| dbo:abstract
|
- العدد الأولي والعدد الأول هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جُداء (ضَرب) مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية. لأجل تحديد هل العدد أولي أم لا؟ توجد طريقة سهلة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، وتتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. وفي 21 ديسمبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقما. مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعرف صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن أن يخضع للدرس وأن تقام حولهُ النظريات. إن أول مبرهنة تذهب في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال أن يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أولياً، يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسيا مع اللوغارتم الطبيعي للعدد n. خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد زوجي أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على أن عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتي يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هو عدد غير منته، وهنالك مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. والسبب الأساسي يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية على سبيل المثال، وكانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عرفتها نظرية الأعداد، التي اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. وتستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. حيث تعتمد أساسا هذهِ التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية. (ar)
- Un nombre primer és un nombre enter superior a 1 que admet exactament dos divisors: 1 i ell mateix. Els nombres primers menors que 100 són: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97. Noteu el fet que tots els nombres naturals són divisibles entre ells mateixos i entre la unitat. Però els que no són primers, a més, també són divisibles entre altres nombres. El nombre primer més petit és el 2 i, de fet, és l'únic nombre primer que és també parell, ja que qualsevol parell més gran és múltiple de dos. El teorema fonamental de l'aritmètica estableix que qualsevol enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com un producte de nombres primers, i aquesta representació (factorització) és única. El teorema d'Euclides prova que existeixen infinits nombres primers. A més se sap que no hi ha límit per a la distància entre dos primers consecutius, això és, donat un nombre N, es poden trobar dos nombres primers a i b tals que entre a i b no hi ha altres nombres primers i que la diferència entre a i b és superior a N. Encara no s'ha pogut provar, però es conjectura, que existeixen infinits nombres primers de la forma p1 = p₂ + 2 (sent p1 i p₂ primers) o primers bessons. Sí que s'ha provat que els únics primers trigèmins (primers de la forma p1 = p₂ + 2 i p₂ = p₃ + 2) són 3, 5 i 7. Hi ha nombrosos algorismes per trobar nombres primers. El més senzill seria provar de dividir cada nombre per tots els inferiors o iguals a la seva arrel quadrada, però és molt poc eficient perquè requereix moltes divisions innecessàries; per exemple, un cop provat el dos, no cal provar tots els nombres parells, que sabem que seran divisibles per dos. Una extensió d'aquesta idea és el sedàs d'Eratòstenes. A desembre de 2020, el nombre primer més gran conegut és un primer de Mersenne amb 24.862.048 dígits decimals. (ca)
- Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné jen dvěma děliteli: jedničkou a samo sebou. Jednička není prvočíslo, neboť nemá dva různé dělitele. Přirozená čísla větší než jedna, která nejsou prvočísly, se nazývají složená čísla. Prvním prvočíslem je číslo 2, které je jediným sudým prvočíslem. (cs)
- Eine Primzahl (von lateinisch numerus primus ‚erste Zahl‘) ist eine natürliche Zahl, die und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Dabei bedeutet primus speziell „Anfang, das Erste (der Dinge)“, sodass eine „Anfangszahl“ gemeint ist, die aus keiner anderen natürlichen Zahl multiplikativ konstruiert werden kann. Die Menge der Primzahlen wird in der Regel mit dem Symbol bezeichnet. Man weiß durch den Satz des Euklid seit der Antike, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Mit verknüpft ist die Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen, die man auch Primzahlfolge nennt. Es ist demnach mit (Folge in OEIS). Die Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf drei Folgerungen aus ihrer Definition:
* Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Zum Beweis dient das
* Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar.
* Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen. Diese Eigenschaften werden in der Algebra für genutzt. Eine Zahl, die das Produkt von zwei oder mehr Primfaktoren ist, nennt man zusammengesetzt. Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. Alle anderen natürlichen Zahlen sind eines von beiden, entweder prim (also Primzahl) oder zusammengesetzt. Schon im antiken Griechenland interessierte man sich für die Primzahlen und entdeckte einige ihrer Eigenschaften. Obwohl Primzahlen seit damals stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind viele die Primzahlen betreffenden Fragen bis heute ungeklärt, darunter solche, die mehr als hundert Jahre alt und leicht verständlich formulierbar sind. Dazu gehören die Goldbachsche Vermutung, wonach außer 2 jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, und die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist). Primzahlen und ihre Eigenschaften spielen in der Kryptographie eine große Rolle, weil Primfaktoren auch mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen nicht effizient gefunden werden können.Andererseits ermöglichen diese Maschinen eine effiziente Verschlüsselung sowie, wenn man den Schlüssel kennt, Entschlüsselung auch langer Texte. (de)
- Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Ένας φυσικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι πρώτος αριθμός ονομάζεται σύνθετος αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι πρώτος, επειδή οι μόνοι διαιρέτες του είναι το 1 και το 5, ενώ το 6 είναι σύνθετος επειδή έχει διαιρέτες του το 2 και 3 εκτός των 1 και 6. Το μηδέν και το ένα δεν θεωρούνται πρώτοι αριθμοί. Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί). Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής καθορίζει το βασικό ρόλο των πρώτων αριθμών στη θεωρία αριθμών: κάθε ακέραιος αριθμός του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων. Η μοναδικότητα σε αυτό το θεώρημα προϋποθέτει την εξαίρεση του 1 ως πρώτου αριθμού επειδή ένας πρώτος μπορεί να περιέχει αυθαίρετα πολλές φορές το 1 σε κάθε γινόμενο, για παράδειγμα 3, 1 x 3, 1 x 1 x 3, κ.ο.κ. είναι όλοι παράγοντες του 3. Μια απλή αλλά αργή μέθοδος για να επαληθευτεί αν ένας δοθείς αριθμός n είναι πρώτος είναι η λεγόμενη δοκιμαστική διαίρεση. Η δοκιμαστική διαίρεση συνίσταται στον έλεγχο αν ο n είναι πολλαπλάσιο κάποιου ακέραιου αριθμού μεταξύ του 2 και του √n. Οι αλγόριθμοι που είναι πολύ πιο αποτελεσματικοί από τη δοκιμαστική διαίρεση έχουν επινοηθεί για να ελέγχουμε αν μεγαλύτεροι αριθμοί είναι πρώτοι. Ιδιαίτερα γρήγορες μέθοδοι είναι διαθέσιμες για αριθμούς ειδικών μορφών, όπως είναι αριθμοί Μερσέν. Ο γνωστός πρώτος αριθμός από τον Δεκέμβριο του 2018 είναι ο M82589933 με 24.862.048 ψηφία. Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου στο 300 π.Χ. Δεν υπάρχει κανένας γνωστός τύπος ο οποίος να διαχωρίζει όλους τους πρώτους αριθμούς από τους σύνθετους. Ωστόσο, η κατανομή των πρώτων αριθμών, όπως λέμε τη στατιστική συμπεριφορά των πρώτων γενικά, μπορεί να μοντελοποιηθεί. Το πρώτο αποτέλεσμα προς αυτή την κατεύθυνση είναι το θεώρημα πρώτων αριθμών, το οποίο αποδείχτηκε στα τέλη του 19ου αιώνα, το οποίο λέει ότι η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου αριθμού n να είναι πρώτος είναι αντιστρόφως ανάλογη του πλήθους των ψηφίων ή του λογαρίθμου του n. Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της θεωρίας αριθμών και είναι μια πολύ ενεργή ερευνητικά περιοχή των μαθηματικών. Πολλά ερωτήματα γύρω από τους πρώτους αριθμούς παραμένουν ανοιχτά, όπως η εικασία του Ρίμαν, η εικασία του Γκόλντμπαχ, η οποία λέει ότι κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων και η εικασία των διδύμων πρώτων, η οποία λέει ότι υπάρχουν άπειρα σε πλήθος ζευγάρια πρώτων των οποίων η διαφορά είναι 2. Τέτοιες ερωτήσεις οδήγησαν στην ανάπτυξη διάφορων κλάδων της θεωρίας αριθμών, εστιάζοντας στην αναλυτική ή αλγεβρική πλευρά των αριθμών. Οι πρώτοι χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς στην τεχνολογία πληροφοριών, όπως στην Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού, η οποία χρησιμοποιεί ιδιότητες, όπως τη δυσκολία να αναλύεις ένα μεγάλο αριθμό σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί συμβάλλουν σε διάφορες γενικεύσεις σε άλλους μαθηματικούς τομείς, ιδίως στην άλγεβρα, όπως τα στοιχεία πρώτων και τα ιδανικά πρώτων. (el)
- Primo (laŭ la latina vorto "primum" en gramatike neŭtra genro, primus en vira kaj prima en ina genro) laŭ esperantaj vortaroj kiel la Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto (PIV) estas 1.
