| dbo:abstract
|
- In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie, sind die Homotopiegruppen ein Werkzeug, um topologische Räume zu klassifizieren. Die stetigen Abbildungen einer n-dimensionalen Sphäre in einen gegebenen Raum werden zu Äquivalenzklassen, den sogenannten Homotopieklassen, zusammengefasst. Dabei heißen zwei Abbildungen homotop, wenn sie stetig ineinander überführt werden können. Diese Homotopieklassen bilden eine Gruppe, die n-te Homotopiegruppe des Raumes genannt wird. Anschaulich kann die Homotopiegruppe als Maß dafür verstanden werden, auf wie viele wesentlich unterschiedliche Arten die in den Raum abgebildet werden kann. Die erste Homotopiegruppe heißt auch Fundamentalgruppe. Homotopieäquivalente topologische Räume haben isomorphe Homotopiegruppen. Haben zwei Räume verschiedene Homotopiegruppen, so können sie nicht homotopieäquivalent sein, somit auch nicht homöomorph. Für CW-Komplexe gilt nach einem Satz von Whitehead auch eine partielle Umkehrung. (de)
- In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces. The first and simplest homotopy group is the fundamental group, denoted which records information about loops in a space. Intuitively, homotopy groups record information about the basic shape, or holes, of a topological space. To define the n-th homotopy group, the base-point-preserving maps from an n-dimensional sphere (with base point) into a given space (with base point) are collected into equivalence classes, called homotopy classes. Two mappings are homotopic if one can be continuously deformed into the other. These homotopy classes form a group, called the n-th homotopy group, of the given space X with base point. Topological spaces with differing homotopy groups are never equivalent (homeomorphic), but topological spaces that are not homeomorphic can have the same homotopy groups. The notion of homotopy of paths was introduced by Camille Jordan. (en)
- En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar los espacios topológicos. El primer y más sencillo grupo de homotopía es el grupo fundamental, que registra información sobre las familias de curvas cerradas en un espacio. Intuitivamente, los grupos homotópicos registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico. Dos aplicaciones o mapas son homotópicos si uno puede ser deformado de forma continua hasta convertirlo en el otro. La homotopía así definida es una relación de equivalencia que permite definir clases de equivalencia llamadas clases de homotopía. El conjunto de dichas clases tiene estructura de grupo bajo la operación de composición. El grupo de homotopía de orden n, , se define como el conjunto de los mapas de una esfera n-dimensional Sn en un espacio dado X, basados en un punto fijo x0. El grupo fundamental es el primer grupo de homotopía , es decir, la familia de mapas de una esfera S1 (una circunferencia) en un espacio dado X, pasantes por un punto fijo x0 . La noción de homotopía de curvas fue presentada por Camille Jordan. Los espacios topológicos con diferentes grupos de homotopía no son homeomorfos, pero lo contrario no es cierto. En las matemáticas modernas, para estudiar una categoría es común asociar a cada objeto de esta categoría un objeto simple que todavía conserva una cantidad suficiente de información sobre el objeto en cuestión. Los grupos de homotopía son una manera de asociar los grupos a la categoría de espacios topológicos. (es)
