| dbo:abstract
|
- Die Vermutung von Elliott und Halberstam (EH, nach Peter D. T. A. Elliott und Heini Halberstam 1968) aus der analytischen Zahlentheorie betrifft den Fehlerterm in dem Dirichletschen Satz über die Primzahlverteilung in arithmetischen Progressionen. Sei die Primzahlfunktion (Anzahl der Primzahlen kleiner gleich ) und die Anzahl der Primzahlen mit (mit teilerfremd zu ). Nach dem Dirichletschen Primzahlsatz ist: mit der Eulerschen Phi-Funktion . Sei die Fehlerfunktion dieser Verteilung. Die Vermutung von Elliott und Halberstam lautet: Für jedes und gibt es eine Konstante , so dass: für alle . Für ist die Vermutung falsch, für ist sie Inhalt des Satzes von Bombieri und Winogradow. Wie Dan Goldston, János Pintz und Cem Yıldırım zeigten, folgt aus der Vermutung, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen gibt, die maximalen Abstand 16 haben. James Maynard konnte das ebenfalls unter Voraussetzung der Vermutung auf 12 verbessern. Das Polymath-Projekt (Polymath 8, Terence Tao u. a.) konnte das unter Voraussetzung der verallgemeinerten Vermutung von Elliott und Halberstam auf 6 verbessern. Ohne Benutzung einer Vermutung ist die beste Schranke zur Zeit (2019) 246 (siehe Primzahlzwilling). Terry Tao zeigte 2014, dass die Vermutung von Winogradow über die Größenordnung der kleinsten quadratische Nicht-Reste (mod p) aus der Elliott-Halberstam-Vermutung folgt. Winogradows Vermutung besagt für jedes . Die Vermutung von Winogradow folgt nach Linnik auch aus der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung. (de)
- En teoría de números, la conjetura de Elliott-Halberstam es un postulado sobre la distribución de números primos en progresiones aritméticas. Tiene muchas aplicaciones en teoría de cribas. Lleva el nombre de y Heini Halberstam, quienes formularon la conjetura en 1968. (es)
- In number theory, the Elliott–Halberstam conjecture is a conjecture about the distribution of prime numbers in arithmetic progressions. It has many applications in sieve theory. It is named for Peter D. T. A. Elliott and Heini Halberstam, who stated the conjecture in 1968. Stating the conjecture requires some notation. Let , the prime-counting function, denote the number of primes less than or equal to . If is a positive integer and is coprime to , we let denote the number of primes less than or equal to which are equal to modulo . Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions then tells usthat where is Euler's totient function. If we then define the error function where the max is taken over all coprime to , then the Elliott–Halberstam conjecture is the assertion thatfor every and there exists a constant such that for all . This conjecture was proven for all by Enrico Bombieri and A. I. Vinogradov (the Bombieri–Vinogradov theorem, sometimes known simply as "Bombieri's theorem"); this result is already quite useful, being an averaged form of the generalized Riemann hypothesis. It is known that the conjecture fails at the endpoint . The Elliott–Halberstam conjecture has several consequences. One striking one is the result announced by Dan Goldston, János Pintz, and Cem Yıldırım, which shows (assuming this conjecture) that there are infinitely many pairs of primes which differ by at most 16. In November 2013, James Maynard showed that subject to the Elliott–Halberstam conjecture, one can show the existence of infinitely many pairs of consecutive primes that differ by at most 12. In August 2014, Polymath group showed that subject to the , one can show the existence of infinitely many pairs of consecutive primes that differ by at most 6. Without assuming any form of the conjecture, the lowest proven bound is 246. (en)
- En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter D. T. A. Elliott et Heini Halberstam. (fr)
- Nella teoria dei numeri, la congettura di Elliott–Halberstam è una congettura che afferma che, in media, i numeri primi si distribuiscono nelle progressioni aritmetiche nel modo più regolare possibile. Prende il nome dai matematici e Heini Halberstam ed ha molte applicazioni nella teoria dei crivelli. (it)
