali di linea: ad esempio, il lavoro compiuto dalle forze del campo su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria. (it)
  • En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe. Dans cet article, Γ est un arc orienté dans ℝn, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée t ↦ γ(t), avec t ∈ [a, b]. (fr)
  • 数学における線積分(せんせきぶん、英: line integral; 稀に path integral, curve integral, curvilinear integral)は、曲線に沿って評価された函数の値についての積分の総称。ベクトル解析や複素解析において重要な役割を演じる。閉曲線に沿う線積分を特に閉路積分(へいろせきぶん)あるいは周回積分(しゅうかいせきぶん)と呼び、専用の積分記号 が使われることもある。周回積分法は複素解析における重要な手法の一つである。 線積分の対象となる函数は、スカラー場やベクトル場などとして与える。線積分の値は場の考えている曲線上での値に曲線上のあるスカラー函数(弧長、あるいはベクトル場については曲線上の微分ベクトルとの点乗積)による重み付けをしたものを「足し合わせた」ものとなる。この重み付けが、区間上で定義する積分と線積分とを分ける点である。 物理学における多くの単純な公式が、線積分で書くことによって自然に、連続的に変化させた場合についても一般化することができるようになる。例えば、力学的な仕事を表す式 W = F⋅s から曲線 C に沿っての仕事を表す式 W = ∫CF⋅ds を得る。例えば電場や重力場において運動する物体の成す仕事が計算できる。 (ja)
  • 미적분학에서, 선적분(線積分, 영어: line integral)과 직선 위의 정적분을 곡선 위의 적분까지 일반화한 개념이다. 두 종류의 선적분이 존재하며, 하나는 스칼라 장, 하나는 벡터 장에 대한 것이다. 스칼라 장의 선적분은 밀도 분포가 주어진 끈의 질량을 구하는 문제와 같으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일을 구하는 문제와 같다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적분은 (스칼라 장을 이루는) 의 선적분과 같다. (ko)
  • In mathematics, a line integral is an integral where the function to be integrated is evaluated along a curve. The terms path integral, curve integral, and curvilinear integral are also used; contour integral is used as well, although that is typically reserved for . The function to be integrated may be a scalar field or a vector field. The value of the line integral is the sum of values of the field at all points on the curve, weighted by some scalar function on the curve (commonly arc length or, for a vector field, the scalar product of the vector field with a differential vector in the curve). This weighting distinguishes the line integral from simpler integrals defined on intervals. Many simple formulae in physics, such as the definition of work as , have natural continuous analogs in terms of line integrals, in this case , which computes the work done on an object moving through an electric or gravitational field F along a path s. (en)
  • Een lijnintegraal is een van de generalisaties van het klassieke (Riemannse) integraalbegrip voor meerdimensionale ruimten. Het domein van de gegeven functie is niet langer een reëel interval, maar een stuksgewijs differentieerbare kromme in een meerdimensionale ruimte (of algemener, een variëteit waarop een booglengte is gedefinieerd). Om de lijnintegraal van de scalaire functie over de boog op de kromme te bepalen, wordt de boog opgedeeld in stukjes door de punten . Bij deze opdeling hoort een Riemannsom , waarin de lengte van de boog tussen de punten en is, en een punt op deze boog. Als in een bepaald limietproces bij voorgaande verfijning van de opdeling de Riemannsommen convergeren, noemt men de limiet de lijnintegraal (nl)
  • Całka krzywoliniowa – całka, w której całkowana funkcja przyjmuje wartości wzdłuż pewnej krzywej (regularnej). Gdy krzywa całkowania jest zamknięta, to całkę nazywa się niekiedy całką okrężną. Funkcja podcałkowa może być polem skalarnym lub wektorowym; w pierwszym przypadku mówi się o całce krzywoliniowej nieskierowanej lub niezorientowanej, w drugim zaś o całce krzywoliniowej skierowanej bądź zorientowanej; nieco innym pojęciem jest opisana w dalszej części całka krzywoliniowa zespolona. Wartość całki krzywoliniowej można sobie wyobrażać jako sumę wartości pola (skalarnego lub wektorowego) we wszystkich punktach z wagą opisaną przez pewną funkcję skalarną na krzywej (w przypadku całki nieskierowanej waga ta jest powiązana z długością łuku, a w przypadku całki skierowanej – z jego parametryzacją, a dokładniej z jej składowymi, czyli rzutami tego łuku na osie współrzędnych). Wspomniana waga odróżnia całkę krzywoliniową od prostszych całek określonych na przedziałach. Wiele prostych wzorów fizycznych ma naturalne, ciągłe odpowiedniki wyrażone w języku całek krzywoliniowych, np. odpowiada gdzie całka krzywoliniowa skierowana opisuje pracę wykonaną przez obiekt poprzez przemieszczanie go w polu elektrycznym lub grawitacyjnym. (pl)