- Dalam matematika, grup homotopi digunakan dalam topologi aljabar untuk mengklasifikasikan ruang topologi. Grup homotopi pertama dan paling sederhana adalah grup dasar, yang mencatat informasi tentang dalam . Secara intuitif, grup homotopi mencatat informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari ruang topologi. Untuk mendefinisikan grup homotopi ke-n, peta-peta base-point-preserving dari (dengan ) ke dalam ruang (dengan titik dasar) dikumpulkan ke dalam kelas ekuivalen, yang disebut . Dua pemetaan adalah homotopik jika salah satu dapat terus dideformasi menjadi lainnya. Kelas-kelas homotopi ini membentuk grup, yang disebut grup homotopi ke-n , dari ruang X yang diberikan dengan titik dasar. Ruang topologi dengan kelompok homotopi yang berbeda tidak pernah setara, tetapi ruang topologi yang bukan homeomorfik dapat memiliki kelompok homotopi yang sama. Gagasan homotopi dari diperkenalkan oleh Camille Jordan. (in)
- En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. (fr)
- ホモトピー群 (homotopy group) は、数学の代数トポロジーにおいて位相空間を分類するために使われる。1次の最も簡単なホモトピー群は基本群であり、空間のループについての情報がわかる。直感的には、ホモトピー群は位相空間の基本的な形、穴、についての情報を持っている。 n 次ホモトピー群を定義するために、（基点付き）n 次元球面から与えられた（基点付き）空間の中への基点を保つ写像はホモトピー類と呼ばれる同値類へと集められる。2つの写像がホモトープ (homotopic) とは、一方から他方へ連続的に変形できることをいう。これらのホモトピー類たちが基点付きの与えられた空間 X の n 次ホモトピー群 (n-th homotopy group) と呼ばれる群 πn(X) をなす。異なるホモトピー群を持つ位相空間は決して同じ（同相）ではないが、逆は正しくない。 道のホモトピーの概念はカミーユ・ジョルダン (Camille Jordan) によって導入された。 (ja)
- 대수적 위상수학에서 호모토피 군(homotopy群, 영어: homotopy group)은 위상 공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 호모토피 동치 불변 성질을 나타낸다. 기본군의 고차 일반화이다. 기호는 . (ko)
- In matematica, i gruppi di omotopia sono un oggetto algebrico che intuitivamente misura la quantità di "buchi n-dimensionali" di uno spazio. Il gruppo di omotopia più usato è il gruppo fondamentale, che corrisponde al caso n=1. Per n>1 tali oggetti algebrici sono spesso difficilmente calcolabili anche per gli spazi topologici più semplici, come ad esempio le sfere, e per questo motivo si usano spesso al loro posto i gruppi di omologia. (it)
- In de algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, worden homotopiegroepen gebruikt om topologische ruimten te classificeren. De eerste en eenvoudigste homotopiegroep is de fundamentaalgroep, die informatie over lussen in een ruimte bevat. Intuïtief gesproken bevatten homotopiegroepen informatie over de elementaire vorm van een topologische ruimte, over de lussen, of equivalent daarmee over de gaten, in die ruimte. (nl)
- Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів, одне з основних понять алгебричної топології. Неформально кажучи, вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації. Незважаючи на простоту означення, гомотопічні групи дуже складні в обчисленні, навіть для сфер. Це відрізняє їх від груп гомологій, які простіше обчислюються але складніше означаються. Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група. Фундаментальна група була введена Анрі Пуанкаре, вищі гомотопічні групи — Вітольдом Гуревичем.Незважаючи на простоту їх означення, обчислення конкретних груп (навіть для таких простих просторів, як багатовимірні сфери Sn) часто є дуже важким завданням, причому загальні методи були отримані тільки в середині XX століття з появою . (uk)
- Гомотопи́ческие гру́ппы — инвариант топологических пространств, одно из основных понятий алгебраической топологии. Неформально говоря, они классифицируют отображения из многомерных сфер в заданное топологическое пространство с точностью до непрерывной деформации.Несмотря на простоту определения, гомотопические группы очень сложны в вычислении, даже для сфер.Это отличает их от групп гомологий, которые проще считаются, но сложнее определяются.Простейшим частным случаем гомотопических групп является фундаментальная группа. (ru)
- 在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 的情形，至今也沒有完整結果。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. (fr)
- ホモトピー群 (homotopy group) は、数学の代数トポロジーにおいて位相空間を分類するために使われる。1次の最も簡単なホモトピー群は基本群であり、空間のループについての情報がわかる。直感的には、ホモトピー群は位相空間の基本的な形、穴、についての情報を持っている。 n 次ホモトピー群を定義するために、（基点付き）n 次元球面から与えられた（基点付き）空間の中への基点を保つ写像はホモトピー類と呼ばれる同値類へと集められる。2つの写像がホモトープ (homotopic) とは、一方から他方へ連続的に変形できることをいう。これらのホモトピー類たちが基点付きの与えられた空間 X の n 次ホモトピー群 (n-th homotopy group) と呼ばれる群 πn(X) をなす。異なるホモトピー群を持つ位相空間は決して同じ（同相）ではないが、逆は正しくない。 道のホモトピーの概念はカミーユ・ジョルダン (Camille Jordan) によって導入された。 (ja)
