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- En geometria, un sòlid de Catalan, o sòlid arquimedià dual és un políedre dual d'un sòlid arquimedià. Els sòlids de Catalan prenen el nom en honor del matemàtic belga Eugène Charles Catalan, qui els va descriure per primer cop el 1865. (ca)
- Στη γεωμετρία, Καταλανικό στερεό ονομάζεται το ενός στερεού του Αρχιμήδη, έτσι είναι γνωστό και ως Αρχιμήδειο δυϊκό. Τα Καταλανικά στερεά πήραν το όνομά τους από τον Βέλγο μαθηματικό , που τα περιέγραψε πρώτος το 1865. (el)
- En geometrio, katalana solido estas pluredro, al arĥimeda solido. La katalanaj solidoj estas nomitaj pro belga matematikisto Eugène Catalan kiu la unua priskribis ilin en 1865. Ĉiuj katalanaj solidoj estas konveksaj. Ili estas edro-transitivaj sed ne vertico-transitivaj. Ĉi tio estas ĉar la dualaj arĥimedaj solidoj estas vertico-transitiva kaj ne edro-transitivaj. Edroj de katalanaj solidoj estas ne regulaj plurlateroj. Tamen, la verticaj figuroj de katalanaj solidoj estas regulaj, kaj ili havas konstantajn duedrajn angulojn. Du el la katalanaj solidoj estas latero-transitivaj: la romba dekduedro kaj la romba tridekedro. Simile al tio ke du arĥimedaj solidoj estas nememspegulsimetriaj, du iliaj dualaj katalanaj solidoj estas nememspegulsimetriaj - la kvinlatera dudekkvaredro kaj la kvinlatera sesdekedro. Du variantoj de ĉiu el ĉi tiuj du pluredroj ne estas kalkulataj kiel apartaj katalanaj solidoj. (eo)
- In mathematics, a Catalan solid, or Archimedean dual, is a dual polyhedron to an Archimedean solid. There are 13 Catalan solids. They are named for the Belgian mathematician, Eugène Catalan, who first described them in 1865. The Catalan solids are all convex. They are face-transitive but not vertex-transitive. This is because the dual Archimedean solids are vertex-transitive and not face-transitive. Note that unlike Platonic solids and Archimedean solids, the faces of Catalan solids are not regular polygons. However, the vertex figures of Catalan solids are regular, and they have constant dihedral angles. Being face-transitive, Catalan solids are isohedra. Additionally, two of the Catalan solids are edge-transitive: the rhombic dodecahedron and the rhombic triacontahedron. These are the duals of the two quasi-regular Archimedean solids. Just as prisms and antiprisms are generally not considered Archimedean solids, so bipyramids and trapezohedra are generally not considered Catalan solids, despite being face-transitive. Two of the Catalan solids are chiral: the pentagonal icositetrahedron and the pentagonal hexecontahedron, dual to the chiral snub cube and snub dodecahedron. These each come in two enantiomorphs. Not counting the enantiomorphs, bipyramids, and trapezohedra, there are a total of 13 Catalan solids. (en)
- Ein catalanischer Körper oder auch dual-archimedischer Körper ist ein Körper, der sich zu einem archimedischen Körper dual verhält. So ist zum Beispiel das Rhombendodekaeder dual zum Kuboktaeder. Benannt sind die catalanischen Körper – von denen es 13 gibt – nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan. Die catalanischen Körper sind konvexe Polyeder. Ein catalanischer Körper hat nur eine Art von Seitenflächen, d. h. sämtliche Seitenflächen sind zueinander kongruent. Die Seitenflächen sind nichtregelmäßige Vielecke. Andererseits gibt es mindestens zwei verschiedene Arten von Ecken (das Rhombendodekaeder hat zum Beispiel Ecken, an die drei Rhomben, und solche, an die vier Rhomben grenzen). Bei den archimedischen Körpern verhält es sich andersherum: Sie haben eine Art von Ecken und mehrere Arten von Seitenflächen. Allen