* Pozitiva entjero, kiu ne estas produto de pozitivaj entjeroj krom 1 k si mem: la unuaj primoj estas 2, 3, 5, 7, 11, …; 6 estas neprimo (Sin. kunmetita nombro), 2.
* en faka lingvaĵo de kristanismo estas diservo, kanonika horo (je la 6-a horo matene) kaj 3.
* en faka sporta lingvaĵo estas la unua pozicio en skermado. 4.
* Aldone, kvankam ne notite en iu eldono de la vortaro PIV, ĝi neoficiale en faka muzika lingvaĵo ankaŭ estas neologismo por la termino unuto. Pri la unua, fake matematika signifo ankoraŭ iom da detaloj: La pozitiva entjero "primo", kiu ne estas produto de du aliaj pozitivaj entjeroj, sekve dividiĝas nur per si kaj per 1. Ekzemple, 12 dividiĝas je 1, 2, 3, 4, 6, 12 (kiuj estas la divizoroj de 12), sed 17 dividiĝas nur je 1 kaj 17. Sekve la nombro 17 estas primo, sed la nombro 12 ne estas primo, sed komponita nombro. Ĉiu primo pli granda ol 3 estas de formo aŭ por iu natura nombro n. Ĉi tie estas la tabelo de ĉiuj primaj nombroj ĝis 1000: (eo)
- Artikulu honetan zenbaki lehenak lantzen dira zenbaki osoetan. Eraztunen orokortasunerako, ikusi eta Matematikan, zenbaki lehen 1 baino handiagoa den zenbaki arrunta da, bi zatitzaile positibo ezberdin besterik ez dituena: bera eta 1. Zenbaki konposatuek, berriz, bere buruaz eta 1az aparte zatitzaile osoren bat duten zenbaki osoak dira; beraz, egin daitezke. Hitzarmenez, 1 zenbakia ez da ez lehentzat ez konposatutzat hartzen. 1000 zenbakia baino txikiago diren zenbaki lehenak, hurrengoak dira: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 eta 997. 1000 zenbakiaren ondoren dagoen zenbaki lehena 1009 da; 10.000 eta gero, 10.007 da; 100.000tik aurrera 100.003, eta 1.000.000ren hurrengoa 1.000.003 da. Bestalde, gero eta zailagoa da zenbaki lehen bat aurkitzea, adibidez, aurkitu den azken zenbaki lehena da 24.862.048 zifraz osatua dagoena. Zenbakien teoria aljebraikoan, zenbaki lehenei zenbaki arrazional lehenak esaten zaie, lehenenetatik bereizteko. Zenbaki lehenak izatea ez dago zenbaki-sistemaren menpe, baina bai, ordea, aztertzen den eraztunaren menpe. Adibidez, 2 zenbaki lehen arrazionala da; hala ere, zenbaki gaussiar osoa bezala faktoreak ditu: . Zenbaki lehenen azterketa zenbakien teoriaren zati garrantzitsu bat da. Berriz, zenbakien teoria, batez ere, zenbaki osoen propietate aritmetikoak ikertzen dituen matematikaren adarra da. Zenbaki lehenak ehun urtetik gorako aieru batzuetan agertzen dira; hala nola, Riemannen hipotesia eta Goldbachen aierua, ek bere forma ahulean ebatzi zuena. Zenbaki lehenen banaketa zenbakien teoriaren ikerketa-gai errepikakorra da: zenbaki isolatuak kontuan hartuz gero, zenbaki lehenak probabilitatearen arabera banatuta daudela ematen du; baina, zenbaki lehenen banaketa "globala" ondo definitutako legeetara egokitzen da. (eu)
- En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1. Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, , no se considera ni primo ni compuesto. Los 168 números primos menores que 1000 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 y 997 (sucesión A000040 en OEIS). El primer número primo a partir del número mil es el 1009, después de diez mil es el 10 007, a partir de cien mil es el 100 003 e inmediatamente tras un millón es el 1 000 003. La propiedad de ser número primo se denomina primalidad. En la teoría algebraica de números, a los números primos se les conoce como números racionales primos para distinguirlos de los números gaussianos primos. La primalidad no depende del sistema de numeración, pero sí del anillo donde se estudia la primalidad. Dos es primo racional; sin embargo tiene factores como entero gaussiano: 2 = (1+i)*(1-i). El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, rama de las matemáticas que trata las propiedades, básicamente aritméticas, de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach, resuelta por Harald Helfgott en su forma débil. La distribución de los números primos es un asunto reiterativo de investigación en la teoría de números: si se consideran números aisladamente, los primos parecieran estar distribuidos de modo probabilístico, pero la distribución «global» de los números primos se ajusta a leyes bien definidas. (es)
