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- في الهندسة الرياضية، تعرف الدوائر الأبولونية (بالإنجليزية: Apollonian circles) على أنها مجموعتين من الدوائر بجيث تتقاطع كل دائرة من المجموعة الأولى مع كل دائرة في المجموعة الثانية بشكل متعامد (زاوية قائمة). وتشكل هذه الدوائر أساس . تم اكتشاف هذه الدوائر من قبل أبولونيوس بيرغا الإغريقي. (ar)
- La circumferència d'Apol·loni és el lloc geomètric dels punts la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant. A la figura, per a tots els punts del cercle, la raó és constant i la circumferència és el cercle d'Apol·loni dels punts i i la raó . Que el lloc geomètric dels punts, la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant, és una circumferència es pot demostrar fàcilment: Siguin i els dos punts, i dos punts sobre la recta que fan i un punt fora de la recta que també fa .Ara considerem els segments i i els segments i que els són respectivament paral·lels. Segons el teorema de Tales, cosa que, amb les hipòtesis inicials, implica i, per tant, i els triangles i són isòsceles. En conseqüència, però i tot obtenint que i En conseqüència, els segments i són perpendiculars i per tant, el punt és sobre el cercle de diàmetre , que és el cercle d'Apol·loni del cas. (ca)
- In geometry, Apollonian circles are two families (pencils) of circles such that every circle in the first family intersects every circle in the second family orthogonally, and vice versa. These circles form the basis for bipolar coordinates. They were discovered by Apollonius of Perga, a renowned Greek geometer. (en)
- Un círculo de Apolonio es cualquiera de los muchos tipos de círculos asociados con Apolonio de Perga, un renombrado geómetra griego. La mayoría de estos círculos son encontrados en la Geometría euclidiana, pero círculos análogos han sido definidos en otras superficies; por ejemplo, en la superficie de la esfera, estos últimos son definidos por medio de la Proyección Estereográfica. Los principales usos del Círculo de Apolonio son los siguientes: 1.
* Apolonio mostró que un círculo puede ser definido como un conjunto de puntos en un plano que guardan una razón específica de distancias a dos puntos fijos conocidos como focos. Estos Círculos de Apolonio son la base del "Problema de la Persecución de Apolonio". 2.
* Los Círculos de Apolonio son dos familias de círculos mutuamente ortogonales. La primera familia de círculos es el de todas las posibles razones de distancias a dos puntos fijos llamados focos, mientras la segunda familia consiste en todos los posibles círculos que pasan a través de ambos. Estos últimos círculos son la base de la coordenadas bipolares. 3.
* El problema de Apolonio consiste en construir círculos que son simultáneamente tangentes a tres circunferencias dadas. La solución a este problema es a veces llamado "Las Circunferencias de Apolonio". 4.
* El Tamiz de Apolonio —uno de los primeros fractales jamás descriptos— es un conjunto de círculos mutuamente tangentes, formados tras resolver el "Problema de Apolonio" de manera repetida. 5.