catalanischen Körpern ist gemein, dass sie eine Inkugel, die sämtliche Flächen von innen berührt, aufweisen. Außerdem existiert eine Kantenkugel, die sämtliche Kanten von innen berührt. Alle Diederwinkel eines catalanischen Körpers sind gleich. Eine charakteristische Eigenschaft der catalanischen Körper ist die Uniformität der Flächen. Das heißt: Sind A, B zwei beliebige Seitenflächen, dann kann man den Körper so drehen oder spiegeln, dass der Körper in sich und die Seite A in die Seite B überführt wird. Diese Eigenschaft folgt aus der Uniformität der Ecken für archimedische Körper. (de)
- Geometrian, Catalanen solidoak Arkimedesen solidoen poliedro dualak dira. Poliedro horiei Eugène Catalan belgiar matematikariak jarri zien izena; berak deskribatu zituen lehenengoz, 1865ean. Catalanen solido guztiak ganbilak dira. Haien aurpegiak ez dira poligono erregularrak, solido platonikoetan eta Arkimedesen solidoetan ez bezala. (eu)
- En mathématiques, un solide de Catalan ou dual archimédien, est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède. Les solides de Catalan ont été nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge Eugène Catalan qui, en 1865, fut le premier à les étudier de manière systématique et les décrire et représenter avec soin et minutie. Les solides de Catalan sont tous convexes. Ils sont de faces uniformes mais non de sommets uniformes, en raison du fait que les duaux archimédiens sont de sommets uniformes et non de faces uniformes. À la différence des solides de Platon et des solides d'Archimède, les faces des solides de Catalan ne sont pas des polygones réguliers. En revanche, les figures de sommets des solides de Catalan sont régulières, et ont des angles dièdres égaux. De plus, deux des solides de Catalan ont des arêtes uniformes : le dodécaèdre rhombique (de première espèce) et le triacontaèdre rhombique. Ceux-ci sont les duaux des deux solides d'Archimède quasi-réguliers. Comme leurs partenaires duaux archimédiens, il existe deux solides de Catalan chiraux, ou gyroèdres : l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal. Chacun d'eux a deux formes énantiomorphes. Sans compter ces versions énantiomorphes, il existe 13 solides de Catalan au total. (fr)
- Los sólidos de Catalan son una familia de poliedros que se generan con el poliedro dual de los sólidos de Arquímedes; fueron nombrados así por el matemático belga Eugène Charles Catalan. Todos son poliedros convexos de caras uniformes aunque no de vértices uniformes; esto ocurre ya que los sólidos de Arquímedes que los generan son de vértices uniformes y no de caras uniformes. Las caras que forman un sólido de Catalan no son polígonos regulares, pero sus ángulos diédricos son iguales en todo el poliedro. Además dos de ellos son poliedros de aristas uniformes: el rombododecaedro y el triacontaedro rómbico, y dos de ellos tienen figura isomórfica: el icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal. Los sólidos de Catalan son trece (13) en total, así como los sólidos de Arquímedes: 1.
* Triaquistetraedro o tetraedro triakis. 2.
* Rombododecaedro o dodecaedro rómbico. 3.
* Triaquisoctaedro u octaedro triakis. 4.
* Tetraquishexaedro o hexaedro tetrakis. 5.
* Icositetraedro deltoidal. 6.
* Hexaquisoctaedro, disdiaquisdodecaedro, octaedro hexakis o dodecaedro disdiakis. 7.
* Triacontaedro rómbico. 8.
* Triaquisicosaedro o icosaedro triakis. 9.
* Pentaquisdodecaedro o dodecaedro pentakis. 10.
* Hexecontaedro deltoidal. 11.
* Hexaquisicosaedro, disdiaquistriacontaedro, icosaedro hexakis o triacontaedro disdiakis. 12.
* Icositetraedro pentagonal. 13.