- Sa mhatamaitic, is éard is uimhir phríomha ná slánuimhir dhearfach níos mó ná 1 nach bhfuil aon roinnteoir aici ach 1 is í féin. Bhí na huimhreacha príomha tábhachtach i gcónaí san uimhirtheoiric. Le fada tá uimhirtheoirícithe ag iarraidh feidhm f(n) a aimsiú, a tháirgfeadh uimhreacha príomha ach slánuimhreacha dearfacha, n, a chur isteach inti, ach tá teipthe orthu go dtí seo. Mar shampla, táirgeann f(n) = n 2 - n + 41 uimhreacha príomha nuair n < 41, agus táirgeann f(n) = n 2 - 79 n + 1601 uimhreacha·príomha nuair n < 80. Thairg Fermat gurbh uimhir phríomha í (22)" + 1 nuair is slánuimhir dhearfach í n, ach cruthaíodh nach fíor é seo. (ga)
- A prime number (or a prime) is a natural number greater than 1 that is not a product of two smaller natural numbers. A natural number greater than 1 that is not prime is called a composite number. For example, 5 is prime because the only ways of writing it as a product, 1 × 5 or 5 × 1, involve 5 itself.However, 4 is composite because it is a product (2 × 2) in which both numbers are smaller than 4. Primes are central in number theory because of the fundamental theorem of arithmetic: every natural number greater than 1 is either a prime itself or can be factorized as a product of primes that is unique up to their order. The property of being prime is called primality. A simple but slow method of checking the primality of a given number , called trial division, tests whether is a multiple of any integer between 2 and . Faster algorithms include the Miller–Rabin primality test, which is fast but has a small chance of error, and the AKS primality test, which always produces the correct answer in polynomial time but is too slow to be practical. Particularly fast methods are available for numbers of special forms, such as Mersenne numbers. As of December 2018 the largest known prime number is a Mersenne prime with 24,862,048 decimal digits. There are infinitely many primes, as demonstrated by Euclid around 300 BC. No known simple formula separates prime numbers from composite numbers. However, the distribution of primes within the natural numbers in the large can be statistically modelled. The first result in that direction is the prime number theorem, proven at the end of the 19th century, which says that the probability of a randomly chosen large number being prime is inversely proportional to its number of digits, that is, to its logarithm. Several historical questions regarding prime numbers are still unsolved. These include Goldbach's conjecture, that every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two primes, and the twin prime conjecture, that there are infinitely many pairs of primes having just one even number between them. Such questions spurred the development of various branches of number theory, focusing on analytic or algebraic aspects of numbers. Primes are used in several routines in information technology, such as public-key cryptography, which relies on the difficulty of factoring large numbers into their prime factors. In abstract algebra, objects that behave in a generalized way like prime numbers include prime elements and prime ideals. (en)
- Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan hasilkali dari dua bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Misalnya, 5 adalah bilangan prima karena 5 dapat ditulis sebagai atau , sedangkan 4 bukanlah bilangan prima karena hasilkalinya, dimana kedua bilangan lebih kecil dari 4. Bilangan prima merupakan bagian pusat dari teori bilangan karena melibatkan teorema dasar aritmetika: setiap bilangan asli lebih besar dari 1 adalah bilangan prima itu sendiri atau dapat difaktorkan sebagai hasil kali tunggal urutannya. Sifat-sifat yang menjadikan bilangan prima disebut primalitas. Metode sederhana namun lambat yang memeriksa primalitas untuk bilangan , disebut . Metode ini menguji apakah kelipatan dari suatu bilangan bulat antara dan . Algoritma lebih cepatnya adalah , algoritma cepat namun memiliki kesempatan galat kecil; dan , algoritma yang selalu memberikan solusi yang benar dalam , namun sangat lambat bila dipraktekkan. Metode cepat khususnya tersedia dalam bilangan bentuk khusus, seperti . Hingga pada Desember 2018, bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima Mersenne dengan 24.862.048 digit. Sekitar 300 SM, bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Tidak