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- V oboru abstraktní algebry (podoboru matematiky) se algebraickým uzávěrem tělesa T rozumí jeho algebraicky uzavřené algebraické nadtěleso. (cs)
- Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht-konstante Polynom mit Koeffizienten in eine Nullstelle in hat. Ein Körper ist ein algebraischer Abschluss von , wenn er algebraisch abgeschlossen ist und ein algebraischer Erweiterungskörper von ist. Da ein algebraischer Abschluss bis auf Isomorphie eindeutig ist, spricht man häufig auch von dem algebraischen Abschluss. Das Auffinden von Nullstellen von Polynomen ist eine wichtige mathematische Aufgabenstellung, in einem algebraischen Abschluss kann zumindest deren Existenz gesichert werden. Tatsächlich kann man zeigen, dass es zu jedem Körper einen algebraischen Abschluss gibt. (de)
- In mathematics, particularly abstract algebra, an algebraic closure of a field K is an algebraic extension of K that is algebraically closed. It is one of many closures in mathematics. Using Zorn's lemma or the weaker ultrafilter lemma, it can be shown that , and that the algebraic closure of a field K is unique up to an isomorphism that fixes every member of K. Because of this essential uniqueness, we often speak of the algebraic closure of K, rather than an algebraic closure of K. The algebraic closure of a field K can be thought of as the largest algebraic extension of K.To see this, note that if L is any algebraic extension of K, then the algebraic closure of L is also an algebraic closure of K, and so L is contained within the algebraic closure of K.The algebraic closure of K is also the smallest algebraically closed field containing K,because if M is any algebraically closed field containing K, then the elements of M that are algebraic over K form an algebraic closure of K. The algebraic closure of a field K has the same cardinality as K if K is infinite, and is countably infinite if K is finite. (en)
- En matematiko, aparte en abstrakta algebro, tegaĵo de korpo K estas de K kiu estas . Ĝi estas unu el multaj en matematiko. Per , oni povas montri ke ĉiu korpo havas tegaĵon, kaj ke tegaĵo de korpo K estas unika (ĝis izomorfio) kaj por ĉiuj membroj de K. Pro ĉi tiu esenca unikeco, oni parolas pri la tegaĵo de K, ne simple pri tegaĵo de K. Oni povas pensi pri la tegaĵo de korpo K kiel pri la plej granda algebra pluigo de K.Por vidi ĉi tion, notu, ke se L estas iu algebra vastigaĵo de K, tiam la tegaĵo de L estas ankaŭ tegaĵo de K, kaj do L estas enhavata en la tegaĵo de K.La tegaĵo de K estas ankaŭ la plej malgranda algebre fermita korpo enhavanta K-on,ĉar se M estas iu algebre fermita korpo enhavanta K-on, tiam la eroj de M, kiuj estas algebraj super K formas tegaĵon de K. La tegaĵo de korpo K havas la saman kardinalecon kiel K se K estas malfinia, kaj estas kalkuleble malfinia se K estas finia. (eo)
- En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L. Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans une clôture algébrique de K. Une clôture algébrique de K est également un corps algébriquement clos minimal (pour l’inclusion) contenant K, puisque si M est un corps algébriquement clos contenant K alors, parmi les éléments de M, ceux qui sont algébriques sur K forment une clôture algébrique de K. Une clôture algébrique d'un corps K a le même cardinal que K si K est infini ; elle est dénombrable si K est fini. En dehors du cas où K est séparablement clos (donc algébriquement clos en caractéristique nulle), entre deux clôtures algébriques de K il n'y a pas unicité d'isomorphismes. Il vaut donc mieux éviter l’expression « la clôture algébrique » et privilégier l’article indéfini « une » (une autre façon de le voir est qu’il n’existe pas de foncteur de la catégorie des corps dans elle-même qui envoie tout corps K sur une clôture algébrique de K). L'existence d'une clôture algébrique pour tout corps nécessite l'axiome du choix. (fr)
- En Álgebra, la clausura algebraica (o cerradura algebraica) de un cuerpo K es una extensión algebraica de K que sea algebraicamente cerrada. Es una de las muchas que existen en matemáticas. Usando el Lema de Zorn, puede probarse que todo cuerpo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un cuerpo K es única salvo un isomorfismo que fija cada miembro de K. Por esta unicidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K, más que de una clausura algebraica de K. La clausura algebraica de un cuerpo K puede pensarse como la mayor extensión algebraica de K.Para ver esto, notar que si L es cualquier extensión algebraica de K, entonces la clausura algebraica de L es también una clausura algebraica de K, y así L está contenida en la clausura algebraica de K.La clausura algebraica de K es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a K, ya que si M es cualquier cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K, entonces los elementos de M que son algebraicos sobre K forman una clausura algebraica de K. La clausura algebraica de un cuerpo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es infinito numerable si K es finito. En el caso del conjunto R de los números reales, su clausura algebraica es el conjunto C de los números complejos. (es)
- 数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、英: algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。 ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。 体 K の代数的閉包は K の最大の代数拡大と考えることができる。このことを見るためには、次のことに注意しよう。L を K の任意の代数拡大とすると、L の代数的閉包は K の代数的閉包でもあり、したがって L は K の代数的閉包に含まれる。K の代数的閉包はまた K を含む最小の代数的閉体でもある。なぜならば、M が K を含む任意の代数的閉体であれば、K 上代数的な M の元全体は K の代数的閉包をなすからだ。 体 K の代数的閉包の濃度は、K が無限体ならば K と同じで、K が有限体ならば可算無限である。 (ja)
