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- Ein euklidischer Körper ist ein Körper (im Sinne der Algebra), der ein geordneter Körper istund in dem jedes nichtnegative Element eine Quadratwurzel hat. Jeder reell abgeschlossene Körper ist euklidisch und jeder euklidische Körper ist ein pythagoreischer und formal reeller Körper. Euklidische Körper spielen in der synthetischen Geometrie eine wichtige Rolle: Der Koordinatenkörper einer euklidischen Ebene ist stets ein euklidischer Körper, auf diesen Körpern lässt sich stets eine euklidische Ebene aufbauen. Der Begriff „Euklidische Ebene“ ist dabei etwas allgemeiner als in der üblichen Geometrie, wo die euklidische Ebene etwa durch Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie so definiert wird, dass sie zwingend eine affine Ebene über dem speziellen euklidischen Körper der reellen Zahlen ist – eine zu Hilberts System gleichwertige Formulierung in der Sprache der linearen Algebra lautet: Eine euklidische Ebene ist ein affiner Raum, dessen Vektorraum der Verschiebungen ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum, also isomorph zu mit einem Skalarprodukt ist. Die euklidischen Ebenen der synthetischen Geometrie stehen in engem Zusammenhang mit klassischen Fragen der Konstruierbarkeit. Aus diesen Fragestellungen ergeben sich zusätzliche Axiome, wie das Winkelmesseraxiom, das die Existenz eines Bogenmaßes fordert, und das Winkelteilungsaxiom, die nicht in allen euklidischen Ebenen erfüllbar sind. Ersetzt man in der analytisch formulierten zwei- oder dreidimensionalen, reellen euklidischen Geometrie die reellen Zahlen als Koordinatenbereich durch einen beliebigen archimedischen euklidischen Körper, dann kann man innerhalb dieser Geometrie Modelle für nichteuklidische Geometrien konstruieren, die anstelle der Axiome der Stetigkeit (Axiomengruppe V in Hilberts Axiomensystem) die etwas schwächeren Axiome des Zirkels erfüllen. In diesen Modellen der absoluten Geometrie sind dann immer noch alle Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ausführbar. Eine gewisse Bedeutung haben euklidische Körper als Gegenbeispiele in der Theorie der Körpererweiterungen und der Galoistheorie, daneben bei Transzendenzuntersuchungen in der Zahlentheorie. Euklidische Körper und Ebenen tragen ihre Namen zu Ehren des antiken Mathematikers Euklid von Alexandria, wobei beide ihren Namen seinem axiomatischen Aufbau der – bis heute nach ihm benannten – euklidischen Geometrie in seinem Werk „Die Elemente“ verdanken. Der Begriff „Euklidischer Ring“ aus der Teilbarkeitstheorie in kommutativen Ringen steht in keinem engeren inhaltlichen Zusammenhang zu den im vorliegenden Artikel beschriebenen Begriffen als dem, dass er ebenfalls nach Euklid und zwar nach dem von ihm beschriebenen euklidischen Algorithmus benannt ist. (de)
- In mathematics, a Euclidean field is an ordered field K for which every non-negative element is a square: that is, x ≥ 0 in K implies that x = y2 for some y in K. The constructible numbers form a Euclidean field. It is the smallest Euclidean field, as every Euclidean field contains it as an ordered subfield. In other words, the constructible numbers form the of the rational numbers. (en)
- En algèbre, un corps euclidien est un corps totalement ordonné dans lequel tout élément positif est un carré. (fr)
- Евклидово поле — упорядоченное поле, в которомкаждый положительный элемент является квадратом. (ru)
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- In mathematics, a Euclidean field is an ordered field K for which every non-negative element is a square: that is, x ≥ 0 in K implies that x = y2 for some y in K. The constructible numbers form a Euclidean field. It is the smallest Euclidean field, as every Euclidean field contains it as an ordered subfield. In other words, the constructible numbers form the of the rational numbers. (en)
- En algèbre, un corps euclidien est un corps totalement ordonné dans lequel tout élément positif est un carré. (fr)
- Евклидово поле — упорядоченное поле, в которомкаждый положительный элемент является квадратом. (ru)
- Ein euklidischer Körper ist ein Körper (im Sinne der Algebra), der ein geordneter Körper istund in dem jedes nichtnegative Element eine Quadratwurzel hat. Jeder reell abgeschlossene Körper ist euklidisch und jeder euklidische Körper ist ein pythagoreischer und formal reeller Körper. Eine gewisse Bedeutung haben euklidische Körper als Gegenbeispiele in der Theorie der Körpererweiterungen und der Galoistheorie, daneben bei Transzendenzuntersuchungen in der Zahlentheorie. (de)
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- Euklidischer Körper (de)
- Euclidean field (en)
- Corps euclidien (fr)
- Евклидово поле (ru)
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