ada rumus sederhana yang memisahkan bilangan prima dari bilangan komposit. Akan tetapi, sebaran bilangan prima dalam jumlah bilangan asli yang sangat banyak dapat digambar secara statistik. Hasil pertama sebaran bilangan prima tersebut mengarah pada teorema bilangan prima, yang dibuktikan pada akhir abad ke-19. Teorema ini mengatakan bilangan terbesar yang dipilih secara acak menjadi bilangan prima berbanding terbalik dengan jumlah digitnya, yaitu logaritma. Beberapa masalah-masalah bersejarah yang melibatkan bilangan prima masih belum terpecahkan. Masalah di antaranya konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan , menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong pengembangan berbagai cabang dalam teori bilangan, yang fokus pada aspek bilangan analitik atau bilangan aljabar. Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan prima dipakai dalam teknologi informasi, seperti kriptografi kunci publik, yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor bilangan prima. Dalam aljabar abstrak, objek yang umumnya berperilaku sebagai bilangan prima di antaranya dan . (in)
- In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero intero positivo che abbia esattamente due divisori distinti. In modo equivalente si può definire come un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio 2, 3 e 5 sono primi mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero primo pari è 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2. La successione dei numeri primi comincia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… Quello di numero primo è uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: l'importanza sta nella possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonché l'unicità di tale fattorizzazione. I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione è tuttora oggetto di molte ricerche. I numeri primi sono oggetto di studio fin dall'antichità: i primi risultati risalgono agli antichi Greci, e in particolare agli Elementi di Euclide, scritti attorno al 300 a.C. Ciononostante, numerose congetture che li riguardano non sono state ancora dimostrate; tra le più note vi sono l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli, indimostrate a più di un secolo dalla loro formulazione. Essi sono rilevanti anche in molti altri ambiti della matematica pura, come ad esempio l'algebra o la geometria; recentemente hanno assunto un'importanza cruciale anche nella matematica applicata, e in particolare nella crittografia. (it)
- Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur. Par exemple, le nombre entier 7 est premier car 1 et 7 sont les seuls diviseurs entiers et positifs de 7. Tout nombre pair étant multiple de 2, les nombres premiers sont par conséquent tous impairs, excepté le nombre 2 lui-même. De plus, tout nombre se terminant par 5 étant un multiple de ce dernier, les nombres premiers (hormis 2 et 5) se terminent tous par 1, 3, 7 ou 9. Par opposition, on appelle nombre composé tout nombre entier qui est le produit de deux entiers strictement supérieurs à 1 et possède de ce fait au moins trois diviseurs ; sont composés, par exemple, 4 = 2 × 2 qui en possède 3 (à savoir 1, 2 et 4), 9 = 3 × 3 qui en possède 3 (à savoir 1, 3 et 9) et 12 = 2 × 2 × 3 qui en possède 6 (à savoir 1, 2, 3, 4, 6 et 12). Selon cette définition, les nombres 0 et 1 ne sont donc ni premiers ni composés : 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur entier positif et 0 non plus car il est divisible par tous les entiers positifs. Autrefois certains mathématiciens, grâce à une définition légèrement différente des nombres premiers, considéraient que 1 en était un. Mais au début du XXe siècle, un consensus a abouti à la définition donnée ici, qui exclut 1 des nombres premiers. Les vingt-cinq nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, et 97. De telles listes de nombres premiers inférieurs à une borne donnée, ou compris entre deux bornes, peuvent être obtenues grâce à diverses méthodes de calcul. Mais il ne peut pas y avoir de liste exhaustive finie des nombres premiers, car on sait (depuis l'Antiquité : voir Théorème d'Euclide sur les nombres premiers) qu'il en existe une infinité. On ne connaît d’ailleurs pas de formules simples