- Гипотеза Эллиота — Халберстама — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (англ. Peter D. T. A. Elliott) и Хайни Халберстама (англ. Heini Halberstam). Пусть — число простых чисел, не превышающих . Если — натуральное число, а и — взаимно простые числа, то мы обозначим — число простых чисел, не превышающих и равных по модулю . Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что где и взаимно просты, а — функция Эйлера. Определим теперь функцию погрешности где максимум берется по всем взаимно простым с Тогда для всех и всех найдётся такая константа , что выполняется для всех Эта гипотеза была доказана для всех Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает, что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года показала, что при условии истинности существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6. (ru)
- Inom talteori är Elliott–Halberstams förmodan en förmodan om primtalens fördelning i aritmetiska följder. Den är uppkallad efter och . Låt vara antalet primtal mindre eller lika stora som x. Om q är ett positivt heltal och a är relativt primt till q definieras som antalet primtal mindre eller lika stora som x som är lika med a modulo q. Dirichlets sats om aritmetiska följder säger att där a och q är relativt prima och är Eulers fi-funktion. Om vi definierar feltermen där max är över alla a relativt prima till q säger Elliott–Halberstams förmodan att för alla θ < 1 och A > 0 finns det en konstant C > 0 så att gäller för alla x > 2. Förmodandet bevisades för alla θ < 1/2 av och (se Bombieri–Vinogradovs sats, ibland bara "Bombieris sats"). Det är känt att förmodan inte gäller vid θ = 1. (sv)
|
| rdfs:comment
|
- En teoría de números, la conjetura de Elliott-Halberstam es un postulado sobre la distribución de números primos en progresiones aritméticas. Tiene muchas aplicaciones en teoría de cribas. Lleva el nombre de y Heini Halberstam, quienes formularon la conjetura en 1968. (es)
- En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter D. T. A. Elliott et Heini Halberstam. (fr)
- Nella teoria dei numeri, la congettura di Elliott–Halberstam è una congettura che afferma che, in media, i numeri primi si distribuiscono nelle progressioni aritmetiche nel modo più regolare possibile. Prende il nome dai matematici e Heini Halberstam ed ha molte applicazioni nella teoria dei crivelli. (it)
- Die Vermutung von Elliott und Halberstam (EH, nach Peter D. T. A. Elliott und Heini Halberstam 1968) aus der analytischen Zahlentheorie betrifft den Fehlerterm in dem Dirichletschen Satz über die Primzahlverteilung in arithmetischen Progressionen. Sei die Primzahlfunktion (Anzahl der Primzahlen kleiner gleich ) und die Anzahl der Primzahlen mit (mit teilerfremd zu ). Nach dem Dirichletschen Primzahlsatz ist: mit der Eulerschen Phi-Funktion . Sei die Fehlerfunktion dieser Verteilung. Die Vermutung von Elliott und Halberstam lautet: Für jedes und gibt es eine Konstante , so dass: für alle . (de)
- In number theory, the Elliott–Halberstam conjecture is a conjecture about the distribution of prime numbers in arithmetic progressions. It has many applications in sieve theory. It is named for Peter D. T. A. Elliott and Heini Halberstam, who stated the conjecture in 1968. where is Euler's totient function. If we then define the error function where the max is taken over all coprime to , then the Elliott–Halberstam conjecture is the assertion thatfor every and there exists a constant such that for all . (en)
- Inom talteori är Elliott–Halberstams förmodan en förmodan om primtalens fördelning i aritmetiska följder. Den är uppkallad efter och . Låt vara antalet primtal mindre eller lika stora som x. Om q är ett positivt heltal och a är relativt primt till q definieras som antalet primtal mindre eller lika stora som x som är lika med a modulo q. Dirichlets sats om aritmetiska följder säger att där a och q är relativt prima och är Eulers fi-funktion. Om vi definierar feltermen gäller för alla x > 2. (sv)
- Гипотеза Эллиота — Халберстама — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (англ. Peter D. T. A. Elliott) и Хайни Халберстама (англ. Heini Halberstam). Пусть — число простых чисел, не превышающих . Если — натуральное число, а и — взаимно простые числа, то мы обозначим — число простых чисел, не превышающих и равных по модулю . Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что где и взаимно просты, а — функция Эйлера. для всех (ru)
|
