| dbo:abstract
|
- In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings ein Ideal von , das Elemente von enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat. (de)
- In mathematics, more specifically ring theory, the Jacobson radical of a ring is the ideal consisting of those elements in that annihilate all simple right -modules. It happens that substituting "left" in place of "right" in the definition yields the same ideal, and so the notion is left-right symmetric. The Jacobson radical of a ring is frequently denoted by or ; the former notation will be preferred in this article, because it avoids confusion with other radicals of a ring. The Jacobson radical is named after Nathan Jacobson, who was the first to study it for arbitrary rings in. The Jacobson radical of a ring has numerous internal characterizations, including a few definitions that successfully extend the notion to rings without unity. The radical of a module extends the definition of the Jacobson radical to include modules. The Jacobson radical plays a prominent role in many ring and module theoretic results, such as Nakayama's lemma. (en)
- En el área de teoría de anillos de matemáticas, el radical de Jacobson de un anillo es el ideal cuyos elementos son aquellos que tienen la propiedad de anular todos los -módulos simples por la derecha. Si se cambia la definición haciendo referencia a los -módulos por la izquierda, el conjunto resultante es el mismo ideal, de modo que la definición es ambidiestra. (el radical de Jacobson) se suele escribir como En álgebra conmutativa el radical de Jacobson (también denotado como si es un anillo) de un anillo conmutativo con unitario A se define como la intersección de todos los ideales maximales de A. El radical de Jacobson es atribuido al matemático norteamericano (1910-1999). (es)
- En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique.Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Démonstration Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.
* Si x n'appartient pas à J, soit M un idéal maximal ne contenant pas x. Alors M + Ax = A donc il existe m dans M et a dans A tels que 1 = m – ax, et 1 + ax n'est pas inversible.
* Réciproquement, si, pour un certain a dans A, 1 + ax appartient à un idéal maximal M, alors M ne contient pas x, donc x n'appartient pas à J. Dans le cas non commutatif, on définit le radical de Jacobson comme étant l'intersection de tous les idéaux maximaux à gauche et l'on a encore : x appartient au radical si et seulement si tous les 1 + ax sont inversibles à gauche. C'est un idéal bilatère et on aurait pu définir de manière équivalente le radical de Jacobson comme l'intersection de tous les idéaux maximaux à droite. (fr)
- In matematica, il radicale di Jacobson di un anello è il suo ideale composto da tutti gli elementi dell'anello che annullano tutti i suoi moduli destri ; se l'anello è unitario, questo coincide con l'intersezione di tutti i suoi ideali destri massimali. Entrambe le definizioni sono simmetriche, nel senso che sostituendo moduli e ideali destri con moduli e ideali sinistri si ottiene lo stesso ideale (sebbene, in genere, gli ideali massimali destri e sinistri non coincidano). Prende il nome da Nathan Jacobson, che ne diede la definizione per anelli arbitrari nel 1945. Il radicale di Jacobson di A viene in genere indicato con J(A), Jac(A) o rad(A) (sebbene quest'ultima notazione possa generare ambiguità con il ). (it)
- In de abstracte algebra, meer specifiek de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het Jacobson-radicaal van een ring uit die elementen in die alle rechter -modulen . Op alternatieve wijze kan men het Jacobson-radicaal van een ring ook met "linker" in plaats van "rechter" uit de vorige zin definiëren. Aangezien de annihilator van een (rechter/linker) moduul over een ring noodzakelijkerwijs een (dubbelzijdig) ideaal van deze ring is, is het Jacobson-radicaal noodzakelijkerwijs een (dubbelzijdig) ideaal. Het Jacobson-radicaal van een ring wordt vaak aangeduid met . Het concept is genoemd naar Nathan Jacobson, de eerste die het Jacobson-radicaal bestudeerde. (nl)
- 数学、より詳しくは抽象代数学の一分野である環論において、環 R のジャコブソン根基あるいはヤコブソン根基（英: Jacobson radical）とは、すべての単純右 R-加群を零化する R の元からなるイデアルである。定義において「右」の代わりに「左」としても同じイデアルが得られるので、この概念は左右対称である。環のジャコブソン根基をよく J(R) あるいは rad(R) と表すが、他の環の根基との混乱を避けるため、この記事では前者の表記を使う。ジャコブソン根基はにちなんで名づけられた。彼は初めてそれを任意の環についてで研究した人である。 環のジャコブソン根基には内在的な特徴づけが数多くあり、そのいくつかは単位元をもたない環に対する定義としても採用することができる。加群の根基はジャコブソン根基の定義を加群を含むように拡張する。ジャコブソン根基は多くの環や加群の理論の結果、例えば中山の補題において、際立った役割を果たす。 (ja)
- Radykał Jacobsona – ideał obustronny pierścienia będący zbiorem takich elementów pierścienia, że dla każdego elementu z pierścienia istnieje element taki, że spełniona jest równość Jeśli jest pierścieniem z jedynką, to powyższy warunek redukuje się do następującego: W tym wypadku jest przekrojem wszystkich maksymalnych ideałów lewostronnnych (prawostronnych) i jest różny od całego pierścienia Definicja tego ideału została wprowadzona w 1945 roku przez . (pl)
