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- Jako zlatý řez (latinsky sectio aurea) se označuje poměr o hodnotě přibližně 1,618 : 1 (resp. 1 : 0,618). V umění a fotografii je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami. Zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části. Hodnota tohoto poměru je rovna iracionálnímu číslu Již nejméně od renesance využívají zlatý řez umělci ve svých dílech, zejména ve formě tzv. zlatého obdélníku, ve kterém se zlatý řez vyskytuje jako poměr stran. Zlatý řez prý totiž působí esteticky příznivým dojmem; poměr zlatého řezu lze také pozorovat v přírodě. Značení písmenem φ začal na počátku 20. století používat , přičemž je zvolil na počest řeckého sochaře Feidia (cca 490–430 př. n. l.), který podle historiků ve svých dílech zlatý řez hojně využíval. Občas se používá také označení τ z řeckého tome = řez. (cs)
- La raó àuria, nombre auri, secció àuria o divina proporció és la proporció entre dos segments a i b (o per extensió, entre dues quantitats a i b) que compleixen la condició que la proporció entre la suma d'aquests dos segments i el segment més gran és la mateixa que hi ha entre el segment més gran i el segment més petit. Dit amb unes altres paraules, la suma dels dos segments és al segment gran com el segment gran és al segment petit. Anomenant a el segment (o nombre) gran i b el petit, la fórmula és: El quocient d'aquestes dues quantitats és un nombre irracional conegut com a nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra grega Φ o també φ (fi), en honor de Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys sovint amb τ (tau): A la cultura occidental s'ha considerat històricament, i de manera consistent, que les formes definides amb la proporció àuria són estèticament agradables. En diferents períodes s'han privilegiat les formes definides amb aquesta proporció, a l'arquitectura, l'art i el disseny. També s'ha fet servir la inversa, expressada com Φ-1. A voltes s'utilitza la fi minúscula (φ) per a la proporció inversa i la majúscula per a la proporció directa. La proporció àuria es troba recurrentment a la natura. Aquest fet, juntament amb el que tingui unes propietats matemàtiques remarcables, l'ha fet destacar com un camp matemàtic propi. (ca)
- النسبة الذهبية (بالإنجليزية: Golden Ratio) في الرياضيات تتحقق عندما يكون مجموع عددين مقسوم على أكبرهما يساوي خارج قسمة أكبر العددين على أصغرهما، أي أنه توجد كميتان في النسبة الذهبية إذا كانت نسبتهما هي نفس نسبة مجموعهما إلى أكبر الكميتين. يوضح الشكل الموجود على اليمين العلاقة الهندسية. فإذا كان a أكبر من b فإن النسبة الذهبية جبرياً هي تحقق: حيث الحرف اليوناني phi ( أو ) يمثل النسبة الذهبية. هو رقم غير نسبي يمثل حلًا للمعادلة التربيعية بقيمة: وهو ثابت رياضي معرف تبلغ قيمته 1.6180339887 تقريبا. لو نُظر إلى مستطيلات مختلفة، لوُجد بعضها أجمل من الآخر. وفي معظم الأحيان تكون نسبة أبعاد هذه المستطيلات بعضها إلى بعض هي نفسها. وتسمى هذه المستطيلات «المستطيلات الذهبية» وخارج قسمة طولها على عرضها يسمى «الرقم الذهبي». فنجد أنه في المستطيل الذهبي نسبة الطول إلى العرض تساوي . وجرت العادة أن يكتب الرقم الذهبي باعتماد الحرف الاغريقي Φ «يُنطق فاي أو في» أو رياضيا . وقد ظهرت هذه التسمية سنة 1914 وفاء لذكرى «فيدياس»، وهو نحّات قام بتزيين «البارثينون» في أثينا. ويظهر الرقم الذهبي أيضا في أشكال هندسية أخرى منها خماسي الأضلاع المنتظم، وهو شكل هندسي ذو خمس أضلاع محتوى في دائرة، وأضلاعه وزواياه كلها متقايسة. وفي هذا الشكل يمثل خارج قسمة القطر على أحد الأضلاع الرقم الذهبي وهو عرضة للتشكيك في كثير من الأحيان من حيث أن أرقام مشابهة تكون موجودة ويتم الترويج إلى أن الرقم موجود بذاته أو أن الرقم لا يكون موجوداً في حالات كثيرة ويُدعى أنه موجود. تسمى النسبة الذهبية أيضًا بالمتوسط الذهبي أو القسم الذهبي (لاتيني: مقطع aurea). وتشمل أسماء أخرى متطرفة ونسبة متوسط، قسم وسطي، نسبة الإلهية (اللاتينية: الإلهية proportio)، القسم الإلهي (اللاتينية: الإلهية التقطيعة)، نسبة الذهبية، وقطع ذهبية، ورقم ذهبي. درس علماء الرياضيات منذ إقليدس خصائص النسبة الذهبية، بما في ذلك مظهرها في أبعاد البنتاغون العادي وفي المستطيل الذهبي، والتي يمكن تقطيعها إلى مربع ومستطيل أصغر بنفس نسبة العرض إلى الارتفاع. تم استخدام النسبة الذهبية أيضًا لتحليل نسب الأشياء الطبيعية وكذلك الأنظمة التي من صنع الإنسان مثل الأسواق المالية، في بعض الحالات بناءً على نوبات مشكوك فيها للبيانات. تظهر النسبة الذهبية في بعض الأنماط في الطبيعة، بما في ذلك الترتيب الحلزوني للأوراق وأجزاء النبات الأخرى. قام بعض الفنانين والمهندسين المعماريين في القرن العشرين، بما في ذلك لو كوربوزييه وسلفادور دالي، بتناسب أعمالهم لتقريب النسبة الذهبية، معتقدين أن هذا ممتع من الناحية الجمالية. غالبًا ما تظهر هذه في شكل مستطيل ذهبي، حيث تكون نسبة الجانب الأطول إلى الأقصر هي النسبة الذهبية. (ar)