  • En kurvintegral, eller linjeintegral, är en integral för vilken evalueringen av integranden sker längs en kurva. Ett flertal olika kurvintegraler förekommer. Om kurvan är sluten kallas integralen även för konturintegral. (sv)
  • Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности. (ru)
  • 在数学中,曲线积分(英語:curve integral或curvilinear integral)或路徑積分(英語:path integral或contour integral【留数定理】)是积分的一种。的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。曲线积分有很多种类,当积分路径为闭合曲线时,称为环路积分或围道积分。 在曲线积分中,被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時,积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度,在被积分函数是向量函数时,積分值是積分向量函数与曲线切向量的內積。在函數是純量函數的情形下,可以把切向量的絕對值(長度)看成此曲線把該點附近定義域的極小區間,在對應域內拉長了切向量絕對值的長度,這也是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多簡潔公式(例如W=F·s)在推广之后都是以曲线积分的形式出现 。 曲线积分在物理学中是很重要的工具,例如计算电场或重力场中的做功。 (zh)
  • Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л. (uk)
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  • Path integral (en)
  • Integral over trajectories (en)
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  • LineIntegral (en)
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  • V matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je mnoho druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné. (cs)
  • En matematiko, kurba integralo estas integralo komputita laŭ kurbo en ia spaco. Kurbaj integraloj estas uzataj en vektora kalkulo kaj kompleksa analitiko. En vektora kalkulo oni konsideras integralojn de skalara aŭ vektora kampoj sur multdimensia spaco; En kompleksa analitiko oni konsideras integralojn de sur kompleksa ebeno. Por kurba integralo oni uzas la normalan integralan simbolon . Kelkfoje, por integralo laŭ fermitaj kurboj (t.e., kurboj kies komenca kaj fina punktoj koincidas), oni uzas la specialan simbolon . (eo)
  • Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis). Den Weg, die Linie oder die Kurve, über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg. Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol geschrieben. (de)
  • En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser: * el cálculo de la longitud de una curva en el espacio, * o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. (es)
  • En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe. Dans cet article, Γ est un arc orienté dans ℝn, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée t ↦ γ(t), avec t ∈ [a, b]. (fr)
  • 数学における線積分(せんせきぶん、英: line integral; 稀に path integral, curve integral, curvilinear integral)は、曲線に沿って評価された函数の値についての積分の総称。ベクトル解析や複素解析において重要な役割を演じる。閉曲線に沿う線積分を特に閉路積分(へいろせきぶん)あるいは周回積分(しゅうかいせきぶん)と呼び、専用の積分記号 が使われることもある。周回積分法は複素解析における重要な手法の一つである。 線積分の対象となる函数は、スカラー場やベクトル場などとして与える。線積分の値は場の考えている曲線上での値に曲線上のあるスカラー函数(弧長、あるいはベクトル場については曲線上の微分ベクトルとの点乗積)による重み付けをしたものを「足し合わせた」ものとなる。この重み付けが、区間上で定義する積分と線積分とを分ける点である。 物理学における多くの単純な公式が、線積分で書くことによって自然に、連続的に変化させた場合についても一般化することができるようになる。例えば、力学的な仕事を表す式 W = F⋅s から曲線 C に沿っての仕事を表す式 W = ∫CF⋅ds を得る。例えば電場や重力場において運動する物体の成す仕事が計算できる。 (ja)
  • 미적분학에서, 선적분(線積分, 영어: line integral)과 직선 위의 정적분을 곡선 위의 적분까지 일반화한 개념이다. 두 종류의 선적분이 존재하며, 하나는 스칼라 장, 하나는 벡터 장에 대한 것이다. 스칼라 장의 선적분은 밀도 분포가 주어진 끈의 질량을 구하는 문제와 같으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일을 구하는 문제와 같다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적분은 (스칼라 장을 이루는) 의 선적분과 같다. (ko)
  • En kurvintegral, eller linjeintegral, är en integral för vilken evalueringen av integranden sker längs en kurva. Ett flertal olika kurvintegraler förekommer. Om kurvan är sluten kallas integralen även för konturintegral. (sv)
  • Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности. (ru)
  • 在数学中,曲线积分(英語:curve integral或curvilinear integral)或路徑積分(英語:path integral或contour integral【留数定理】)是积分的一种。的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。曲线积分有很多种类,当积分路径为闭合曲线时,称为环路积分或围道积分。 在曲线积分中,被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時,积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度,在被积分函数是向量函数时,積分值是積分向量函数与曲线切向量的內積。在函數是純量函數的情形下,可以把切向量的絕對值(長度)看成此曲線把該點附近定義域的極小區間,在對應域內拉長了切向量絕對值的長度,這也是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多簡潔公式(例如W=F·s)在推广之后都是以曲线积分的形式出现 。 曲线积分在物理学中是很重要的工具,例如计算电场或重力场中的做功。 (zh)
  • Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л. (uk)
  • في الرياضيات، التكامل الخطي (بالإنجليزية: Line integral) يدعى أحيانا بتكامل المسار أو تكامل المنحنى، هو تكامل يتم فيه حساب تكامل الدالة على منحنى. ينبغي عدم الخلط بين هذا التكامل وحساب طول قوس بالتكامل. هناك العديد من التكاملات الخطية كما أن هناك حالة خاصة من التكامل على مسار مغلق في بعدين أو المستوى العقدي هي . (ar)
  • En matemàtiques, una integral curvilínia (de vegades anomenada integral de camí) és una integral on la funció a integrar cal avaluar-la al llarg d'una corba. En el cas d'una corba tancada s'anomena també integral de contorn. (ca)
  • In mathematics, a line integral is an integral where the function to be integrated is evaluated along a curve. The terms path integral, curve integral, and curvilinear integral are also used; contour integral is used as well, although that is typically reserved for . (en)
  • Dalam matematika, integral garis adalah integral yang dihitung dengan mengevaluasi fungsi yang hendak diintegralkan sepanjang seutas kurva (garis). Fungsi yang hendak diintegralkan mungkin adalah sebuah atau . Nilai dari integral garis adalah jumlah dari nilai medan pada semua titik pada kurva, dibobotkan dengan suatu fungsi skalar pada kurva (biasanya , atau pada medan vektor, hasilkali skalar dari medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva. Pembobotan ini membedakan integral garis dengan integral yang lebih sederhana pada suatu . Banyak rumus sederhana dalam fisika, (contohnya W = F·s) memiliki analogi kontinu alami dalam bentuk integral garis (W=∫C F· ds). Integral garis dapat digunakan untuk menghitung kerja yang dilakukan pada benda yang bergerak dalam medan listrik atau gravi (in)
  • In matematica, un integrale di linea (da non confondere con il calcolo della lunghezza di una curva usando l'integrazione) o integrale curvilineo è un integrale in cui la funzione da integrare è valutata lungo un cammino o una curva. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato integrale di contorno. (it)
  • Een lijnintegraal is een van de generalisaties van het klassieke (Riemannse) integraalbegrip voor meerdimensionale ruimten. Het domein van de gegeven functie is niet langer een reëel interval, maar een stuksgewijs differentieerbare kromme in een meerdimensionale ruimte (of algemener, een variëteit waarop een booglengte is gedefinieerd). Om de lijnintegraal van de scalaire functie over de boog op de kromme te bepalen, wordt de boog opgedeeld in stukjes door de punten . Bij deze opdeling hoort een Riemannsom , (nl)
  • Całka krzywoliniowa – całka, w której całkowana funkcja przyjmuje wartości wzdłuż pewnej krzywej (regularnej). Gdy krzywa całkowania jest zamknięta, to całkę nazywa się niekiedy całką okrężną. Funkcja podcałkowa może być polem skalarnym lub wektorowym; w pierwszym przypadku mówi się o całce krzywoliniowej nieskierowanej lub niezorientowanej, w drugim zaś o całce krzywoliniowej skierowanej bądź zorientowanej; nieco innym pojęciem jest opisana w dalszej części całka krzywoliniowa zespolona. Wartość całki krzywoliniowej można sobie wyobrażać jako sumę wartości pola (skalarnego lub wektorowego) we wszystkich punktach z wagą opisaną przez pewną funkcję skalarną na krzywej (w przypadku całki nieskierowanej waga ta jest powiązana z długością łuku, a w przypadku całki skierowanej – z jego parametr (pl)
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  • تكامل خطي (ar)
  • Integral curvilínia (ca)
  • Křivkový integrál (cs)
  • Kurvenintegral (de)
  • Line integral (en)
  • Kurba integralo (eo)
  • Integral de línea (es)
  • Intégrale curviligne (fr)
  • Integral garis (in)
  • Integrale di linea (it)
  • 線積分 (ja)
  • 선적분 (ko)
  • Lijnintegraal (nl)
  • Całka krzywoliniowa (pl)
  • Integral de linha (pt)
  • Криволинейный интеграл (ru)
  • Криволінійний інтеграл (uk)
  • Kurvintegral (sv)
  • 曲线积分 (zh)
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