| dbo:abstract
|
- En matemáticas, el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z) de matrices de orden 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Las matrices A y −A se identifican entre sí. El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante . El nombre "grupo modular" proviene de su relación con los y no guarda relación con la aritmética modular. (es)
- In mathematics, the modular group is the projective special linear group PSL(2, Z) of 2 × 2 matrices with integer coefficients and determinant 1. The matrices A and −A are identified. The modular group acts on the upper-half of the complex plane by fractional linear transformations, and the name "modular group" comes from the relation to moduli spaces and not from modular arithmetic. (en)
- En mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, ℤ), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, ℤ) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, ℤ) dans le groupe de Lie PGL(2, ℝ). On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. (fr)
- In matematica, il gruppo modulare è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici. (it)
- 数学においてモジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。 (ja)
- In de wiskunde is de modulaire groep, meestal aangeduid met het symbool , een groep van speciale transformaties van de bovenste helft van het complexe vlak. De modulaire groep is een fundamenteel object van studie in de getaltheorie, de meetkunde, de abstracte algebra en vele andere gebieden van de hogere wiskunde. De modulaire groep kan worden gerepresenteerd als een groep van meetkundige transformaties of als een groep van matrices. De naam komt van de relatie met moduliruimten en niet van modulair rekenen. (nl)
- 수학에서 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 , 로 주어진다. 기호는 또는 . (ko)
- Grupa modularna (Gamma) – grupa o bogatej strukturze, stanowiąca obiekt zainteresowania i badań w wielu dziedzinach matematyki, m.in. w teorii liczb, i geometrii algebraicznej. można zdefiniować w terminach przekształceń geometrycznych lub macierzy. (pl)
- Модулярна група — група всіх дробово-лінійних перетворень виду де — цілі числа, причому . Модулярна група ототожнюється з факторгрупою . Тут — спеціальна лінійна група. де — цілі числа . (uk)
- Em matemática, o grupo modular é o grupo linear especial projetivo PSL(2, Z) de matrizes 2 × 2 com coeficientes inteiros e determinante um. As matrizes A e −A são identificadas. O grupo modular age na metade superior do plano complexo por meio de transformações fracionárias lineares, e o nome "grupo modular" vem da relação com espaços de módulos e não da aritmética modular. (pt)
- Inom matematiken är modulära gruppen Γ ett fundamentalt objekt inom talteori, geometri, abstrakt algebra och många andra delar inom matematiken. Modulära gruppen kan ses som en grupp av geometriska transformationer eller som en grupp av matriser. (sv)
- Модулярная группа — группа всех преобразований Мёбиуса вида где — целые числа, причём . Модулярная группа отождествляется с факторгруппой . Здесь — группа матриц где — целые числа, . Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими и соотношениями , то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой , и циклической группы порядка 3, порождённой . Для произвольного преобразования из модулярной группы справедливо равенство: Поскольку мнимая часть ненулевая, а числа и — целые, не равные нулю одновременно, то величина отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума. Фундаментальная область (каноническая) модулярной группы — это замкнутая область Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из . Из этого следует, что для того, чтобы две точки принадлежали , их мнимая часть должна быть одинакова: . Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки: 1.
* — любая точка; 2.
* 3.
* 4.
* В частности, все точки области имеют тривиальный стабилизатор, кроме трёх: 1.
* 2.
* 3.
* Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки отображаются инъективно, тогда как граничные — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой . Чтобы показать, что всякая точка из конгруэнтна некоторой точке из , рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями и , точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит (иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования можно было бы строго увеличить мнимую часть). Легко показать также, что преобразования и порождают всю модулярную группу. Пусть — произвольное модулярное преобразование и — внутренняя точка . Как описано выше, найдём преобразование переводящее в область . Точки и лежат в , причём — внутренняя, следовательно, . Тогда преобразование лежит в стабилизаторе точки , который тривиален. Следовательно, лежит в группе, порождённой преобразованиями и . Интерес к модулярной группе связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью которых является факторпространство , отождествляемое с фундаментальной областью модулярной группы. Фундаментальная область имеет конечную площадь (в смысле геометрии Лобачевского), то есть модулярная группа есть фуксова группа первого рода. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- En matemáticas, el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z) de matrices de orden 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Las matrices A y −A se identifican entre sí. El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante . El nombre "grupo modular" proviene de su relación con los y no guarda relación con la aritmética modular. (es)
- In mathematics, the modular group is the projective special linear group PSL(2, Z) of 2 × 2 matrices with integer coefficients and determinant 1. The matrices A and −A are identified. The modular group acts on the upper-half of the complex plane by fractional linear transformations, and the name "modular group" comes from the relation to moduli spaces and not from modular arithmetic. (en)
- En mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, ℤ), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, ℤ) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, ℤ) dans le groupe de Lie PGL(2, ℝ). On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. (fr)
- In matematica, il gruppo modulare è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici. (it)
- 数学においてモジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。 (ja)
- In de wiskunde is de modulaire groep, meestal aangeduid met het symbool , een groep van speciale transformaties van de bovenste helft van het complexe vlak. De modulaire groep is een fundamenteel object van studie in de getaltheorie, de meetkunde, de abstracte algebra en vele andere gebieden van de hogere wiskunde. De modulaire groep kan worden gerepresenteerd als een groep van meetkundige transformaties of als een groep van matrices. De naam komt van de relatie met moduliruimten en niet van modulair rekenen. (nl)
- 수학에서 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 , 로 주어진다. 기호는 또는 . (ko)
- Grupa modularna (Gamma) – grupa o bogatej strukturze, stanowiąca obiekt zainteresowania i badań w wielu dziedzinach matematyki, m.in. w teorii liczb, i geometrii algebraicznej. można zdefiniować w terminach przekształceń geometrycznych lub macierzy. (pl)
- Модулярна група — група всіх дробово-лінійних перетворень виду де — цілі числа, причому . Модулярна група ототожнюється з факторгрупою . Тут — спеціальна лінійна група. де — цілі числа . (uk)
- Em matemática, o grupo modular é o grupo linear especial projetivo PSL(2, Z) de matrizes 2 × 2 com coeficientes inteiros e determinante um. As matrizes A e −A são identificadas. O grupo modular age na metade superior do plano complexo por meio de transformações fracionárias lineares, e o nome "grupo modular" vem da relação com espaços de módulos e não da aritmética modular. (pt)
- Inom matematiken är modulära gruppen Γ ett fundamentalt objekt inom talteori, geometri, abstrakt algebra och många andra delar inom matematiken. Modulära gruppen kan ses som en grupp av geometriska transformationer eller som en grupp av matriser. (sv)
- Модулярная группа — группа всех преобразований Мёбиуса вида где — целые числа, причём . Модулярная группа отождествляется с факторгруппой . Здесь — группа матриц где — целые числа, . Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими и соотношениями , то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой , и циклической группы порядка 3, порождённой . Для произвольного преобразования из модулярной группы справедливо равенство: 1.
* 2.
* 3.
* (ru)
|