* Los puntos isodinámicos y la Línea de Lemoine de un triángulo puede ser resuelto usando tres círculos, los cuales pasan cada uno a través de un vértice del triángulo y mantienen un radio constante de distancias a otros dos. (es)
- In der Geometrie ist der Kreis des Apollonios (auch Kreis des Apollonius oder apollonischer Kreis) ein spezieller geometrischer Ort, nämlich die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis der Entfernungen zu zwei vorgegebenen Punkten einen vorgegebenen Wert hat. Der Kreis des Apollonios ist nicht zu verwechseln mit dem apollonischen Problem, einem Berührkreis-Problem. Namensgeber ist in beiden Fällen Apollonios von Perge. (de)
- La circunferencia de Apolonio es un famoso problema acerca de lugares geométricos: dados dos puntos A y B, se trata de determinar el lugar geométrico de los puntos del plano P que cumplen: PA/PB = r, siendo r una constante. En el caso r = 1 es fácil comprobar que el lugar geométrico descrito por el punto P es la recta mediatriz del segmento determinado por A y B. En el caso general (r distinto de 1) el lugar geométrico es una circunferencia de radio "k" cuyo centro está sobre el segmento AB. Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de Apolonio de los puntos A y B para la razón r. Además, se cumple que , siendo r el radio de la circunferencia de Apolonio de centro O; lo que significa que los puntos A y B son inversos respecto de la circunferencia de Apolonio. Por ello los puntos A, B y los dos puntos M y N que se obtienen como intersección de la circunferencia de Apolonio con la recta determinada por A y B constituyen una cuaterna armónica. (es)
- Il y a plusieurs candidats répondant au nom de cercle d'Apollonius. (fr)
- Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio. Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza. (it)
- アポロニウスの円（アポロニウスのえん）は、2A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。 (ja)
- 射影幾何学におけるアポロニウスの円全体の成す族は、根軸を共有する円束を成し、それに属するすべての円に直交する円全体もまたひとつの円束を成す。これらすべての円の族 (英: Apollonian circles) の成す直交する二つの束（円把; circle bundle, orthogonal net of circles）は双極座標系の基底を成す。古代ギリシアの著名な幾何学者ペルガのアポロニウスによって発見された。 (ja)
- Okrąg Apoloniusza – zbiór punktów, dla których stosunek odległości od pewnych dwóch ustalonych punktów jest stały i różny od jeden. Nazwany tak na cześć Apoloniusza z Pergi, który badał krzywe stożkowe. (pl)
- Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats van punten in het vlak bij gegeven punten en zodat en een vaste verhouding hebben, ofwel voor vaste Deze alternatieve beschrijving voor een cirkel is genoemd naar de Griekse astronoom en meetkundige Apollonius van Perga. (nl)
- Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице. Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. (ru)
- 阿波羅尼奧斯圓是兩個相關的圓族。第一個圓族的每一個藍色圓與第二個圓族的每一個紅色圓相互正交。這些圓構成了雙極坐標系的基。阿波羅尼奧斯圓是希臘數學家阿波羅尼奧斯（古希腊语：Ἀπολλώνιος）發現的。 (zh)
- Кола Аполлонія — дві сім'ї кіл, такі що кожне коло першої сім'ї перетинає кожне коло другої сім'ї ортогонально. Ці кола є основою біполярної системи координат. Вперше їх описав Аполлоній із Перги, відомий грецький математик. Кола Аполлонія задаються відрізком позначеним CD. Кола першої сім'ї (на рисунку справа синього кольору) задаються різним відношенням відстаней до точок C і D, для одного кола таке відношення стала величина. де Х — будь-яка точка на колі. Більші кола розміщуються навколо менших кіл, але вони не концентричні. Кола другої сім'ї (на рисунку червного кольору) всі проходять через точки C і D (uk)
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- في الهندسة الرياضية، تعرف الدوائر الأبولونية (بالإنجليزية: Apollonian circles) على أنها مجموعتين من الدوائر بجيث تتقاطع كل دائرة من المجموعة الأولى مع كل دائرة في المجموعة الثانية بشكل متعامد (زاوية قائمة). وتشكل هذه الدوائر أساس . تم اكتشاف هذه الدوائر من قبل أبولونيوس بيرغا الإغريقي. (ar)
- In geometry, Apollonian circles are two families (pencils) of circles such that every circle in the first family intersects every circle in the second family orthogonally, and vice versa. These circles form the basis for bipolar coordinates. They were discovered by Apollonius of Perga, a renowned Greek geometer. (en)