- Στα μαθηματικά και την τέχνη, δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη. Η εικόνα στα δεξιά αναπαριστά τη γεωμετρική ερμηνεία των παραπάνω. Εκφρασμένο αλγεβρικά: όπου το γράμμα αντιπροσωπεύει την χρυσή τομή. Η τιμή του είναι: Η χρυσή τομή αναφέρεται επίσης και ως χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας. Άλλα ονόματα είναι χρυσή μετριότητα και Θεϊκή αναλογία ενώ στον Ευκλείδη ο όρος ήταν άκρος και μέσος λόγος. Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του 20ού αιώνα προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν τη χρυσή αναλογία—ιδίως στη μορφή του χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη είναι η χρυσή τομή—πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία είναι αισθητικά ευχάριστη. Οι μαθηματικοί από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι σήμερα έχουν μελετήσει τις ιδιότητες της χρυσής τομής, συμπεριλαμβανομένης της εμφάνισής της στις διαστάσεις ενός κανονικού πενταγώνου και ενός χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, το οποίο (όπως φαίνεται και στη διπλανή εικόνα) μπορεί να χωριστεί σε ένα τετράγωνο και ένα παρόμοιο παραλληλόγραμμο με τον ίδιο λόγο πλευρών όπως το αρχικό. Η χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί επίσης για την ανάλυση των αναλογιών φυσικών αντικειμένων καθώς και τεχνητών συστημάτων όπως οι οικονομικές αγορές. (el)
- Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea, proportio divina, Bedeutung: Goldener Schnitt bzw. göttliche Proportion), gelegentlich auch stetige Teilung, einer Strecke bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken, sodass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf. Durch mathematische Formeln ausgedrückt gilt für den Goldenen Schnitt zweier Teilstrecken und (siehe Bild): oder Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine dimensionslose irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Die Folge ihrer Nachkommastellen zeigt daher auch kein periodisches Muster. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt bezeichnet. Als mathematisches Symbol für den Goldenen Schnitt wird meist der griechische Buchstabe Phi , seltener auch Tau oder verwendet. Es gilt wobei die Quadratwurzel aus 5 bezeichnet. Seit 2021 sind 10 Billionen Dezimalstellen des Goldenen Schnittes bekannt. Aus Sicht der Mathematik besitzt der goldene Schnitt zahlreiche besondere Eigenschaften. Neben der geometrischen Auffassung kann er auch als die positive Lösung der quadratischen Gleichung definiert werden. Er ist damit eine algebraische Zahl vom Grade 2. Bemerkenswert ist seine enge Verbindung zu der Fibonacci-Folge, die sich durch die explizite Binet-Formel ausdrückt, obgleich die Fibonacci-Folge zunächst nur rekursiv, also implizit, erklärt ist. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass der Goldene Schnitt unter den irrationalen Zahlen (bis auf eine gewisse Form der Äquivalenz) am schlechtesten durch Brüche angenähert werden kann. Zentrales Argument für diese Tatsache ist seine Kettenbruchentwicklung, die nur aus der Zahl 1 besteht, ergo unter allen Kettenbrüchen am langsamsten konvergiert. Die Kenntnis des Goldenen Schnittes ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen, war jedoch vor mehr als 2300 Jahren – vom Grundsatz her – nur wenigen bekannt. Vereinzelt schon im Spätmittelalter und besonders dann in der Renaissance, etwa durch Luca Pacioli und Johannes Kepler, wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Der Überlieferung nach erhielt er mit diesem Namen erst ab der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts größeren Bekanntheitsgrad. Die heute gebräuchliche Bezeichnung bzw. für den Zahlenwert geht auf den amerikanischen Mathematiker Mark Barr zurück, der sie um das Jahr 1909 herum einführte. Einigen bedeutenden Künstlern, wie Leonardo da Vinci, Friedrich Hölderlin oder Béla Bartók, wurde nachgesagt, den Goldenen Schnitt gezielt bei manchen ihrer Werke eingesetzt zu haben, jedoch gelten solche Aussagen bis heute als umstritten. Der Goldene Schnitt ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder. (de)