* Hexecontaedro pentagonal. (es)
- In geometria un solido di Catalan, o solido archimedeo duale è un poliedro duale di un solido archimedeo. I solidi di Catalan prendono il loro nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan che per primo li ha descritti nel 1865. (it)
- カタランの立体 (Catalan solid) は、半正多面体（アルキメデスの立体）の双対である。アルキメデス双対 (Archimedean dual) とも言う。半正多面体が13種類あるため、カタランの立体も13種類ある。 カタランとは、ベルギーの数学者 (Eugène Charles Catalan) のことで、1865年にこの図形について最初に記述した。 (ja)
- 수학에서, 카탈랑의 다면체 또는 아르키메데스 쌍대는 아르키메데스의 다면체의 쌍대다면체이다. 카탈랑의 다면체는 1865년에 처음으로 기술한 벨기에수학자 외젠 샤를 카탈랑의 이름을 따 왔다. 카탈랑의 다면체는 모두 볼록이다. 또한 면추이지만 점추이는 아니다. 그 이유는 쌍대인 아르키메데스의 다면체가 점추이지만 면추이는 아니기 때문이다. 정다면체와 아르키메데스의 다면체와 다르게 카탈랑의 다면체의 면은 정다각형이 아니다. 하지만 카탈랑의 다면체의 꼭짓점 도형은 정다각형이고, 이면각이 모두 균일하다. 카탈랑의 다면체는 면추이이기 때문에 이다. 게다가 카탈랑의 다면체 중 둘은 변추이이다:마름모십이면체와 마름모삼십면체이다. 이것은 두 준정다면체의 쌍대이다. 각기둥과 엇각기둥을 아르키메데스 다면체로 보지 않는 것과 같이, 쌍각뿔과 은 면추이임에도 불구하고 카탈랑의 다면체로 보지 않는다. 카탈랑의 다면체 중 두개는 상을 가지고 있다: 다듬은 정육면체와 다듬은 정십이면체의 쌍대인 와 이다. 이것은 각각 을 만든다. 거울상과 겹각뿔, 엇겹각뿔을 제외하면 카탈랑의 다면체는 총 13개가 있다. (ko)
- Wielościany Catalana (bryły Catalana) – wielościany dualne do wielościanów archimedesowych. Wielościan dualny powstaje przez zastąpienie każdej ściany wierzchołkiem, a każdego wierzchołka ścianą. Wszystkie wielościany są wypukłe. Ich grupy symetrii są przechodnie ze względu na ściany, ale nieprzechodnie ze względu na wierzchołki. Jest tak, ponieważ dualne do nich wielościany archimedesowe mają grupy symetrii przechodnie ze względu na wierzchołki i nieprzechodnie ze względu na ściany. W przeciwieństwie do brył platońskich i brył archimedesowych, ściany brył Catalana nie są wielokątami foremnymi. Ponadto dwie z brył Catalana mają grupy symetrii przechodnie ze względu na krawędzie: dwunastościan rombowy i trzydziestościan rombowy. Dwa z wielościanów Catalana są chiralne: i , dualne do chiralnych brył Archimedesa: sześcio-ośmiościanu przyciętego i dwudziesto-dwunastościanu przyciętego. Nazwa pochodzi od nazwiska belgijskiego matematyka Eugèna Charlesa Catalana. (pl)
- Een catalanlichaam is de duale vorm van een archimedisch lichaam. Catalanlichamen werden voor het eerst in 1865 door de Belgische wiskundige Eugène Charles Catalan beschreven in zijn werk Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. De catalanlichamen zijn de duale veelvlakken van de archimedische lichamen, dus zijn er evenals het aantal archimedische lichamen 13 verschillende catalanlichamen. Ze zijn convex en zijvlaktransitief, maar niet hoekpunttransitief. De archimedische lichamen daarentegen zijn wel hoekpunttransitief, maar weer niet zijvlaktransitief. Een catalanlichaam heeft dus veelhoeken als zijvlakken, die alle congruent met elkaar zijn, maar die niet regelmatig zijn. Een catalanlichaam heeft een ingeschreven bol, die aan alle zijvlakken raakt, en een omschreven bol, die aan alle hoekpunten raakt. (nl)
- Os Sólidos de Catalan são uma família de poliedros gerados como os Poliedros duais dos Sólidos de Arquimedes. O seu nome deve-se ao matemático belga Eugène Charles Catalan. Todos são poliedros convexos de faces uniformes mas não têm vértices uniformes, isto porque os Sólidos de Arquimed que os geram são de vértices uniformes e não de faces uniformes; as faces que formam os sólidos de Catalan não são polígonos regulares, mas os seus ângulos diédricos são iguais em todo o poliedro. Os sólidos de Catalan são 13, tantos como os sólidos de Arquimedes. O dodecaedro rômbico e o triacontaedro rômbico são poliedros de arestas uniformes. O Icositetraedro pentagonal e o Hexecontaedro pentagonal têm figura isomórfica. (pt)