- Een bewerking op twee elementen van hetzelfde lichaam, dezelfde groep of dezelfde ring, zoals de vermenigvuldiging van twee getallen, heet gesloten, als de uitkomst van die bewerking zelf ook weer een element is van dat lichaam, die groep of die ring. De definitie heeft betrekking op een bewerking in een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), een groep of een ring. Algebraïsch volledig wordt soms als synoniem voor algebraïsch gesloten gebruikt. Een lichaam heet gesloten, wanneer iedere polynoom met coëfficiënten in een nulpunt heeft in . Dat betekent, dat iedere polynoom van de graad , in één variabele , met coëfficiënten in , is te ontbinden als een product van verschillen en de constanten . (nl)
- In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo è la più piccola estensione algebrica di che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a le radici di tutti i polinomi a coefficienti in . Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di , invece che di una chiusura algebrica di . (it)
- Dado um corpo F, dizemos que uma E de F é um fecho algébrico de F quando E é uma extensão algébrica que é algebricamente fechada, isto é, contém todas as raizes de polinómios com coeficientes em F. Em certo sentido (isomorfismo), cada corpo F tem apenas um fecho algébrico pelo que este é por vezes referido como o fecho algébrico de F. (pt)
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| rdfs:comment
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- V oboru abstraktní algebry (podoboru matematiky) se algebraickým uzávěrem tělesa T rozumí jeho algebraicky uzavřené algebraické nadtěleso. (cs)
- Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht-konstante Polynom mit Koeffizienten in eine Nullstelle in hat. Ein Körper ist ein algebraischer Abschluss von , wenn er algebraisch abgeschlossen ist und ein algebraischer Erweiterungskörper von ist. Da ein algebraischer Abschluss bis auf Isomorphie eindeutig ist, spricht man häufig auch von dem algebraischen Abschluss. Das Auffinden von Nullstellen von Polynomen ist eine wichtige mathematische Aufgabenstellung, in einem algebraischen Abschluss kann zumindest deren Existenz gesichert werden. Tatsächlich kann man zeigen, dass es zu jedem Körper einen algebraischen Abschluss gibt. (de)
- 数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、英: algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。 ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。 体 K の代数的閉包は K の最大の代数拡大と考えることができる。このことを見るためには、次のことに注意しよう。L を K の任意の代数拡大とすると、L の代数的閉包は K の代数的閉包でもあり、したがって L は K の代数的閉包に含まれる。K の代数的閉包はまた K を含む最小の代数的閉体でもある。なぜならば、M が K を含む任意の代数的閉体であれば、K 上代数的な M の元全体は K の代数的閉包をなすからだ。 体 K の代数的閉包の濃度は、K が無限体ならば K と同じで、K が有限体ならば可算無限である。 (ja)
- In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo è la più piccola estensione algebrica di che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a le radici di tutti i polinomi a coefficienti in . Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di , invece che di una chiusura algebrica di . (it)
- Dado um corpo F, dizemos que uma E de F é um fecho algébrico de F quando E é uma extensão algébrica que é algebricamente fechada, isto é, contém todas as raizes de polinómios com coeficientes em F. Em certo sentido (isomorfismo), cada corpo F tem apenas um fecho algébrico pelo que este é por vezes referido como o fecho algébrico de F. (pt)
- In mathematics, particularly abstract algebra, an algebraic closure of a field K is an algebraic extension of K that is algebraically closed. It is one of many closures in mathematics. Using Zorn's lemma or the weaker ultrafilter lemma, it can be shown that , and that the algebraic closure of a field K is unique up to an isomorphism that fixes every member of K. Because of this essential uniqueness, we often speak of the algebraic closure of K, rather than an algebraic closure of K. (en)
- En matematiko, aparte en abstrakta algebro, tegaĵo de korpo K estas de K kiu estas . Ĝi estas unu el multaj en matematiko. Per , oni povas montri ke ĉiu korpo havas tegaĵon, kaj ke tegaĵo de korpo K estas unika (ĝis izomorfio) kaj por ĉiuj membroj de K. Pro ĉi tiu esenca unikeco, oni parolas pri la tegaĵo de K, ne simple pri tegaĵo de K. La tegaĵo de korpo K havas la saman kardinalecon kiel K se K estas malfinia, kaj estas kalkuleble malfinia se K estas finia. (eo)
- En Álgebra, la clausura algebraica (o cerradura algebraica) de un cuerpo K es una extensión algebraica de K que sea algebraicamente cerrada. Es una de las muchas que existen en matemáticas. Usando el Lema de Zorn, puede probarse que todo cuerpo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un cuerpo K es única salvo un isomorfismo que fija cada miembro de K. Por esta unicidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K, más que de una clausura algebraica de K. (es)
- En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L. Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans une clôture algébrique de K. (fr)
- Een bewerking op twee elementen van hetzelfde lichaam, dezelfde groep of dezelfde ring, zoals de vermenigvuldiging van twee getallen, heet gesloten, als de uitkomst van die bewerking zelf ook weer een element is van dat lichaam, die groep of die ring. De definitie heeft betrekking op een bewerking in een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), een groep of een ring. Algebraïsch volledig wordt soms als synoniem voor algebraïsch gesloten gebruikt. (nl)
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