- La ora proporcio (latine sectio aurea) estas rilato inter du nombroj, plej ofte distancoj, rigardata en la arto kaj arkitekturo kiel centra nocio pri estetiko kaj perfekta harmonio. Plue la ora proporcio aperadas ankaŭ en la naturo kaj havas interesajn matematikajn ecojn. La oran nombron oni renkontas en la naturo, en arto ktp, sed unuavice en matematiko, kaj ĉefe ĝiajn matematikajn ecojn oni konsideras laŭ moderna vidpunkto, komencante per geometrio, kie ĝi rolas en pristudo de plurlateroj kaj pluredroj, sed ankaŭ en aritmetiko, kie, lige kun la vico de Fibonacci, ĝi havas unikajn ecojn. Fakuloj profunde traktas la diversajnmatematikajn ecojn kaj ligitajn demandojn, ekzemple kiuj regulaj plurlateroj krom la kvinlateroj estas desegneblaj per liniilo kaj cirkelo, kial por ĉiu reela nombro ekzistas frakcioj almenaŭ tiom proksimaj al la nombro kiel por la ora nombro (do ĝi estas la plej malbona rilate la eblon trovi proksimajn frakciojn). Ora sekco estas divido de difinita distanco je du partoj, per kiu la rilato de la malgranda parto al la granda estas la sama kiel la rilato de la granda al la tuto. Se la tuta longo estas a kaj la pli granda parto estas x, tiam la pli malgranda parto estas a – x. La proporcio estas do (a – x) : x = x : a. La bazo de la ora proporcio estas la nombro fi (Φ, φ) :
* Ora proporcio sur linio
* Aproksimo de per kvadratoj, oraj ortanguloj kaj cirkelo. Ora spiralo estas speciala tipo de logaritma spiralo.
* Konstruado de ora ortangulo per liniilo kaj cirkelo. (eo)
- Urrezko zenbakia matematikako zenbakirik ezagunenetariko bat da, ezagunena ez bada. Baditu beste hainbat izen ere: urrezko proportzioa, zerutiar zenbakia, jainkozko proportzioa eta abar. Zenbaki irrazionala da, eta hortaz ezinezkoa da hamartar guztiak ezagutzea eta askotan lehenengoak jakitearekin nahikoa da bere propietateez baliatzeko. Hiru zenbaki irrazional famatuetatik (Pi, e eta Fi), azken hau da ekuazio algebraiko batetik ateratzen den bakarra: x2 = x + 1 ekuazioaren emaitza positibo bakarra da. Hau da haren zenbakizko balioa, erradikalen edo hamartarren bidez: Aljebraikoki: Urrezko zenbakia φ (phi/fi) greziar letrarekin adierazi ohi da. Izen hori matematikari alemaniarrak jarri zion, Fidias eskultorearen ohorez, Partenoia eraikitzeko erabili omen zuena. Esparru askotan ikusi genezake, esaterako eta batzuk aipatzearren, anatomian, arkitekturan, landareen munduan... Pizkundetik gutxienez, artista eta arkitekto ugarik urrezko zenbakia erabili dute lanen proportzioak sortzerakoan, batez ere urrezko laukizuzenaren itxura hartuz. Laukizuzen honen bi aldeen arteko proportzioa da urrezkoa, estetikoki atsegina delakoan. (eu)
- El número áureo (también llamado número de oro, número de Dios, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias. Su valor numérico, mediante radicales o decimales es: Al ser irracional, no es posible representarlo con exactitud como una fracción decimal; se puede seguir calculando cifras, pero nunca se alcanza la última. También se representa con la letra griega tau (Τ τ), por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la letra griega alfa minúscula. Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal es infinita y no tiene periodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 ≈ 2,61803398874988…) y su recíproco (1/Φ ≈ 0,61803398874988…) tienen las mismas infinitas cifras decimales. Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte. (es)
- In mathematics, two quantities are in the golden ratio if their ratio is the same as the ratio of their sum to the larger of the two quantities. Expressed algebraically, for quantities and with , where the Greek letter phi ( or ) denotes the golden ratio. The constant satisfies the quadratic equation and is an irrational number with a value of 1.618033988749.... The golden ratio was called the extreme and mean ratio by Euclid, and the divine proportion by Luca Pacioli, and also goes by several other names. Mathematicians have studied the golden ratio's properties since antiquity. It is the ratio of a regular pentagon's diagonal to its side and thus appears in the construction of the dodecahedron and icosahedron. A