- 卡塔蘭立體是半正多面體的對偶多面體，都是凸多面體。1865年比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭最先描述它們。 卡塔蘭立體面可遞而點不可遞，而其對偶多面體半正多面體點可遞而面不可遞。只有兩個邊可遞的卡塔蘭立體：菱形十二面體和菱形三十面體。 所有多面體中只有13種是卡塔蘭立體，其對偶多面體均為阿基米德立體（半正多面體的子集）。 (zh)
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- En geometria, un sòlid de Catalan, o sòlid arquimedià dual és un políedre dual d'un sòlid arquimedià. Els sòlids de Catalan prenen el nom en honor del matemàtic belga Eugène Charles Catalan, qui els va descriure per primer cop el 1865. (ca)
- Στη γεωμετρία, Καταλανικό στερεό ονομάζεται το ενός στερεού του Αρχιμήδη, έτσι είναι γνωστό και ως Αρχιμήδειο δυϊκό. Τα Καταλανικά στερεά πήραν το όνομά τους από τον Βέλγο μαθηματικό , που τα περιέγραψε πρώτος το 1865. (el)
- Geometrian, Catalanen solidoak Arkimedesen solidoen poliedro dualak dira. Poliedro horiei Eugène Catalan belgiar matematikariak jarri zien izena; berak deskribatu zituen lehenengoz, 1865ean. Catalanen solido guztiak ganbilak dira. Haien aurpegiak ez dira poligono erregularrak, solido platonikoetan eta Arkimedesen solidoetan ez bezala. (eu)
- In geometria un solido di Catalan, o solido archimedeo duale è un poliedro duale di un solido archimedeo. I solidi di Catalan prendono il loro nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan che per primo li ha descritti nel 1865. (it)
- カタランの立体 (Catalan solid) は、半正多面体（アルキメデスの立体）の双対である。アルキメデス双対 (Archimedean dual) とも言う。半正多面体が13種類あるため、カタランの立体も13種類ある。 カタランとは、ベルギーの数学者 (Eugène Charles Catalan) のことで、1865年にこの図形について最初に記述した。 (ja)
- 수학에서, 카탈랑의 다면체 또는 아르키메데스 쌍대는 아르키메데스의 다면체의 쌍대다면체이다. 카탈랑의 다면체는 1865년에 처음으로 기술한 벨기에수학자 외젠 샤를 카탈랑의 이름을 따 왔다. 카탈랑의 다면체는 모두 볼록이다. 또한 면추이지만 점추이는 아니다. 그 이유는 쌍대인 아르키메데스의 다면체가 점추이지만 면추이는 아니기 때문이다. 정다면체와 아르키메데스의 다면체와 다르게 카탈랑의 다면체의 면은 정다각형이 아니다. 하지만 카탈랑의 다면체의 꼭짓점 도형은 정다각형이고, 이면각이 모두 균일하다. 카탈랑의 다면체는 면추이이기 때문에 이다. 게다가 카탈랑의 다면체 중 둘은 변추이이다:마름모십이면체와 마름모삼십면체이다. 이것은 두 준정다면체의 쌍대이다. 각기둥과 엇각기둥을 아르키메데스 다면체로 보지 않는 것과 같이, 쌍각뿔과 은 면추이임에도 불구하고 카탈랑의 다면체로 보지 않는다. 카탈랑의 다면체 중 두개는 상을 가지고 있다: 다듬은 정육면체와 다듬은 정십이면체의 쌍대인 와 이다. 이것은 각각 을 만든다. 거울상과 겹각뿔, 엇겹각뿔을 제외하면 카탈랑의 다면체는 총 13개가 있다. (ko)
- 卡塔蘭立體是半正多面體的對偶多面體，都是凸多面體。1865年比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭最先描述它們。 卡塔蘭立體面可遞而點不可遞，而其對偶多面體半正多面體點可遞而面不可遞。只有兩個邊可遞的卡塔蘭立體：菱形十二面體和菱形三十面體。 所有多面體中只有13種是卡塔蘭立體，其對偶多面體均為阿基米德立體（半正多面體的子集）。 (zh)
- En geometrio, katalana solido estas pluredro, al arĥimeda solido. La katalanaj solidoj estas nomitaj pro belga matematikisto Eugène Catalan kiu la unua priskribis ilin en 1865. Ĉiuj katalanaj solidoj estas konveksaj. Ili estas edro-transitivaj sed ne vertico-transitivaj. Ĉi tio estas ĉar la dualaj arĥimedaj solidoj estas vertico-transitiva kaj ne edro-transitivaj. Edroj de katalanaj solidoj estas ne regulaj plurlateroj. Tamen, la verticaj figuroj de katalanaj solidoj estas regulaj, kaj ili havas konstantajn duedrajn angulojn. Du el la katalanaj solidoj estas latero-transitivaj: la romba dekduedro kaj la romba tridekedro. (eo)
