In mathematics, a cusp, sometimes called spinode in old texts, is a point on a curve where a moving point must reverse direction. A typical example is given in the figure. A cusp is thus a type of singular point of a curve. For a plane curve defined by an analytic, parametric equation For a curve defined by an implicit equation In some contexts, and in the remainder of this article, the definition of a cusp is restricted to the case of cusps of order two—that is, the case where m = 2.

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  • En matemàtiques, en la teoria de la singularitat, una cúspide és un tipus de punt singular d'una corba, on un punt en moviment de la corba ha de començar a retrocedir. Les cúspides són singularitats locals que no estan formades per l'autointersecció dels punts de la corba. Per a una corba plana definida per una equació paramètrica implícita una cúspide és un punt on la derivada de f i g és zero, i la derivada direccional, en la direcció de la tangent, canvia signe (la direcció de la tangent és la direcció del pendent ). La cúspide és una singularitat local en el sentit que impliquen només un valor del paràmetre t, a diferència dels punts d'intersecció lliures que impliquen més d'un valor. En alguns contexts, es pot ometre la condició de la derivada direccional, encara que, en aquest cas, la singularitat pot semblar un punt normal. Per a una corba definida per una equació implícita contínuament diferenciable les cúspides són punts on els termes de menor grau de la sèrie de Taylor de F són una potència d'un polinomi lineal; no obstant això, no tots els punts singulars que tenen aquesta propietat són cúspides. La teoria de la implica que, si F és una funció analítica (per exemple, un polinomi), un canvi lineal de coordenades permet parametritzar la corba, en un veïnat de la cúspide, com on a és un nombre real, m és un enter positiu, i S(t) és una sèrie de potències d'ordre k (grau del terme no-zero del grau més baix) més gran que m. El nombre m es denomina de vegades ordre o multiplicitat de la cúspide, i és igual al grau de la part no-zero del grau més baix de F. Aquestes definicions s'han generalitzat a les corbes definides per funcions diferenciables per René Thom i Vladimir Arnold de la següent manera: Una corba té una cúspide en un punt si hi ha un difeomorfisme d'un veïnat del punt en l'espai ambient, que assigna la corba a una de les cúspides abans esmentades. En alguns contexts i en la resta d'aquest article, la definició d'una cúspide està restringida al cas de cúspides d'ordre dos, és a dir, el cas on m = 2. Les cúspides de corbes planes (d'ordre dos) es poden posar per difeomorfisme al pla amb la forma x2 − y2k+1 = 0, on k és un nombre enter positiu (k≥ 1). (ca)
  • Hrot křivky (také označovaný bod vratu nebo bod úvratu) je v geometrii takový bod křivky, kde je, neformálně řečeno, křivka špičatá – označení „bod vratu“ odpovídá tomu, že pokud by byla křivka kreslena perem, tak se pero v daném bodě zastaví a pak se vydá směrem zpět. Z formálního hlediska se jedná o jeden ze , tedy bodů, kde křivka není vyjádřitelná , ovšem má v něm v tomto případě tečnu (dokonce v určitém smyslu dvojnásobnou). (cs)
  • In der Mathematik sind Spitzen (auch Kuspen, engl.: cusps) ein Typ von Singularitäten von Kurven. Ein sich auf der Kurve bewegender Punkt müsste an der Spitze seine Richtung abrupt ändern. (de)
  • En kuspo estas singulara punkto de kurbo. Por kurbo difinita kiel la nula aro de funkcio de du variabloj f(x, y)=0, la kuspoj sur la kurbo estas punktoj (x, y) kiuj havas samtemple ĉiujn jenajn propraĵojn: * f(x, y)=0 * * La matrico de Hessian de la duaj derivaĵoj havas nulan determinanton. Klasika ekzemplo de kuspo estas punkto (0, 0) sur kurbo x3-y2=0 Ĉi tiu kurbo povas esti esprimita parametre kiel x=t2, y=t3 Kuspoj estas ofte trovitaj en optiko kiel formo de . Ili estas ankaŭ trovataj en projekcioj de profilo de surfaco. (eo)