golden rectangle—that is, a rectangle with an aspect ratio of —may be cut into a square and a smaller rectangle with the same aspect ratio. The golden ratio has been used to analyze the proportions of natural objects and artificial systems such as financial markets, in some cases based on dubious fits to data. The golden ratio appears in some patterns in nature, including the spiral arrangement of leaves and other parts of vegetation. Some 20th-century artists and architects, including Le Corbusier and Salvador Dalí, have proportioned their works to approximate the golden ratio, believing it to be aesthetically pleasing. These uses often appear in the form of a golden rectangle. (en)
- Sa mhatamaitic, an cóimheas a fhaightear má tá pointe P ag roinnt líne dírí AB ionas gur AP:PB = AB:AP = τ, ina gcomharthaítear é leis an siombail τ. Tugtar an meán órga air seo freisin. τ = (τ+1)/τ. Chuir Vitriúvias i bhfeidhm san ailtireacht é, agus bhí an-spéis ann san Athbheochan. Mar shampla, bunaithe ar an gcóimheas seo atá an pictiúr cáiliúil de chuid Pietro della Francesca, Batessimo di Cristo (Baisteadh Chríost, 1440-1460). (ga)
- Dalam matematika, dua nilai dianggap berada dalam hubungan rasio emas jika rasio antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yang besar sama dengan rasio antara nilai besar terhadap nilai kecil. Nilai yang lebih besar dilambangkan dengan huruf a, sedangkan nilai yang lebih kecil dilambangkan dengan huruf b. Gambar di sebelah kanan menggambarkan hubungan geometrik yang jika dirumuskan secara aljabar adalah sebagai berikut: dimana huruf Yunani phi mewakili rasio emas. Nilainya adalah: Setidaknya sejak Abad Renaisans, banyak seniman dan arsitek telah membuat proporsi karya sesuai dengan rasio emas—terutama dalam bentuk , yaitu perbandingan sisi panjang terhadap sisi pendek sesuai dengan nilai rasio emas—dipercaya proporsi ini secara estetika sangat ideal. Sebuah persegi panjang emas dapat dipotong menjadi persegi dan persegi panjang kecil dengan yang sama persis. Para ahli matematika sejak zaman Euclid telah mempelajari rasio emas karena sifatnya yang unik dan menarik. Rasio emas juga digunakan dalam analisis pasar keuangan, serta strategi seperti . Rasio emas sering kali disebut bagian emas (Latin: sectio aurea) atau rata-rata emas. Nama lainnya antara lain rasio ekstrem dan rata-rata, bagian tengah, proporsi ilahiah, bagian ilahiah (Latin: sectio divina), proporsi emas, potongan emas, angka emas, dan rata-rata Phidias. (in)
- Le nombre d'or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b), ce qui s'écrit : avec Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ ou (phi), et il est lié à l'angle d'or. Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation 2 = + 1. Il vaut : . Il intervient dans la construction du pentagone régulier. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(√5). Le nombre d'or s'observe aussi dans la nature (quelques phyllotaxies, par exemple chez les capitules du tournesol, pavage de Penrose de quasi-cristaux) ou dans quelques œuvres et monuments (architecture de Le Corbusier, musique de Xenakis, peinture de Dalí). L'histoire de cette proportion commence à une qui n'est pas connue avec certitude ; la première mention connue de la division en extrême et moyenne raison apparaît dans les Éléments d'Euclide. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme « divine proportion » en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des XIXe et XXe siècles où naissent les termes de « section dorée » et de « nombre d'or ». Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre mystique, comme une clé importante, voire explicative, dans la compréhension des structures du monde physique, particulièrement pour les critères de beauté et surtout d'harmonie ; sa présence est alors revendiquée dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique. Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie de cette vision, soutenue par des livres populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes. (fr)