- In der Geometrie ist der Kreis des Apollonios (auch Kreis des Apollonius oder apollonischer Kreis) ein spezieller geometrischer Ort, nämlich die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis der Entfernungen zu zwei vorgegebenen Punkten einen vorgegebenen Wert hat. Der Kreis des Apollonios ist nicht zu verwechseln mit dem apollonischen Problem, einem Berührkreis-Problem. Namensgeber ist in beiden Fällen Apollonios von Perge. (de)
- Il y a plusieurs candidats répondant au nom de cercle d'Apollonius. (fr)
- Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio. Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza. (it)
- アポロニウスの円（アポロニウスのえん）は、2A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。 (ja)
- 射影幾何学におけるアポロニウスの円全体の成す族は、根軸を共有する円束を成し、それに属するすべての円に直交する円全体もまたひとつの円束を成す。これらすべての円の族 (英: Apollonian circles) の成す直交する二つの束（円把; circle bundle, orthogonal net of circles）は双極座標系の基底を成す。古代ギリシアの著名な幾何学者ペルガのアポロニウスによって発見された。 (ja)
- Okrąg Apoloniusza – zbiór punktów, dla których stosunek odległości od pewnych dwóch ustalonych punktów jest stały i różny od jeden. Nazwany tak na cześć Apoloniusza z Pergi, który badał krzywe stożkowe. (pl)
- Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats van punten in het vlak bij gegeven punten en zodat en een vaste verhouding hebben, ofwel voor vaste Deze alternatieve beschrijving voor een cirkel is genoemd naar de Griekse astronoom en meetkundige Apollonius van Perga. (nl)
- Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице. Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. (ru)
- 阿波羅尼奧斯圓是兩個相關的圓族。第一個圓族的每一個藍色圓與第二個圓族的每一個紅色圓相互正交。這些圓構成了雙極坐標系的基。阿波羅尼奧斯圓是希臘數學家阿波羅尼奧斯（古希腊语：Ἀπολλώνιος）發現的。 (zh)
- La circumferència d'Apol·loni és el lloc geomètric dels punts la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant. A la figura, per a tots els punts del cercle, la raó és constant i la circumferència és el cercle d'Apol·loni dels punts i i la raó . cosa que, amb les hipòtesis inicials, implica i, per tant, i els triangles i són isòsceles. En conseqüència, però i tot obtenint que i En conseqüència, els segments i són perpendiculars i per tant, el punt és sobre el cercle de diàmetre , que és el cercle d'Apol·loni del cas. (ca)
- Un círculo de Apolonio es cualquiera de los muchos tipos de círculos asociados con Apolonio de Perga, un renombrado geómetra griego. La mayoría de estos círculos son encontrados en la Geometría euclidiana, pero círculos análogos han sido definidos en otras superficies; por ejemplo, en la superficie de la esfera, estos últimos son definidos por medio de la Proyección Estereográfica. Los principales usos del Círculo de Apolonio son los siguientes: (es)
- La circunferencia de Apolonio es un famoso problema acerca de lugares geométricos: dados dos puntos A y B, se trata de determinar el lugar geométrico de los puntos del plano P que cumplen: PA/PB = r, siendo r una constante. En el caso r = 1 es fácil comprobar que el lugar geométrico descrito por el punto P es la recta mediatriz del segmento determinado por A y B. (es)
- Кола Аполлонія — дві сім'ї кіл, такі що кожне коло першої сім'ї перетинає кожне коло другої сім'ї ортогонально. Ці кола є основою біполярної системи координат. Вперше їх описав Аполлоній із Перги, відомий грецький математик. Кола Аполлонія задаються відрізком позначеним CD. Кола першої сім'ї (на рисунку справа синього кольору) задаються різним відношенням відстаней до точок C і D, для одного кола таке відношення стала величина. (uk)
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- دوائر أبولونية (ar)
- Circumferència d'Apol·loni (ca)
- Kreis des Apollonios (de)
- Apollonian circles (en)
- Círculo de Apolonio (es)
- Circunferencia de Apolonio (es)
- Cercles d'Apollonius (fr)
- Cerchio di Apollonio (it)
- アポロニウスの円 (ja)
- アポロニウスの円束 (ja)
- Cirkel van Apollonius (nl)
- Okrąg Apoloniusza (pl)
- Окружность Аполлония (ru)
- 阿波羅尼奧斯圓 (zh)
- Кола Аполлонія (uk)
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