  • In mathematics, a cusp, sometimes called spinode in old texts, is a point on a curve where a moving point must reverse direction. A typical example is given in the figure. A cusp is thus a type of singular point of a curve. For a plane curve defined by an analytic, parametric equation a cusp is a point where both derivatives of f and g are zero, and the directional derivative, in the direction of the tangent, changes sign (the direction of the tangent is the direction of the slope ). Cusps are local singularities in the sense that they involve only one value of the parameter t, in contrast to self-intersection points that involve more than one value. In some contexts, the condition on the directional derivative may be omitted, although, in this case, the singularity may look like a regular point. For a curve defined by an implicit equation which is smooth, cusps are points where the terms of lowest degree of the Taylor expansion of F are a power of a linear polynomial; however, not all singular points that have this property are cusps. The theory of Puiseux series implies that, if F is an analytic function (for example a polynomial), a linear change of coordinates allows the curve to be parametrized, in a neighborhood of the cusp, as where a is a real number, m is a positive even integer, and S(t) is a power series of order k (degree of the nonzero term of the lowest degree) larger than m. The number m is sometimes called the order or the multiplicity of the cusp, and is equal to the degree of the nonzero part of lowest degree of F. These definitions have been generalized to curves defined by differentiable functions by René Thom and Vladimir Arnold, in the following way. A curve has a cusp at a point if there is a diffeomorphism of a neighborhood of the point in the ambient space, which maps the curve onto one of the above-defined cusps. In some contexts, and in the remainder of this article, the definition of a cusp is restricted to the case of cusps of order two—that is, the case where m = 2. A plane curve cusp (of order two) may be put in the following form by a diffeomorphism of the plane: x2 – y2k+1 = 0, where k is a positive integer. (en)
  • En mathématiques, on appelle point de rebroussement, ou parfois cusp, selon la terminologie anglaise, un type particulier de point singulier sur une courbe.Dans le cas d'une courbe admettant une équation , les points de rebroussement ont les propriétés : 1. * ; 2. * ; 3. * La matrice hessienne (la matrice des dérivées secondes) a un déterminant nul. L'étude de la géométrie d'une courbe, algébrique ou analytique, au voisinage d'un tel point, repose notamment sur la notion d'éclatement. (fr)
  • In analisi matematica, si dice che una funzione di variabile reale continua in un punto del dominio, ha una cuspide in se si verifica la seguente condizione ovvero i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in sono divergenti (tendenti a ±∞) con segno opposto. Geometricamente, si può osservare come le semitangenti destra e sinistra siano verticali e formino un angolo nullo. In geometria esistono tre specie di cuspidi, a seconda della molteplicità d'intersezione tra l'unica retta tangente e la curva nel punto, che può essere uguale a 3, 5 o 7. (it)