- 黄金比（おうごんひ、英: golden ratio）とは、次の値で表される比のことである １ ： 以下で述べるような数理的な性質は、有理数にならないこの値のみが持つ性質であり、有理近似等には基本的には意味が無い。「デザインを美しくする」などといった巷間よく見られる説についてはを参照。小数に展開すると 1 : 1.6180339887... あるいは 0.6180339887... : 1 といった値となる。黄金比は貴金属比の一つである（第1貴金属比）。 幾何的には、a : b が黄金比ならば、 a : b = b : (a + b) という等式が成り立つことから、縦横比が黄金比の矩形から最大正方形を切り落とした残りの矩形は、やはり黄金比の矩形となり、もとの矩形の相似になるという性質がある。正五角形の1辺と対角線との比は黄金比に等しい。数列 a, b, a + b は、等比数列をなす。そのため、（中項 b と末項 a + b の比という意味で）中末比（ちゅうまつひ）とも呼ばれる。 線分を2つに分け、短い部分と長い部分の長さの比が、長い部分と全体の長さの比に等しくなるようにしたときの比であるため、外中比（がいちゅうひ、英: extreme and mean ratio）とも呼ばれる。黄金比で長さなどを分けることを黄金比分割または黄金分割（英: golden section または 英: golden cut）という。 黄金比における を黄金数（おうごんすう、英: golden number）という。しばしばギリシア文字の φ（ファイ）で表されるが、τ（タウ）を用いる場合もある。黄金数は、二次方程式 x2 − x − 1 = 0 の正の解である： (ja)
- La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due : Valgono pertanto le seguenti relazioni: Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di possiamo anche scrivere (1) da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi (2) Delle due soluzioni dell'equazione, quella positiva (unica ammissibile, essendo una quantità positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da: (3) La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ossia non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata effettuando il rapporto fra termini consecutivi della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa. I due segmenti e possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a e la sua altezza è pari ad : il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea. Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a otteniamo la frazione continua: Un'altra rappresentazione di come frazione continua è costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo: Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino. (it)
- 황금비(黃金比, 영어: Golden Ratio) 또는 황금분할(黃金分割)은 어떤 두 수의 비율이 그 합과 두 수중 큰 수의 비율과 같도록 하는 비율로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다. 또한 수학적으로 로 정의된다. 유클리드(원론 3, 141)가 그 특징을 연구한 이래로 많은 수학자들이 자연에서 찾을 수 있는 황금비율을 연구해 왔다. (ko)
- De gulden snede, sectio aurea of sectio divina, ook wel de verdeling in uiterste en middelste reden genaamd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen met een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met en het kleinste deel met , dan is de verhouding van beide zo dat . De bedoelde verhouding wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter (phi); zoals hieronder aangetoond wordt, geldt: Het getal is dus irrationaal, maar niet transcendent. Er geldt ook: Hoewel de wiskundige eigenschappen van de gulden snede al in de oudheid werden bestudeerd, dateert de term "gulden snede" pas uit de jaren 30 van de 19e eeuw. (nl)
- Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Rysunek obok ilustruje ten związek geometrycznie. Wyrażony algebraicznie: Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. „fi”). Jej wartość wynosi: Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu. Co najmniej od XX wieku wielu artystów i architektów tworzyło swoje dzieła z zachowaniem złotego stosunku – szczególnie w formie złotego prostokąta, w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest równy złotej proporcji – zgodnie z poglądem, że takie proporcje wyglądają estetycznie (zobacz Zastosowania i obserwacje poniżej). Złoty prostokąt może być rozcięty na kwadrat i mniejszy prostokąt o tych samych proporcjach co rozcinany. Matematycy, począwszy od Euklidesa, badali złoty podział z powodu jego wyjątkowych i interesujących własności. Złoty podział jest także używany w analizie rynków finansowych, w strategiach takich jak zniesienia Fibonacciego (ang. Fibonacci retracement). Złoty podział (łac. sectio aurea) jest często nazywany złotym stosunkiem lub złotym środkiem. Inne nazwy obejmują złoty sposób, średni podział, boską proporcję, boski podział (łac. sectio divina), złotą proporcję, złote cięcie, złotą liczbę i środek Fidiasza. (pl)
- Золотое сечение (золотая пропорция, иначе: деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин и , при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть , является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции. Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка точкой на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: . Это понятие было распространено на произвольные величины. Число, равное отношению , обычно обозначается прописной греческой буквой (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой (тау). Из исходного равенства (например, принимая AB за 1, AC за неизвестную переменную y и BC за x, решая получившуюся систему уравнений x+y=1; x/y=1/x) нетрудно получить квадратное уравнение , а после и число: Обратное число, обозначаемое строчной буквой , Отсюда следует, что . Число называется также золотым числом. Для практических целей ограничиваются приблизительным значением ≈ 1,618 или ≈ 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление величины в отношении 62 % и 38 %. Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, 2 = + 1), но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства. (ru)
- Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega (PHI), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de se(c)ção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência. O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias. Desde a Antiguidade, a proporção áurea é usada na arte. É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi ), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado de forma aproximada no homem (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), nas colmeias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem de crescimento na natureza. Justamente por ser encontrado em estudos de crescimento, o número de ouro ganhou um status de "ideal", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. O fato de ser apoiado pela matemática é que o torna fascinante. (pt)
- Gyllene snittet, på latin: sectio aurea, är det förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b så att hela sträckan a + b förhåller sig till a som a förhåller sig till b: Gyllene snittet brukar betecknas med φ (den grekiska bokstaven fi). Det gyllene snittets värde är Ofta används också det omvända förhållandet 1/φ. Detta värde brukar betecknas med Φ (ett versalt fi): En rektangel vars sidor förhåller sig som det gyllene snittet kallas den gyllene rektangeln. Gyllene snittet var känt redan av Pythagoras och de gamla grekerna och genom tiderna, kanske framför allt under renässansen, har man i detta förhållande velat se en norm för den fullkomliga harmonin hos mått och proportioner inom måleriet, fotokonsten, arkitekturen och bildhuggarkonsten. Förespråkare har också velat se gyllene snittets proportioner i ett stort antal av naturens skapelser, något som dock har ifrågasatts. Matematikerna i det antika Grekland intresserade sig för det man nu kallar gyllene snittet eftersom värdet ständigt dök upp i olika geometriska figurer och kroppar som pentagrammet och ikosaedern. Upptäckten av förhållandet brukar tillskrivas Pythagoras och hans följeslagare. Dessa hade en regelbunden femhörning, med ett inskrivet regelbundet pentagram, som symbol. Den första exakta beskrivningen av gyllene snittet återfinns hos Euklides (cirka 300 f.Kr.). I sin Elementa betecknar han uppdelningen av en sträcka i gyllene snittets proportioner som "delning i extrem- och medelförhållande".Begreppet används i lösningen av flera av problemen i Elementa. Euklides beteckning var fram till mitten av 1800-talet den huvudsakligen använda. Den medeltida matematikern och franciskanermunken Luca Pacioli (1445–1517) betecknar i sitt verk De Divina Proportione, publicerad i Venedig år 1509, det gyllene snittet som "det gudomliga förhållandet". I den andra delen av detta verk avhandlas den romerske arkitekten Vitruvius idéer om den mänskliga kroppens proportioner som utgångspunkt för arkitektur. Skriften innehåller illustrationer av Leonardo da Vinci som undervisades i matematik av Pacioli. I en annan av da Vincis berömda teckningar, den Vitruvianske mannen från runt 1492, kan man hitta ett approximativt gyllene snitt i förhållandet mellan kvadratens sida och cirkelns radie. Namnet "det gyllene snittet" användes första gången 1835 av Martin Ohm, bror till Georg Ohm i en lärobok i matematik. (sv)
- У математиці та мистецтві дві величини утворюють золотий пере́тин, якщо відношення їхньої суми до більшої величини дорівнює відношенню більшої до меншої. Це відношення заведено позначати грецькою буквою (фі). Золотий перетин вважається співвідношенням найвідповіднішим естетичному сприйняттю зображення. Застосовується в мистецтві й архітектурі, найчастіше як золотий прямокутник. Золотий прямокутник утворюється при поділі відрізку в такій точці , що площа прямокутника, одною стороною якого є весь відрізок, а іншою — менший з відрізків, дорівнює площі квадрата з більшим відрізком як стороною. . Це рівняння має єдиний додатний розв’язок Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8. Число деколи називають золотим числом. (uk)