pour produire de telles listes ; la recherche de formules approchées a amené à l’important théorème des nombres premiers. La notion de nombre premier est une notion de base en arithmétique élémentaire : le théorème fondamental de l'arithmétique assure qu'un nombre composé est factorisable en un produit de nombres premiers, et que cette factorisation est unique à l'ordre des facteurs près. Elle admet des généralisations importantes, mais délicates, dans des branches des mathématiques plus avancées, comme la théorie algébrique des nombres, qui prennent ainsi à leur tour l'appellation d'arithmétique. Par ailleurs, de nombreuses applications industrielles de l'arithmétique reposent sur la connaissance algorithmique des nombres premiers, et parfois plus précisément sur la difficulté des problèmes algorithmiques qui leur sont liés ; c'est le cas de certains systèmes cryptographiques et des méthodes de transmission de l'information. Les nombres premiers sont aussi utilisés pour construire des tables de hachage et pour constituer des générateurs de nombres pseudo-aléatoires. Découvert le 7 décembre 2018, le plus grand nombre premier connu est le 282 589 933 – 1, qui comporte plus de 24 millions de chiffres en écriture décimale. (fr)
- ( 각각의 자리에 놓인 숫자와 소수점을 통해 나타낸 실수(小數)에 대해서는 소수 (기수법) 문서를 참고하십시오.) 소수(素數, 발음: [소쑤], 문화어: 씨수, 영어: prime number)는 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수다. 예를 들어, 5는 1×5 또는 5×1로 수를 곱한 결과를 적는 유일한 방법이 그 수 자신을 포함하기 때문에 5는 소수이다. 그러나 6은 자신보다 작은 두 숫자의 곱(2×3)이므로 소수가 아닌데, 이렇듯 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 것은 합성수라고 한다. 1과 그 수 자신 이외의 자연수로는 나눌 수 없는 자연수로 정의하기도 한다. 산술의 기본 정리의 '1보다 큰 모든 자연수는 그 자체가 소수이거나, 순서를 무시하고 유일한 소인수의 조합을 갖는다'는 내용을 바탕으로 정수론에서는 매우 중요한 주제로 다루어진다. 또한 현대에는 암호 분야에서의 기술적 사용으로 그 중요성이 부각되고 있다. 소수의 개수는 무한하며, 이는 유클리드의 정리에 의하여 최초로 논증되었다. 소수와 합성수를 구분해낼 수 있는 명확한 공식은 지금까지도 밝혀지지 않은 상태이나, 대역적으로 자연수 중 소수의 비율의 근사치를 예측하는 모델로는 여러가지가 알려져 있다. 이러한 방향으로의 연구의 첫 결과는 19세기 말에 증명된 소수 정리인데, 이는 무작위로 선택된 한 수가 소수일 확률은 그 수의 자릿수, 곧 로그값에 반비례함을 알려준다. (ko)
- 素数（そすう、英: primeあるいはprime number）とは、2 以上の自然数で、正の約数が 1 と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。「素数」という日本語を prime number の訳語とすることは1881年（明治14年）に決まった。 一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環 での素数は有理素数（ゆうりそすう、英: rational prime）と呼ばれることもある。1 は素数に含めない。 最小の素数は 2 である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,… 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のユークリッドの著書『原論』で既に証明されていた。 自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。 分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2021年4月現在で知られている最大の素数は、2018年12月7日に発見された、それまでに分かっている中で51番目のメルセンヌ素数 282589933 − 1 であり、十進法で表記したときの桁数は2486万2048桁に及ぶ。 (ja)
- Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts twee natuurlijke getallen als deler heeft, namelijk 1 en zichzelf. Het kleinste priemgetal is dus 2, want het heeft alleen 1 en 2 als delers. Het volgende is 3, met alleen de delers 1 en 3. Het getal 4 is geen priemgetal, want het heeft behalve 1 en 4 ook 2 als deler. Een getal dat groter dan 1 is en geen priemgetal, heet een samengesteld getal. Priemgetallen vormen een belangrijk onderwerp in het deelgebied van de wiskunde dat getaltheorie genoemd wordt. Door de afspraak dat het getal 1 geen priemgetal is, kan onder andere de hoofdstelling van de rekenkunde eenvoudiger geformuleerd worden. De eerste 30 priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 en 113. Priemgetallen werden reeds door de oude Grieken bestudeerd. Er zijn oneindig veel priemgetallen. Het bewijs hiervoor wordt gegeven door de stelling van Euclides. De oudste methode om priemgetallen te vinden is de zeef van Eratosthenes, die in de animatie hieronder wordt geïllustreerd. Een bepaald type priemgetallen wordt gevormd door de mersennepriemgetallen. Van een mersennegetal, dat wil zeggen een getal van de vorm , kan betrekkelijk gemakkelijk vastgesteld worden of het een priemgetal is of niet. Er is geen formule bekend die alle priemgetallen, maar geen samengestelde getallen oplevert. De verdeling van priemgetallen, dat wil zeggen, het statistische gedrag van grote aantallen priemgetallen, kan echter wel worden gemodelleerd. Het eerste resultaat in die richting was de priemgetalstelling, die, ruw gesproken, stelt dat de kans dat een gegeven, willekeurig