  • 幾何学における尖点(せんてん、英: cusp, 古くは尖節点 (spinode))は、曲線に沿って走る動点がそこで向きを逆転するような曲線上の点である。尖点は曲線の特異点の一種ということになる。 解析的に平面曲線 において尖点は、f および g の微分係数がともに消えているような点(つまり曲線の特異点)であって、その点での接線方向への方向微分が符号を変えるものである(ここで「接線方向」とは、その近傍の各点における傾きの極限 limg′(t)⁄f′(t) を傾きとする直線の方向の意)。媒介変数 t のただ一つの値のみで決まるという意味で尖点は「局所的な特異点」である。場合によっては尖点の定義に方向微分に関する条件を問わないこともあるが、その場合は一見すると正則点のようにも見える特異点も現れ得ることに注意すべきである。 なめらかな で定められる曲線において尖点は、F のテイラー展開の最低次の項が適当なの冪となる点となっている(が、この性質を持つ点が必ずしも尖点となるわけではないことには注意しなければならない)。論からわかることとして、F が解析函数(たとえば多項式函数はそうである)ならば、尖点の近傍において適当な線型座標変換により曲線を と媒介表示できることが言える。ただし、a は適当な実数、m は正の偶数で、S(t) は(最も次数の低い非零項の次数)k が m より大きい冪級数とする。このとき、m をこの尖点の位数 (order) または重複度 (multiplicity) と呼び、これは F の最低次非零成分の次数に等しくなる。 これらの定義を、ルネ・トムおよびウラジーミル・アーノルドは、可微分函数の定める曲線に対するものへ一般化した。すなわち、曲線がある点に尖点を持つとは、全体空間で考えたその点の近傍上で微分同相写像が存在して、その曲線を上で定義された意味での尖点の上へ写すことができるときに言う。 文脈によっては、単に「尖点」と言えばここでいう位数 m = 2 の尖点のみを特に指すものとして定めていることもある。本項も以下そのような制限された意味でこれを用いることとする。位数 2 の尖点を持つ平面曲線は、適当な微分同相により、適当な自然数 k に対する曲線 x2 – y2k+1 = 0 の形におくことができる。 (ja)
  • Касп (англ. cusp «заострение, пик»), или точка возврата, — особая точка, в которой кривая линия разделяется на две (или более) ветви, имеющие в этой точке одинаковый направляющий вектор. То есть ветви в данной точке имеют общую касательную, и движение вдоль них из данной точки изначально происходит в одном и том же направлении. Иногда касп определяется в более узком смысле — как особая точка специального типа на алгебраической кривой. А именно: особая точка алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем называется каспом, если пополнение её локального кольца изоморфно пополнению локального кольца плоской алгебраической кривой (полукубической параболы) в начале координат. В этом случае касп ещё называют обыкновенной точкой возврата. (ru)
  • 尖點(cusp)是曲線中的一種奇點。曲線上的動點在移到尖點時會開始反向移動,右圖是一個典型的例子。給定一個以解析參數式定義的平面曲線: 尖點即為函數f及g之導數為零之點,同時方向導數在切線方向會變號(切線方向之斜率為)。尖點是局部的奇點,只牽涉到參數t的一個值,不像自交點牽涉到t的許多值。在某些時候,方向導數變號的條件會省去,此時奇點有可能看起來像一般的點。 以一個光滑隱函數定義的曲線來說, 將F以泰勒級數展開,當其最低階項可表為一次多項式的次方時,即為尖點所在處。但是並非所有擁有此性質的奇點都是尖點,由相關定理可知,若F是解析函數,則在座標線性變換後,在尖點附近可將曲線參數化成以下形式: 其中a是實數,m是正偶數,S(t)是k階的冪級數且k>m。m也是F最低階項中非零部份的階數。這些定義已被勒内·托姆及弗拉基米爾·阿諾爾德推廣至以可微函數定義的曲線,若某點鄰域存在微分同胚,將曲線映至以上定義的尖點,則該曲線有尖點。在某些時候,以及以下文章,尖點被限定為二階尖點,也就是說{{{1}}}。一個平面曲線的二階尖點可被微分同胚表為x2 – y2k+1 = 0,其中k是正整數。 (zh)
  • В касп (англ. cusp — загострення) є одним з видів особливих точок кривої. (uk)
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  • Hrot křivky (také označovaný bod vratu nebo bod úvratu) je v geometrii takový bod křivky, kde je, neformálně řečeno, křivka špičatá – označení „bod vratu“ odpovídá tomu, že pokud by byla křivka kreslena perem, tak se pero v daném bodě zastaví a pak se vydá směrem zpět. Z formálního hlediska se jedná o jeden ze , tedy bodů, kde křivka není vyjádřitelná , ovšem má v něm v tomto případě tečnu (dokonce v určitém smyslu dvojnásobnou). (cs)
  • In der Mathematik sind Spitzen (auch Kuspen, engl.: cusps) ein Typ von Singularitäten von Kurven. Ein sich auf der Kurve bewegender Punkt müsste an der Spitze seine Richtung abrupt ändern. (de)
  • En kuspo estas singulara punkto de kurbo. Por kurbo difinita kiel la nula aro de funkcio de du variabloj f(x, y)=0, la kuspoj sur la kurbo estas punktoj (x, y) kiuj havas samtemple ĉiujn jenajn propraĵojn: * f(x, y)=0 * * La matrico de Hessian de la duaj derivaĵoj havas nulan determinanton. Klasika ekzemplo de kuspo estas punkto (0, 0) sur kurbo x3-y2=0 Ĉi tiu kurbo povas esti esprimita parametre kiel x=t2, y=t3 Kuspoj estas ofte trovitaj en optiko kiel formo de . Ili estas ankaŭ trovataj en projekcioj de profilo de surfaco. (eo)
  • En mathématiques, on appelle point de rebroussement, ou parfois cusp, selon la terminologie anglaise, un type particulier de point singulier sur une courbe.Dans le cas d'une courbe admettant une équation , les points de rebroussement ont les propriétés : 1. * ; 2. * ; 3. * La matrice hessienne (la matrice des dérivées secondes) a un déterminant nul. L'étude de la géométrie d'une courbe, algébrique ou analytique, au voisinage d'un tel point, repose notamment sur la notion d'éclatement. (fr)