- 黃金比例（英語：golden ratio），又稱黄金分割比、黄金分割率，是一個數學常數，一般以希臘字母表示。可以透過以下代數式定義： 這也是黃金比例一名的由來。黄金比例的準確值為，所以是无理数，而大約值則為（小數點後20位， ）： 应用时一般取1.618，就像圆周率在应用时取3.1416一样。 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，而且呈現於不少動物和植物的外觀。現今普遍很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均應用了黄金分割，提高其美觀性。 (zh)
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- Sa mhatamaitic, an cóimheas a fhaightear má tá pointe P ag roinnt líne dírí AB ionas gur AP:PB = AB:AP = τ, ina gcomharthaítear é leis an siombail τ. Tugtar an meán órga air seo freisin. τ = (τ+1)/τ. Chuir Vitriúvias i bhfeidhm san ailtireacht é, agus bhí an-spéis ann san Athbheochan. Mar shampla, bunaithe ar an gcóimheas seo atá an pictiúr cáiliúil de chuid Pietro della Francesca, Batessimo di Cristo (Baisteadh Chríost, 1440-1460). (ga)
- 황금비(黃金比, 영어: Golden Ratio) 또는 황금분할(黃金分割)은 어떤 두 수의 비율이 그 합과 두 수중 큰 수의 비율과 같도록 하는 비율로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다. 또한 수학적으로 로 정의된다. 유클리드(원론 3, 141)가 그 특징을 연구한 이래로 많은 수학자들이 자연에서 찾을 수 있는 황금비율을 연구해 왔다. (ko)
- 黃金比例（英語：golden ratio），又稱黄金分割比、黄金分割率，是一個數學常數，一般以希臘字母表示。可以透過以下代數式定義： 這也是黃金比例一名的由來。黄金比例的準確值為，所以是无理数，而大約值則為（小數點後20位， ）： 应用时一般取1.618，就像圆周率在应用时取3.1416一样。 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，而且呈現於不少動物和植物的外觀。現今普遍很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均應用了黄金分割，提高其美觀性。 (zh)
- النسبة الذهبية (بالإنجليزية: Golden Ratio) في الرياضيات تتحقق عندما يكون مجموع عددين مقسوم على أكبرهما يساوي خارج قسمة أكبر العددين على أصغرهما، أي أنه توجد كميتان في النسبة الذهبية إذا كانت نسبتهما هي نفس نسبة مجموعهما إلى أكبر الكميتين. يوضح الشكل الموجود على اليمين العلاقة الهندسية. فإذا كان a أكبر من b فإن النسبة الذهبية جبرياً هي تحقق: حيث الحرف اليوناني phi ( أو ) يمثل النسبة الذهبية. هو رقم غير نسبي يمثل حلًا للمعادلة التربيعية بقيمة: وهو ثابت رياضي معرف تبلغ قيمته 1.6180339887 تقريبا. فنجد أنه في المستطيل الذهبي نسبة الطول إلى العرض تساوي . (ar)
- La raó àuria, nombre auri, secció àuria o divina proporció és la proporció entre dos segments a i b (o per extensió, entre dues quantitats a i b) que compleixen la condició que la proporció entre la suma d'aquests dos segments i el segment més gran és la mateixa que hi ha entre el segment més gran i el segment més petit. Dit amb unes altres paraules, la suma dels dos segments és al segment gran com el segment gran és al segment petit. Anomenant a el segment (o nombre) gran i b el petit, la fórmula és: (ca)
- Jako zlatý řez (latinsky sectio aurea) se označuje poměr o hodnotě přibližně 1,618 : 1 (resp. 1 : 0,618). V umění a fotografii je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami. Zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části. Hodnota tohoto poměru je rovna iracionálnímu číslu (cs)
- Στα μαθηματικά και την τέχνη, δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη. Η εικόνα στα δεξιά αναπαριστά τη γεωμετρική ερμηνεία των παραπάνω. Εκφρασμένο αλγεβρικά: όπου το γράμμα αντιπροσωπεύει την χρυσή τομή. Η τιμή του είναι: Η χρυσή τομή αναφέρεται επίσης και ως χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας. Άλλα ονόματα είναι χρυσή μετριότητα και Θεϊκή αναλογία ενώ στον Ευκλείδη ο όρος ήταν άκρος και μέσος λόγος. (el)
- Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea, proportio divina, Bedeutung: Goldener Schnitt bzw. göttliche Proportion), gelegentlich auch stetige Teilung, einer Strecke bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken, sodass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf. oder (de)
- La ora proporcio (latine sectio aurea) estas rilato inter du nombroj, plej ofte distancoj, rigardata en la arto kaj arkitekturo kiel centra nocio pri estetiko kaj perfekta harmonio. Plue la ora proporcio aperadas ankaŭ en la naturo kaj havas interesajn matematikajn ecojn. Ora sekco estas divido de difinita distanco je du partoj, per kiu la rilato de la malgranda parto al la granda estas la sama kiel la rilato de la granda al la tuto. Se la tuta longo estas a kaj la pli granda parto estas x, tiam la pli malgranda parto estas a – x. La proporcio estas do (a – x) : x = x : a.