- 대수적 위상수학에서 호모토피 군(homotopy群, 영어: homotopy group)은 위상 공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 호모토피 동치 불변 성질을 나타낸다. 기본군의 고차 일반화이다. 기호는 . (ko)
- In matematica, i gruppi di omotopia sono un oggetto algebrico che intuitivamente misura la quantità di "buchi n-dimensionali" di uno spazio. Il gruppo di omotopia più usato è il gruppo fondamentale, che corrisponde al caso n=1. Per n>1 tali oggetti algebrici sono spesso difficilmente calcolabili anche per gli spazi topologici più semplici, come ad esempio le sfere, e per questo motivo si usano spesso al loro posto i gruppi di omologia. (it)
- In de algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, worden homotopiegroepen gebruikt om topologische ruimten te classificeren. De eerste en eenvoudigste homotopiegroep is de fundamentaalgroep, die informatie over lussen in een ruimte bevat. Intuïtief gesproken bevatten homotopiegroepen informatie over de elementaire vorm van een topologische ruimte, over de lussen, of equivalent daarmee over de gaten, in die ruimte. (nl)
- Гомотопи́ческие гру́ппы — инвариант топологических пространств, одно из основных понятий алгебраической топологии. Неформально говоря, они классифицируют отображения из многомерных сфер в заданное топологическое пространство с точностью до непрерывной деформации.Несмотря на простоту определения, гомотопические группы очень сложны в вычислении, даже для сфер.Это отличает их от групп гомологий, которые проще считаются, но сложнее определяются.Простейшим частным случаем гомотопических групп является фундаментальная группа. (ru)
- 在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 的情形，至今也沒有完整結果。 (zh)
- In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie, sind die Homotopiegruppen ein Werkzeug, um topologische Räume zu klassifizieren. Die stetigen Abbildungen einer n-dimensionalen Sphäre in einen gegebenen Raum werden zu Äquivalenzklassen, den sogenannten Homotopieklassen, zusammengefasst. Dabei heißen zwei Abbildungen homotop, wenn sie stetig ineinander überführt werden können. Diese Homotopieklassen bilden eine Gruppe, die n-te Homotopiegruppe des Raumes genannt wird. Die erste Homotopiegruppe heißt auch Fundamentalgruppe. (de)
- In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces. The first and simplest homotopy group is the fundamental group, denoted which records information about loops in a space. Intuitively, homotopy groups record information about the basic shape, or holes, of a topological space. The notion of homotopy of paths was introduced by Camille Jordan. (en)
- En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar los espacios topológicos. El primer y más sencillo grupo de homotopía es el grupo fundamental, que registra información sobre las familias de curvas cerradas en un espacio. Intuitivamente, los grupos homotópicos registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico. (es)
- Dalam matematika, grup homotopi digunakan dalam topologi aljabar untuk mengklasifikasikan ruang topologi. Grup homotopi pertama dan paling sederhana adalah grup dasar, yang mencatat informasi tentang dalam . Secara intuitif, grup homotopi mencatat informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari ruang topologi. Gagasan homotopi dari diperkenalkan oleh Camille Jordan. (in)
- Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів, одне з основних понять алгебричної топології. Неформально кажучи, вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації. Незважаючи на простоту означення, гомотопічні групи дуже складні в обчисленні, навіть для сфер. Це відрізняє їх від груп гомологій, які простіше обчислюються але складніше означаються. Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група. (uk)
|