- In mathematics, a Catalan solid, or Archimedean dual, is a dual polyhedron to an Archimedean solid. There are 13 Catalan solids. They are named for the Belgian mathematician, Eugène Catalan, who first described them in 1865. Additionally, two of the Catalan solids are edge-transitive: the rhombic dodecahedron and the rhombic triacontahedron. These are the duals of the two quasi-regular Archimedean solids. Just as prisms and antiprisms are generally not considered Archimedean solids, so bipyramids and trapezohedra are generally not considered Catalan solids, despite being face-transitive. (en)
- Ein catalanischer Körper oder auch dual-archimedischer Körper ist ein Körper, der sich zu einem archimedischen Körper dual verhält. So ist zum Beispiel das Rhombendodekaeder dual zum Kuboktaeder. Benannt sind die catalanischen Körper – von denen es 13 gibt – nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan. Die catalanischen Körper sind konvexe Polyeder. (de)
- Los sólidos de Catalan son una familia de poliedros que se generan con el poliedro dual de los sólidos de Arquímedes; fueron nombrados así por el matemático belga Eugène Charles Catalan. Todos son poliedros convexos de caras uniformes aunque no de vértices uniformes; esto ocurre ya que los sólidos de Arquímedes que los generan son de vértices uniformes y no de caras uniformes. Las caras que forman un sólido de Catalan no son polígonos regulares, pero sus ángulos diédricos son iguales en todo el poliedro. Además dos de ellos son poliedros de aristas uniformes: el rombododecaedro y el triacontaedro rómbico, y dos de ellos tienen figura isomórfica: el icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal. (es)
- En mathématiques, un solide de Catalan ou dual archimédien, est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède. Les solides de Catalan ont été nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge Eugène Catalan qui, en 1865, fut le premier à les étudier de manière systématique et les décrire et représenter avec soin et minutie. (fr)
- Wielościany Catalana (bryły Catalana) – wielościany dualne do wielościanów archimedesowych. Wielościan dualny powstaje przez zastąpienie każdej ściany wierzchołkiem, a każdego wierzchołka ścianą. Wszystkie wielościany są wypukłe. Ich grupy symetrii są przechodnie ze względu na ściany, ale nieprzechodnie ze względu na wierzchołki. Jest tak, ponieważ dualne do nich wielościany archimedesowe mają grupy symetrii przechodnie ze względu na wierzchołki i nieprzechodnie ze względu na ściany. W przeciwieństwie do brył platońskich i brył archimedesowych, ściany brył Catalana nie są wielokątami foremnymi. Ponadto dwie z brył Catalana mają grupy symetrii przechodnie ze względu na krawędzie: dwunastościan rombowy i trzydziestościan rombowy. (pl)
- Os Sólidos de Catalan são uma família de poliedros gerados como os Poliedros duais dos Sólidos de Arquimedes. O seu nome deve-se ao matemático belga Eugène Charles Catalan. Todos são poliedros convexos de faces uniformes mas não têm vértices uniformes, isto porque os Sólidos de Arquimed que os geram são de vértices uniformes e não de faces uniformes; as faces que formam os sólidos de Catalan não são polígonos regulares, mas os seus ângulos diédricos são iguais em todo o poliedro. Os sólidos de Catalan são 13, tantos como os sólidos de Arquimedes. (pt)
- Een catalanlichaam is de duale vorm van een archimedisch lichaam. Catalanlichamen werden voor het eerst in 1865 door de Belgische wiskundige Eugène Charles Catalan beschreven in zijn werk Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. (nl)
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