gekozen getal een priemgetal is, omgekeerd evenredig is met het aantal cijfers, of de logaritme van . Deze stelling is aan het einde van de 19e eeuw bewezen. De onbewezen Riemann-hypothese, die van 1859 dateert, impliceert een verfijnde verklaring hiervan met betrekking tot de verdeling van de priemgetallen. Ondanks intensieve studie staan veel fundamentele vragen met betrekking tot priemgetallen nog steeds open. Zo zijn bijvoorbeeld het vermoeden van Goldbach, dat beweert dat elk even getal groter dan twee de som is van twee priemgetallen, en het vermoeden van de priemtweelingen, dat zegt dat er oneindig veel priemgetaltweelingen (paren van priemgetallen, waarvan het verschil gelijk is aan twee) moeten bestaan, al meer dan een eeuw onopgelost, ondanks de ogenschijnlijke eenvoud van deze uitspraken. Priemgetallen worden toegepast in verschillende delen van de informatietechnologie, onder andere bij het beveiligen van digitale informatie, door middel van cryptografie. Met behulp van de priemgetaltest wordt bepaald dat een getal een priemgetal is. In de asymmetrische cryptografie wordt bijvoorbeeld gebruikgemaakt van de moeilijkheid om grote getallen in hun priemfactoren te ontbinden. De zoektocht naar extreem grote priemgetallen, vaak met behulp van distributed computing, heeft de studie van de priemgetallen gestimuleerd. Begin 2013 bestond het grootst bekende priemgetal uit 17 425 170 cijfers. In 2018 werd het tot nu toe grootste priemgetal ontdekt, dat volledig uitgeschreven uit 24 862 048 cijfers bestaat. (nl)
- Ett primtal är ett naturligt tal som är större än 1 och inte har några andra positiva delare än 1 och talet självt. Den grekiske matematikern Euklides visade på 300-talet f.Kr., med Euklides sats, att det finns ett oändligt antal primtal. (sv)
- Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą. Nie istnieje powszechnie przyjęty symbol zbioru wszystkich liczb pierwszych, czasami oznacza się ten zbiór symbolem Wykaz początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 itd. (ciąg A000040 w OEIS). W wykazie brak np. liczby 4, bowiem ma ona 3 dzielniki: 1, 2 i 4. Podobnie z liczbą 6, która ma 4 dzielniki: 1, 2, 3 i 6. Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Liczby 4 i 6 są więc przykładami liczb złożonych. Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. (pl)
- Número primo é qualquer número cujo conjunto dos divisores não inversíveis não é vazio, e todos os seus elementos são produtos de por números inteiros inversíveis. De acordo com esta definição, e não são números primos.Um número inteiro primo é aquele que tem somente quatro divisores distintos, e Já um número natural primo tem unicamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo. Uma das questões pesquisadas sobre os números primos é de como eles se distribuem nos naturais, com que frequência isso ocorre e qual a distância que existe entre eles. Por exemplo, existem vários pares de números primos que se diferem em duas unidades: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109). Pares de números primos com essa propriedade são denominados de primos gêmeos. Ainda não se provou que existem ou não existem infinitos primos gêmeos. A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo, se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto ( e também não são compostos). Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois. Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.. O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatorização). Existem 168 números primos positivos menores do que 1000. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, , , 193, , , 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 (sequência na OEIS). Exemplos de decomposições:
*
*
*
*
*
* Para todo primo p seja p# o produto de todos os números primos q inferiores ou iguais a p. De acordo com a terminologia empregada por Dubner (1987), p# é chamado o primorial de p. Temos dois problemas em aberto sobre a noção de primorial: a) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja primo?b) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja composto? O que se sabe:
* O maior número primo conhecido da forma p# + 1 é 392113# + 1, com 169966 algarismos, foi descoberto por D. Heuer et al. Em 2001.
