| dbo:abstract
|
- Un punt en el pla euclidià és un punt construïble si, donat un sistema de coordenades fix (o un fix de longitud unitària), el punt pot ser construït amb regle i compàs. Un nombre complex és un nombre construïble si el seu punt corresponent en el pla euclidià és construïble a partir dels eixos de coordenades habituals x i y.Es pot demostrar que un nombre real és construïble si i només si, donades una línia de longitud u i una línia de longitud |r | pot ser construït amb una construcció amb regle i compàs. També es pot demostrar que un nombre complex és construïble si i només si la seva real i la seva part imaginària són construïbles. El conjunt de nombres construïbles poden ser una completa en el llenguatge de teoria de cossos. Això té l'efecte de transformar les preguntes geomètriques dels problemes de construcció amb regle i compàs en àlgebra. Aquesta transformació porta a la solució de diversos problemes matemàtics que van resistir l'atac durant diversos segles. (ca)
- يكون العدد الحقيقي r قابلاً للإنشاء (بالإنجليزية: Constructible number) إذا وفقط إذا أمكن رسم قطعة مستقيمة طولها وحدة القياس، وأمكن رسم قطعة مستقيمة طولها |r| بإنشاءات الفرجار والمسطرة بواحدة قياس معينة ، بينما يكون قابلاً للإنشاء إذا كان كل من جزئيه الحقيقي والتخيلي قابلاً للإنشاء. جميع الأعداد النسبية وجذورها التربيعية قابلة للإنشاء. (ar)
- In geometry and algebra, a real number is constructible if and only if, given a line segment of unit length, a line segment of length can be constructed with compass and straightedge in a finite number of steps. Equivalently, is constructible if and only if there is a closed-form expression for using only integers and the operations for addition, subtraction, multiplication, division, and square roots. The geometric definition of constructible numbers motivates a corresponding definition of constructible points, which can again be described either geometrically or algebraically. A point is constructible if it can be produced as one of the points of a compass and straight edge construction (an endpoint of a line segment or crossing point of two lines or circles), starting from a given unit length segment. Alternatively and equivalently, taking the two endpoints of the given segment to be the points (0, 0) and (1, 0) of a Cartesian coordinate system, a point is constructible if and only if its Cartesian coordinates are both constructible numbers. Constructible numbers and points have also been called ruler and compass numbers and ruler and compass points, to distinguish them from numbers and points that may be constructed using other processes. The set of constructible numbers forms a field: applying any of the four basic arithmetic operations to members of this set produces another constructible number. This field is a field extension of the rational numbers and in turn is contained in the field of algebraic numbers. It is the Euclidean closure of the rational numbers, the smallest field extension of the rationals that includes the square roots of all of its positive numbers. The proof of the equivalence between the algebraic and geometric definitions of constructible numbers has the effect of transforming geometric questions about compass and straightedge constructions into algebra, including several famous problems from ancient Greek mathematics. The algebraic formulation of these questions led to proofs that their solutions are not constructible, after the geometric formulation of the same problems previously defied centuries of attack. (en)
- In der Geometrie und der Algebra heißt eine reelle Zahl genau dann konstruierbar, wenn eine Strecke der Länge in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus einer Strecke der Länge konstruiert werden kann. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen geschlossenen Ausdruck für gibt, der nur die Zahlen 0 und 1 sowie die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzeln verwendet. Die geometrische Definition konstruierbarer Zahlen motiviert eine entsprechende Definition konstruierbarer Punkte, die wieder sowohl geometrisch als auch algebraisch beschrieben werden kann.Ein Punkt ist konstruierbar, wenn er ausgehend von einer gegebenen Einheitsstrecke mittels Zirkel und Lineal (als Endpunkt einer Strecke oder als Schnittpunkt zweier Geraden oder Kreise) erzeugt werden kann.Alternativ und äquivalent kann man die Punkte und in einem kartesischen Koordinatensystem als Endpunkte der gegebenen Strecke nehmen, ein Punkt ist dann und nur dann konstruierbar, wenn seine kartesischen Koordinaten konstruierbare Zahlen sind.Um sie von Punkten aus anderen Konstruktionsprozessen zu unterscheiden, nennt man konstruierbare Punkte auch „Zirkel-und-Lineal-Punkte“. Die Menge der konstruierbaren Zahlen bildet einen Körper, das heißt, die Anwendung jeder der vier grundlegenden arithmetischen Operationen von Elementen dieser Menge ergibt eine weitere konstruierbare Zahl.Dieser Körper ist eine Körpererweiterung der rationalen Zahlen und ist seinerseits im Körper der algebraischen Zahlen enthalten.Er ist der euklidische Abschluss der rationalen Zahlen, das heißt, die kleinste Körpererweiterung der rationalen Zahlen, die die Quadratwurzel jedes ihrer positiven Elemente enthält. Der Beweis der Äquivalenz der algebraischen und geometrischen Definition der konstruierbaren Zahlen transportiert geometrische Fragen über die Konstruktion mit Zirkel und Lineal in die Algebra, das schließt auch einige berühmte Probleme der klassischen griechischen Mathematik ein.Die algebraische Formulierung dieser Fragen führte zu Beweisen, dass ihre Lösungen nicht konstruierbar sind, nachdem die geometrische Formulierung derselben Probleme jahrhundertelangen Lösungsversuchen widerstehen konnte. (de)
- En matemáticas, un número construible es aquel que puede representarse mediante finitas operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíz cuadrada de enteros. Tales números corresponden a los segmentos que se pueden construir con regla y compás. Todos los números racionales son construibles, y todos los números construibles son números algebraicos. Puede demostrarse que un número real r es construible si y solo si, dado un segmento de longitud unitaria, un segmento de longitud |r| puede construirse con regla y compás. (es)
- Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle (non graduée) et au compas. Ainsi, √2 est un nombre constructible, mais ni 3√2 ni π ne le sont. C'est effectivement en termes de longueurs que pensaient les mathématiciens grecs et ceux qui, à leur suite, ont cherché à déterminer quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon. Du temps de la mathématique grecque, on distinguait les problèmes dont les solutions ne faisaient intervenir que des droites et des cercles dans le plan, de ceux faisant intervenir d'autres procédés (utilisation de courbes dites « mécaniques » telles la spirale d'Archimède ou les conchoïdes, utilisation de coniques pour les problèmes dits solides…). Cette distinction est à la source de problèmes célèbres comme la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. Les mathématiciens, jusqu'au XVIIe siècle, n'accordaient aucune réalité concrète aux nombres négatifs. Il est cependant commode d'appliquer la définition, non seulement à des longueurs, mais également à des coordonnées de points constructibles. (fr)
- 작도 가능한 수는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있는 수를 말한다. 눈금 없는 자로는 직선을 그릴 수 있고 직선은 같은 일차식으로 나타낼 수 있다. 컴퍼스로는 원을 그릴 수 있고 원은 같은 이차식으로 나타낼 수 있다. 따라서 유리수에 제곱근과 사칙연산을 유한번(有限番) 적용해서 얻어지는 수만이 작도가 가능하고, 세제곱근이 포함되어 있는 수나 초월수는 작도가 불가능하다. 작도 가능한 수들의 집합은 하나의 체를 이룬다. (ko)
- В геометрії та алгебрі дійсне число r є конструктивним тоді й лише тоді, враховуючи довжину одиничного відрізка (одиницю виміру), відрізок |r| може бути побудований з циркулем та лінійкою з кінцевим числом кроків. Не всі дійсні числа є конструктивними й для опису тих, що є, зазвичай використовуються алгебраїчні методи. Однак для того, щоб використовувати ці методи, корисно спочатку пов'язати точки з конструктивними числами. Точка в евклідовій площині є конструктивною точкою, якщо вона є або кінцевою точкою даного одиничного відрізка, або точкою перетину двох ліній, визначених раніше отриманими конструктивними точками, або перетин такої лінії з колом, що має отриману раніше конструктивну точку, як центр, що проходить через іншу конструктивну точку, або перетин двох таких кіл. Тепер, вводячи декартові координати таким чином, що одна кінцева точка даного одиничного відрізку є (0, 0), а інша (1, 0), можна показати, що координати конструктивних точок є конструктивними числами. В алгебрі число конструктивно тоді й лише тоді, коли воно може бути отримано з використанням чотирьох основних арифметичних операцій та вилучення квадратного кореня, але не з коренів вищого порядку, з конструктивних чисел, які завжди включають 0 та 1. Безліч конструктивних чисел можна повністю мовою теорії поля: конструктивні числа утворюють раціональних чисел: найменше розширення поля, яке закрито під квадратні корені. Це призводить до перетворення геометричних питань про циркуль та лінійку в алгебру. Це перетворення призводить до вирішення багатьох відомих математичних проблем, які не піддавалися розв'язуванню багато століть. (uk)