  • In analisi matematica, si dice che una funzione di variabile reale continua in un punto del dominio, ha una cuspide in se si verifica la seguente condizione ovvero i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in sono divergenti (tendenti a ±∞) con segno opposto. Geometricamente, si può osservare come le semitangenti destra e sinistra siano verticali e formino un angolo nullo. In geometria esistono tre specie di cuspidi, a seconda della molteplicità d'intersezione tra l'unica retta tangente e la curva nel punto, che può essere uguale a 3, 5 o 7. (it)
  • 尖點(cusp)是曲線中的一種奇點。曲線上的動點在移到尖點時會開始反向移動,右圖是一個典型的例子。給定一個以解析參數式定義的平面曲線: 尖點即為函數f及g之導數為零之點,同時方向導數在切線方向會變號(切線方向之斜率為)。尖點是局部的奇點,只牽涉到參數t的一個值,不像自交點牽涉到t的許多值。在某些時候,方向導數變號的條件會省去,此時奇點有可能看起來像一般的點。 以一個光滑隱函數定義的曲線來說, 將F以泰勒級數展開,當其最低階項可表為一次多項式的次方時,即為尖點所在處。但是並非所有擁有此性質的奇點都是尖點,由相關定理可知,若F是解析函數,則在座標線性變換後,在尖點附近可將曲線參數化成以下形式: 其中a是實數,m是正偶數,S(t)是k階的冪級數且k>m。m也是F最低階項中非零部份的階數。這些定義已被勒内·托姆及弗拉基米爾·阿諾爾德推廣至以可微函數定義的曲線,若某點鄰域存在微分同胚,將曲線映至以上定義的尖點,則該曲線有尖點。在某些時候,以及以下文章,尖點被限定為二階尖點,也就是說{{{1}}}。一個平面曲線的二階尖點可被微分同胚表為x2 – y2k+1 = 0,其中k是正整數。 (zh)
  • В касп (англ. cusp — загострення) є одним з видів особливих точок кривої. (uk)
  • En matemàtiques, en la teoria de la singularitat, una cúspide és un tipus de punt singular d'una corba, on un punt en moviment de la corba ha de començar a retrocedir. Les cúspides són singularitats locals que no estan formades per l'autointersecció dels punts de la corba. Per a una corba plana definida per una equació paramètrica implícita una cúspide és un punt on la derivada de f i g és zero, i la derivada direccional, en la direcció de la tangent, canvia signe (la direcció de la tangent és la direcció del pendent ). (ca)
  • In mathematics, a cusp, sometimes called spinode in old texts, is a point on a curve where a moving point must reverse direction. A typical example is given in the figure. A cusp is thus a type of singular point of a curve. For a plane curve defined by an analytic, parametric equation For a curve defined by an implicit equation In some contexts, and in the remainder of this article, the definition of a cusp is restricted to the case of cusps of order two—that is, the case where m = 2. (en)
  • 幾何学における尖点(せんてん、英: cusp, 古くは尖節点 (spinode))は、曲線に沿って走る動点がそこで向きを逆転するような曲線上の点である。尖点は曲線の特異点の一種ということになる。 解析的に平面曲線 において尖点は、f および g の微分係数がともに消えているような点(つまり曲線の特異点)であって、その点での接線方向への方向微分が符号を変えるものである(ここで「接線方向」とは、その近傍の各点における傾きの極限 limg′(t)⁄f′(t) を傾きとする直線の方向の意)。媒介変数 t のただ一つの値のみで決まるという意味で尖点は「局所的な特異点」である。場合によっては尖点の定義に方向微分に関する条件を問わないこともあるが、その場合は一見すると正則点のようにも見える特異点も現れ得ることに注意すべきである。 なめらかな これらの定義を、ルネ・トムおよびウラジーミル・アーノルドは、可微分函数の定める曲線に対するものへ一般化した。すなわち、曲線がある点に尖点を持つとは、全体空間で考えたその点の近傍上で微分同相写像が存在して、その曲線を上で定義された意味での尖点の上へ写すことができるときに言う。 (ja)
  • Касп (англ. cusp «заострение, пик»), или точка возврата, — особая точка, в которой кривая линия разделяется на две (или более) ветви, имеющие в этой точке одинаковый направляющий вектор. То есть ветви в данной точке имеют общую касательную, и движение вдоль них из данной точки изначально происходит в одном и том же направлении. (ru)
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  • Cúspide (matemàtiques) (ca)
  • Hrot křivky (cs)
  • Spitze (Singularitätentheorie) (de)
  • Cusp (singularity) (en)
  • Kuspo (specialaĵo) (eo)
  • Point de rebroussement (fr)
  • Cuspide (matematica) (it)
  • 尖点 (ja)
  • Касп (ru)
  • Касп (математика) (uk)
  • 尖點 (zh)
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