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- El número áureo (también llamado número de oro, número de Dios, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias. Su valor numérico, mediante radicales o decimales es: Al ser irracional, no es posible representarlo con exactitud como una fracción decimal; se puede seguir calculando cifras, pero nunca se alcanza la última. (es)
- In mathematics, two quantities are in the golden ratio if their ratio is the same as the ratio of their sum to the larger of the two quantities. Expressed algebraically, for quantities and with , where the Greek letter phi ( or ) denotes the golden ratio. The constant satisfies the quadratic equation and is an irrational number with a value of 1.618033988749.... The golden ratio was called the extreme and mean ratio by Euclid, and the divine proportion by Luca Pacioli, and also goes by several other names. (en)
- Urrezko zenbakia matematikako zenbakirik ezagunenetariko bat da, ezagunena ez bada. Baditu beste hainbat izen ere: urrezko proportzioa, zerutiar zenbakia, jainkozko proportzioa eta abar. Zenbaki irrazionala da, eta hortaz ezinezkoa da hamartar guztiak ezagutzea eta askotan lehenengoak jakitearekin nahikoa da bere propietateez baliatzeko. Hiru zenbaki irrazional famatuetatik (Pi, e eta Fi), azken hau da ekuazio algebraiko batetik ateratzen den bakarra: x2 = x + 1 ekuazioaren emaitza positibo bakarra da. Hau da haren zenbakizko balioa, erradikalen edo hamartarren bidez: Aljebraikoki: (eu)
- Le nombre d'or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b), ce qui s'écrit : avec Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ ou (phi), et il est lié à l'angle d'or. . (fr)
- Dalam matematika, dua nilai dianggap berada dalam hubungan rasio emas jika rasio antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yang besar sama dengan rasio antara nilai besar terhadap nilai kecil. Nilai yang lebih besar dilambangkan dengan huruf a, sedangkan nilai yang lebih kecil dilambangkan dengan huruf b. Gambar di sebelah kanan menggambarkan hubungan geometrik yang jika dirumuskan secara aljabar adalah sebagai berikut: dimana huruf Yunani phi mewakili rasio emas. Nilainya adalah: (in)
- La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due : Valgono pertanto le seguenti relazioni: Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di possiamo anche scrivere (1) da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi (2) (3) (it)
- 黄金比（おうごんひ、英: golden ratio）とは、次の値で表される比のことである １ ： 以下で述べるような数理的な性質は、有理数にならないこの値のみが持つ性質であり、有理近似等には基本的には意味が無い。「デザインを美しくする」などといった巷間よく見られる説についてはを参照。小数に展開すると 1 : 1.6180339887... あるいは 0.6180339887... : 1 といった値となる。黄金比は貴金属比の一つである（第1貴金属比）。 幾何的には、a : b が黄金比ならば、 a : b = b : (a + b) という等式が成り立つことから、縦横比が黄金比の矩形から最大正方形を切り落とした残りの矩形は、やはり黄金比の矩形となり、もとの矩形の相似になるという性質がある。正五角形の1辺と対角線との比は黄金比に等しい。数列 a, b, a + b は、等比数列をなす。そのため、（中項 b と末項 a + b の比という意味で）中末比（ちゅうまつひ）とも呼ばれる。 黄金比における を黄金数（おうごんすう、英: golden number）という。しばしばギリシア文字の φ（ファイ）で表されるが、τ（タウ）を用いる場合もある。黄金数は、二次方程式 x2 − x − 1 = 0 の正の解である： (ja)
- De gulden snede, sectio aurea of sectio divina, ook wel de verdeling in uiterste en middelste reden genaamd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen met een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met en het kleinste deel met , dan is de verhouding van beide zo dat . De bedoelde verhouding wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter (phi); zoals hieronder aangetoond wordt, geldt: (nl)
- Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Rysunek obok ilustruje ten związek geometrycznie. Wyrażony algebraicznie: Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. „fi”). Jej wartość wynosi: (pl)
- Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega (PHI), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de se(c)ção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência. O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias. (pt)
- Gyllene snittet, på latin: sectio aurea, är det förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b så att hela sträckan a + b förhåller sig till a som a förhåller sig till b: Gyllene snittet brukar betecknas med φ (den grekiska bokstaven fi). Det gyllene snittets värde är Ofta används också det omvända förhållandet 1/φ. Detta värde brukar betecknas med Φ (ett versalt fi): En rektangel vars sidor förhåller sig som det gyllene snittet kallas den gyllene rektangeln. (sv)
- Золотое сечение (золотая пропорция, иначе: деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин и , при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть , является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509), но закономерность подобных отношений была известна гораздо ра (ru)
- У математиці та мистецтві дві величини утворюють золотий пере́тин, якщо відношення їхньої суми до більшої величини дорівнює відношенню більшої до меншої. Це відношення заведено позначати грецькою буквою (фі). . Це рівняння має єдиний додатний розв’язок Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8. Число деколи називають золотим числом. (uk)
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