- Радикалом Джекобсона кільця R називається множина елементів з R, які анулюють всі прості R-модулі, або саме кільце R, якщо простих R-модулів не існує. Радикал кільця R позначається через J(R). Тобто: де Sm(R) позначає множину простих модулів над кільцем R. Радикал Джекобсона був введений і детально досліджений американським математиком (N. Jacobson) у 1945 році. (uk)
- 在抽象代数之分支环理论中，一个环 R 的雅各布森根（Jacobson radical）是 R 的一个理想，包含在某种意义上“与零接近”的那些元素。 (zh)
- Радикалом Джекобсона кольца называется пересечение всех его максимальных правых идеалов. Он также допускает следующее описание: всякий элемент принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда элемент обратим в для всех . Предложен Н. Джекобсоном в 1945 году. В кольце радикал Джекобсона совпадает с нильрадикалом. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings ein Ideal von , das Elemente von enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat. (de)
- 数学、より詳しくは抽象代数学の一分野である環論において、環 R のジャコブソン根基あるいはヤコブソン根基（英: Jacobson radical）とは、すべての単純右 R-加群を零化する R の元からなるイデアルである。定義において「右」の代わりに「左」としても同じイデアルが得られるので、この概念は左右対称である。環のジャコブソン根基をよく J(R) あるいは rad(R) と表すが、他の環の根基との混乱を避けるため、この記事では前者の表記を使う。ジャコブソン根基はにちなんで名づけられた。彼は初めてそれを任意の環についてで研究した人である。 環のジャコブソン根基には内在的な特徴づけが数多くあり、そのいくつかは単位元をもたない環に対する定義としても採用することができる。加群の根基はジャコブソン根基の定義を加群を含むように拡張する。ジャコブソン根基は多くの環や加群の理論の結果、例えば中山の補題において、際立った役割を果たす。 (ja)
- Radykał Jacobsona – ideał obustronny pierścienia będący zbiorem takich elementów pierścienia, że dla każdego elementu z pierścienia istnieje element taki, że spełniona jest równość Jeśli jest pierścieniem z jedynką, to powyższy warunek redukuje się do następującego: W tym wypadku jest przekrojem wszystkich maksymalnych ideałów lewostronnnych (prawostronnych) i jest różny od całego pierścienia Definicja tego ideału została wprowadzona w 1945 roku przez . (pl)
- Радикалом Джекобсона кільця R називається множина елементів з R, які анулюють всі прості R-модулі, або саме кільце R, якщо простих R-модулів не існує. Радикал кільця R позначається через J(R). Тобто: де Sm(R) позначає множину простих модулів над кільцем R. Радикал Джекобсона був введений і детально досліджений американським математиком (N. Jacobson) у 1945 році. (uk)
- 在抽象代数之分支环理论中，一个环 R 的雅各布森根（Jacobson radical）是 R 的一个理想，包含在某种意义上“与零接近”的那些元素。 (zh)
- Радикалом Джекобсона кольца называется пересечение всех его максимальных правых идеалов. Он также допускает следующее описание: всякий элемент принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда элемент обратим в для всех . Предложен Н. Джекобсоном в 1945 году. В кольце радикал Джекобсона совпадает с нильрадикалом. (ru)
- En el área de teoría de anillos de matemáticas, el radical de Jacobson de un anillo es el ideal cuyos elementos son aquellos que tienen la propiedad de anular todos los -módulos simples por la derecha. Si se cambia la definición haciendo referencia a los -módulos por la izquierda, el conjunto resultante es el mismo ideal, de modo que la definición es ambidiestra. (el radical de Jacobson) se suele escribir como (es)
- In mathematics, more specifically ring theory, the Jacobson radical of a ring is the ideal consisting of those elements in that annihilate all simple right -modules. It happens that substituting "left" in place of "right" in the definition yields the same ideal, and so the notion is left-right symmetric. The Jacobson radical of a ring is frequently denoted by or ; the former notation will be preferred in this article, because it avoids confusion with other radicals of a ring. The Jacobson radical is named after Nathan Jacobson, who was the first to study it for arbitrary rings in. (en)
- En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique.Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Démonstration Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal. (fr)
- In matematica, il radicale di Jacobson di un anello è il suo ideale composto da tutti gli elementi dell'anello che annullano tutti i suoi moduli destri ; se l'anello è unitario, questo coincide con l'intersezione di tutti i suoi ideali destri massimali. Entrambe le definizioni sono simmetriche, nel senso che sostituendo moduli e ideali destri con moduli e ideali sinistri si ottiene lo stesso ideale (sebbene, in genere, gli ideali massimali destri e sinistri non coincidano). Prende il nome da Nathan Jacobson, che ne diede la definizione per anelli arbitrari nel 1945. (it)
- In de abstracte algebra, meer specifiek de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het Jacobson-radicaal van een ring uit die elementen in die alle rechter -modulen . Op alternatieve wijze kan men het Jacobson-radicaal van een ring ook met "linker" in plaats van "rechter" uit de vorige zin definiëren. Aangezien de annihilator van een (rechter/linker) moduul over een ring noodzakelijkerwijs een (dubbelzijdig) ideaal van deze ring is, is het Jacobson-radicaal noodzakelijkerwijs een (dubbelzijdig) ideaal. Het Jacobson-radicaal van een ring wordt vaak aangeduid met . (nl)
|