- 規矩數（又稱可造數）是指可用尺規作圖方式作出的實數。在給定的情形下，若可以用尺規作圖的方式作出長度為的線段，則就是規矩數。規矩數的「規」和「矩」分別表示圓規及直尺，兩個尺規作圖的重要元素。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- يكون العدد الحقيقي r قابلاً للإنشاء (بالإنجليزية: Constructible number) إذا وفقط إذا أمكن رسم قطعة مستقيمة طولها وحدة القياس، وأمكن رسم قطعة مستقيمة طولها |r| بإنشاءات الفرجار والمسطرة بواحدة قياس معينة ، بينما يكون قابلاً للإنشاء إذا كان كل من جزئيه الحقيقي والتخيلي قابلاً للإنشاء. جميع الأعداد النسبية وجذورها التربيعية قابلة للإنشاء. (ar)
- En matemáticas, un número construible es aquel que puede representarse mediante finitas operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíz cuadrada de enteros. Tales números corresponden a los segmentos que se pueden construir con regla y compás. Todos los números racionales son construibles, y todos los números construibles son números algebraicos. Puede demostrarse que un número real r es construible si y solo si, dado un segmento de longitud unitaria, un segmento de longitud |r| puede construirse con regla y compás. (es)
- 작도 가능한 수는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있는 수를 말한다. 눈금 없는 자로는 직선을 그릴 수 있고 직선은 같은 일차식으로 나타낼 수 있다. 컴퍼스로는 원을 그릴 수 있고 원은 같은 이차식으로 나타낼 수 있다. 따라서 유리수에 제곱근과 사칙연산을 유한번(有限番) 적용해서 얻어지는 수만이 작도가 가능하고, 세제곱근이 포함되어 있는 수나 초월수는 작도가 불가능하다. 작도 가능한 수들의 집합은 하나의 체를 이룬다. (ko)
- 規矩數（又稱可造數）是指可用尺規作圖方式作出的實數。在給定的情形下，若可以用尺規作圖的方式作出長度為的線段，則就是規矩數。規矩數的「規」和「矩」分別表示圓規及直尺，兩個尺規作圖的重要元素。 (zh)
- Un punt en el pla euclidià és un punt construïble si, donat un sistema de coordenades fix (o un fix de longitud unitària), el punt pot ser construït amb regle i compàs. Un nombre complex és un nombre construïble si el seu punt corresponent en el pla euclidià és construïble a partir dels eixos de coordenades habituals x i y.Es pot demostrar que un nombre real és construïble si i només si, donades una línia de longitud u i una línia de longitud |r | pot ser construït amb una construcció amb regle i compàs. També es pot demostrar que un nombre complex és construïble si i només si la seva real i la seva part imaginària són construïbles. (ca)
- In der Geometrie und der Algebra heißt eine reelle Zahl genau dann konstruierbar, wenn eine Strecke der Länge in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus einer Strecke der Länge konstruiert werden kann. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen geschlossenen Ausdruck für gibt, der nur die Zahlen 0 und 1 sowie die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzeln verwendet. (de)
- In geometry and algebra, a real number is constructible if and only if, given a line segment of unit length, a line segment of length can be constructed with compass and straightedge in a finite number of steps. Equivalently, is constructible if and only if there is a closed-form expression for using only integers and the operations for addition, subtraction, multiplication, division, and square roots. (en)
- Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle (non graduée) et au compas. Ainsi, √2 est un nombre constructible, mais ni 3√2 ni π ne le sont. C'est effectivement en termes de longueurs que pensaient les mathématiciens grecs et ceux qui, à leur suite, ont cherché à déterminer quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon. (fr)
- В геометрії та алгебрі дійсне число r є конструктивним тоді й лише тоді, враховуючи довжину одиничного відрізка (одиницю виміру), відрізок |r| може бути побудований з циркулем та лінійкою з кінцевим числом кроків. Не всі дійсні числа є конструктивними й для опису тих, що є, зазвичай використовуються алгебраїчні методи. Однак для того, щоб використовувати ці методи, корисно спочатку пов'язати точки з конструктивними числами. (uk)
|
