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- Un ideal principal és un ideal generat per un únic element. Essent formals, sigui A un anell i I un ideal d'A:
* Es diu que I és un ideal principal per l'esquerra si existeix un element g ∈ I anomenat generador, tal que tot x ∈ I es pot escriure com x = yg per algun y de l'anell A. Així, tindrem que I = {yg | y ∈ A} i, de fet, s'acostuma a escriure que I = Ag.
* Es diu que I és un ideal principal per la dreta si existeix un element g ∈ I anomenat generador, tal que tot x ∈ I es pot escriure com x = gy per algun y de l'anell A. Així, tindrem que I = {gy | y ∈ A} i, de fet, s'acostuma a escriure que I = gA.
* Un ideal principal (pels dos costats) és aquell que és principal per la dreta i per l'esquerra. Això es dona sempre quan l'anell A és commutatiu. En aquest cas s'acostuma a escriure I = (g), tot i que la notació <g> també es pot trobar. En un anell principal, tot ideal es pot escriure com a generat per un únic element. El fet que l'anell dels nombres enters compleixi aquesta propietat garanteix, per exemple, la propietat del màxim comú divisor de diversos enters. (ca)
- Hlavní ideál v teorii okruhů je takový ideál I v okruhu R, který lze generovat jediným prvkem a z okruhu R. Tedy:
* levý hlavní ideál okruhu R je podmnožina okruhu R daná předpisem Ra := {ra : r in R};
* pravý hlavní ideál okruhu R je podmnožina okruhu R daná předpisem aR := {ar : r in R};
* a oboustranný hlavní ideál je podmnožina okruhu R daná předpisem RaR := {r1as1 + ... + rnasn : r1,s1,...,rn,sn in R}. Pokud je R komutativní okruh, pak tyto pojmy splývají. V takovém případě je běžné ideál generovaný prvkem a zapisovat pomocí závorek (a). Příklad hlavního ideálu je například jakýkoliv ideál okruhu celých čísel — jedná se totiž o takzvaný obor hlavních ideálů, tedy obor integrity, ve kterém je každý ideál hlavní. Příklad ideálu, který není hlavní, lze nalézt například v komutativním okruhu mnohočlenů C[x,y], tedy v okruhu, který je tvořen mnohočleny ve dvou proměnných s koeficienty z množiny komplexních čísel. Jedním takovým ideálem je (x,y), který obsahuje všechny nenulové mnohočleny, které mají nulový absolutní člen. Pokud by tyto všechny byly generovány nějakým p, pak by musely být dělitelné p. Tedy p by muselo dělit x a y, což splňují jen konstanty. Ovšem daný ideál žádné nenulové konstanty neobsahuje. (cs)
- Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3. (de)
- En ringo-teorio, ĉefidealo estas idealo generebla per unu elemento. (eo)
- En matemáticas, particularmente dentro de la teoría de anillos, un ideal principal es un ideal generado por un único elemento. Al ideal también se le suele denotar como . La verificación de que dicho conjunto es un ideal procede como sigue:
* Si , son dos elementos de , entonces también lo es puesto que .
* Si es un elemento de y es un elemento arbitrario del anillo, y por tanto también pertenece a .
* El elemento cero pertenece al conjunto puesto que . Cuando el anillo no es conmutativo, es necesario hacer diferencias entre ideales izquierdos y derechos. En el caso de anillos conmutativos, los conceptos de ideal izquierdo y derecho son equivalentes. (es)
- En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément. (fr)
- In mathematics, specifically ring theory, a principal ideal is an ideal in a ring that is generated by a single element of through multiplication by every element of The term also has another, similar meaning in order theory, where it refers to an (order) ideal in a poset generated by a single element which is to say the set of all elements less than or equal to in The remainder of this article addresses the ring-theoretic concept. (en)
- In de algebra en speciaal in de theorie der commutatieve ringen is een hoofdideaal (ook wel principaal ideaal genoemd) een speciaal soort ideaal, namelijk een ideaal dat wordt voortgebracht door een element van de ring als alle producten van dat ene element met de elementen van de ring. (nl)
- Ideał główny – ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli jest elementem pierścienia z jedynką, to:
* prawostronny ideał główny jest równy
* lewostronny ideał główny jest równy
* dwustronny ideał główny jest równy Jeśli jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element pierścienia oznacza się Mówi się, że jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w są główne. Dodatkowo, gdy jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych. (pl)
- 主イデアル（英: principal ideal）、あるいは単項イデアルとは、環 R の単一の元 a により生成された R のイデアル I のことを言う。（要するに、単元生成されたイデアルを主イデアルと言う。） (ja)
- Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом. Общепринятых обозначений для главных идеалов нет.Иногда используют обозначения ,, для левых, правыхи двусторонних главных идеалов элемента кольца соответственно. (ru)
- Principalideal, även huvudideal, är inom den abstrakta algebran de ideal i en ring R som genereras av ett enda element a i R. Mer specifikt:
* ett vänsterprincipalideal I R är en delmängd av R som kan skrivas Ra := {ra : r i R};
* ett högerprincipalideal I R är en delmängd som kan skrivas aR:= {ar : r i R};
* ett två-sidigt principalideal I R är en delmängd som kan skrivas RaR := {r1as1 + ... + rnasn : r1,s1,...,rn,sn i R}. Om R är en kommutativ ring sammanfaller de tre definitionerna ovan. I det fallet betecknas ofta idealet som genereras av a med (a). I allmänhet är inte alla ideal principalideal. En ring där de enda idealen är principalideal kallas för en . (sv)
- Na teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um ideal principal é um ideal que é gerado por um elemento. No caso mais geral de um anel não-comutativo R, temos:
* um ideal principal à esquerda é um ideal
* um ideal principal à direita é um ideal
* um ideal principal bilateral é um ideal No caso comutativo, um ideal principal é um conjunto da forma Em , é fácil mostrar que todo ideal é um ideal principal, porém esta propriedade não é válida em geral. Um contra-exemplo simples é o ideal gerado por {2, x} no domínio de integridade , dos polinômios de coeficientes inteiros. (pt)
- Головний ідеал — в теорії кілець, що є розділом абстрактної алгебри, це такий ідеал, що породжений одним елементом кільця R. (uk)
- 在抽象代数里，环的理想称为主理想（principal ideal），若 如果所有的理想都是主理想，则称为主理想环。 (zh)
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| rdfs:comment
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- Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3. (de)
- En ringo-teorio, ĉefidealo estas idealo generebla per unu elemento. (eo)
- En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément. (fr)
- In mathematics, specifically ring theory, a principal ideal is an ideal in a ring that is generated by a single element of through multiplication by every element of The term also has another, similar meaning in order theory, where it refers to an (order) ideal in a poset generated by a single element which is to say the set of all elements less than or equal to in The remainder of this article addresses the ring-theoretic concept. (en)
- In de algebra en speciaal in de theorie der commutatieve ringen is een hoofdideaal (ook wel principaal ideaal genoemd) een speciaal soort ideaal, namelijk een ideaal dat wordt voortgebracht door een element van de ring als alle producten van dat ene element met de elementen van de ring. (nl)
- 主イデアル（英: principal ideal）、あるいは単項イデアルとは、環 R の単一の元 a により生成された R のイデアル I のことを言う。（要するに、単元生成されたイデアルを主イデアルと言う。） (ja)
- Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом. Общепринятых обозначений для главных идеалов нет.Иногда используют обозначения ,, для левых, правыхи двусторонних главных идеалов элемента кольца соответственно. (ru)
- Na teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um ideal principal é um ideal que é gerado por um elemento. No caso mais geral de um anel não-comutativo R, temos:
* um ideal principal à esquerda é um ideal
* um ideal principal à direita é um ideal
* um ideal principal bilateral é um ideal No caso comutativo, um ideal principal é um conjunto da forma Em , é fácil mostrar que todo ideal é um ideal principal, porém esta propriedade não é válida em geral. Um contra-exemplo simples é o ideal gerado por {2, x} no domínio de integridade , dos polinômios de coeficientes inteiros. (pt)
- Головний ідеал — в теорії кілець, що є розділом абстрактної алгебри, це такий ідеал, що породжений одним елементом кільця R. (uk)
- 在抽象代数里，环的理想称为主理想（principal ideal），若 如果所有的理想都是主理想，则称为主理想环。 (zh)
- Un ideal principal és un ideal generat per un únic element. Essent formals, sigui A un anell i I un ideal d'A:
* Es diu que I és un ideal principal per l'esquerra si existeix un element g ∈ I anomenat generador, tal que tot x ∈ I es pot escriure com x = yg per algun y de l'anell A. Així, tindrem que I = {yg | y ∈ A} i, de fet, s'acostuma a escriure que I = Ag.
* Es diu que I és un ideal principal per la dreta si existeix un element g ∈ I anomenat generador, tal que tot x ∈ I es pot escriure com x = gy per algun y de l'anell A. Així, tindrem que I = {gy | y ∈ A} i, de fet, s'acostuma a escriure que I = gA.
* Un ideal principal (pels dos costats) és aquell que és principal per la dreta i per l'esquerra. Això es dona sempre quan l'anell A és commutatiu. En aquest cas s'acostuma a escriure (ca)
- Hlavní ideál v teorii okruhů je takový ideál I v okruhu R, který lze generovat jediným prvkem a z okruhu R. Tedy:
* levý hlavní ideál okruhu R je podmnožina okruhu R daná předpisem Ra := {ra : r in R};
* pravý hlavní ideál okruhu R je podmnožina okruhu R daná předpisem aR := {ar : r in R};
* a oboustranný hlavní ideál je podmnožina okruhu R daná předpisem RaR := {r1as1 + ... + rnasn : r1,s1,...,rn,sn in R}. Pokud je R komutativní okruh, pak tyto pojmy splývají. V takovém případě je běžné ideál generovaný prvkem a zapisovat pomocí závorek (a). (cs)
- En matemáticas, particularmente dentro de la teoría de anillos, un ideal principal es un ideal generado por un único elemento. Al ideal también se le suele denotar como . La verificación de que dicho conjunto es un ideal procede como sigue:
* Si , son dos elementos de , entonces también lo es puesto que .
* Si es un elemento de y es un elemento arbitrario del anillo, y por tanto también pertenece a .
* El elemento cero pertenece al conjunto puesto que . Cuando el anillo no es conmutativo, es necesario hacer diferencias entre ideales izquierdos y derechos. (es)
- Ideał główny – ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli jest elementem pierścienia z jedynką, to:
* prawostronny ideał główny jest równy
* lewostronny ideał główny jest równy
* dwustronny ideał główny jest równy (pl)
- Principalideal, även huvudideal, är inom den abstrakta algebran de ideal i en ring R som genereras av ett enda element a i R. Mer specifikt:
* ett vänsterprincipalideal I R är en delmängd av R som kan skrivas Ra := {ra : r i R};
* ett högerprincipalideal I R är en delmängd som kan skrivas aR:= {ar : r i R};
* ett två-sidigt principalideal I R är en delmängd som kan skrivas RaR := {r1as1 + ... + rnasn : r1,s1,...,rn,sn i R}. Om R är en kommutativ ring sammanfaller de tre definitionerna ovan. I det fallet betecknas ofta idealet som genereras av a med (a). (sv)
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