* A lista completa dos números primos p < 632700 tais que p# + 1 seja primo é a seguinte: P = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439 e 392113.
* Caldwell e Gallot publicaram em 2002 a lista para p < 120000. O primo 145823# + 1 foi descoberto em 2000 por A.E. Anderson, D.E. Robinson et al. O primo 366439# + 1 foi descoberto em 2001 por D. Heuer et al.
* 15877# – 1 é o maior primo encontrado da forma p# – 1; tem 6845 algarismos e estava incluído na lista de Caldwell e Gallot de 2002.
* A lista dos números primos p < 650000 tais que p# – 1 é primo é a seguinte: 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033 e 15877.
* A lista para p < 120000 foi publicada em 2002 por Caldwell e Gallot, posteriormente nenhum outro primo p# – 1 foi descoberto. (pt)
- Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, натуральное число является простым, если оно отлично от и делится без остатка только на и на само . Пример: число простое (делится на и на ), а не является простым, так как, помимо и , делится на — имеет три натуральных делителя. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел, а основная теорема арифметики устанавливает в ней их центральную роль: любое целое число, превышающее , либо является простым, либо может быть выражено произведением простых чисел, причём такое представление однозначно с точностью до порядка сомножителей. Единицу не относят к простым числам, так как иначе указанное разложение становится неоднозначным: . Натуральные числа можно разделить на три класса: единица (имеет один натуральный делитель), простое число (имеет два натуральных делителя), составное число (имеет более двух натуральных делителей). Как простых, так и составных чисел бесконечно много. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, , 61, , 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, , 163, , 173, 179, 181, , 193, 197, 199, … Существуют различные алгоритмы проверки числа на простоту. Например, известный метод перебора делителей в сравнении с другими примитивный и медленный. Простые числа широко используются в математике и смежных науках. Во многих алгоритмах информационных технологий, например в асимметричных криптосистемах, используются свойства факторизации целых чисел. Многие проблемы, касающиеся простых чисел, остаются открытыми. Существуют обобщения понятия простого числа для произвольных колец и других алгебраических структур. (ru)
- 質數（Prime number），又称素数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合数（也稱為合成數）。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。7是個質數，因為其正因數只有1與7。而4則是個合數，因為除了1與4外，2也是其正因數。6也是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算术基本定理確立了質數於数论裡的核心地位：任何大於1的整数均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家欧几里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中试除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為，使用此方法者需逐一測試2與之間的整數，確保它們無一能整除。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如282589933-1是直至2018年12月為止已知最大的梅森質數，也是直至2018年12月為止已知最大的質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或的对数）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代数裡，如質元素及質理想。 (zh)
- Просте число — це натуральне число, яке має рівно два різних натуральних дільники (лише 1 і саме число). Решту чисел, окрім одиниці, називають складеними. Таким чином, всі натуральні числа, більші від одиниці, розбивають на прості і складені. Теорія чисел вивчає властивості простих чисел. В теорії кілець простим числам відповідають незвідні елементи. Послідовність простих чисел починається так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 , 127, 131, 137, 139, 149 … (послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) (uk)
|
