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- في الجبر، القاسم المشترك الأكبر لمتعددتي حدود (بالإنجليزية: Polynomial greatest common divisor) هو متعددة حدود ذات أقصى درجة ممكنة، تقسم كلا من متعددتي الحدود الأصليتين. هذا المفهوم يشبه مفهوم القاسم المشترك الأكبر لدى الأعداد الطبيعية. (ar)
- En álgebra, el MÁXIMO común divisor (frecuentemente abreviado como MCD) de dos polinomios es otro polinomio del grado más alto posible, que es un factor de los dos polinomios originales. Este concepto es análogo al de máximo común divisor de dos enteros. En el caso importante de polinomios de una sola variable sobre un cuerpo, el polinomio MCD puede ser calculado, como el MCD de dos enteros, mediante el algoritmo de Euclides usando la división polinómica. El polinomio MCD (salvo si se exceptúa la multiplicación por una constante invertible), es único. La similitud entre el entero MCD y el polinomio MCD permite extender a polinomios de una variable todas las propiedades que se pueden deducir del algoritmo euclidiano y de la división euclídea. Además, el polinomio MCD tiene propiedades específicas que lo convierten en una noción fundamental en diversas áreas del álgebra. Normalmente, las raíces del MCD de dos polinomios son las raíces comunes de los dos polinomios, y esto proporciona información sobre las raíces sin necesidad de calcularlas. Por ejemplo, las raíces múltiples de un polinomio son las raíces del MCD del propio polinomio y de su derivada, y los cálculos adicionales del MCD permiten calcular el polinomio libre de cuadrados del polinomio de partida, lo que proporciona polinomios cuyas raíces son las raíces de un múltiples del polinomio original. El máximo común divisor puede definirse y existe, de manera más general, para polinomios sobre un cuerpo numérico o sobre el anillo de los números enteros, y también sobre un dominio de factorización única. Existen algoritmos para calcularlos si se dispone de un algoritmo para calcular el MCD en el anillo de coeficientes. Estos algoritmos proceden mediante una recursión sobre el número de variables para reducir el problema a una variante del algoritmo euclidiano. Son una herramienta fundamental en cálculo simbólico, porque los sistemas algebraicos computacionales los usan sistemáticamente para simplificar fracciones. Por el contrario, la mayor parte de la teoría moderna del MCD polinómico se ha desarrollado para satisfacer la necesidad de eficiencia de los sistemas de álgebra por computadora. (es)
- In algebra, the greatest common divisor (frequently abbreviated as GCD) of two polynomials is a polynomial, of the highest possible degree, that is a factor of both the two original polynomials. This concept is analogous to the greatest common divisor of two integers. In the important case of univariate polynomials over a field the polynomial GCD may be computed, like for the integer GCD, by the Euclidean algorithm using long division. The polynomial GCD is defined only up to the multiplication by an invertible constant. The similarity between the integer GCD and the polynomial GCD allows extending to univariate polynomials all the properties that may be deduced from the Euclidean algorithm and Euclidean division. Moreover, the polynomial GCD has specific properties that make it a fundamental notion in various areas of algebra. Typically, the roots of the GCD of two polynomials are the common roots of the two polynomials, and this provides information on the roots without computing them. For example, the multiple roots of a polynomial are the roots of the GCD of the polynomial and its derivative, and further GCD computations allow computing the square-free factorization of the polynomial, which provides polynomials whose roots are the roots of a given multiplicity of the original polynomial. The greatest common divisor may be defined and exists, more generally, for multivariate polynomials over a field or the ring of integers, and also over a unique factorization domain. There exist algorithms to compute them as soon as one has a GCD algorithm in the ring of coefficients. These algorithms proceed by a recursion on the number of variables to reduce the problem to a variant of the Euclidean algorithm. They are a fundamental tool in computer algebra, because computer algebra systems use them systematically to simplify fractions. Conversely, most of the modern theory of polynomial GCD has been developed to satisfy the need for efficiency of computer algebra systems. (en)
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- في الجبر، القاسم المشترك الأكبر لمتعددتي حدود (بالإنجليزية: Polynomial greatest common divisor) هو متعددة حدود ذات أقصى درجة ممكنة، تقسم كلا من متعددتي الحدود الأصليتين. هذا المفهوم يشبه مفهوم القاسم المشترك الأكبر لدى الأعداد الطبيعية. (ar)
- En álgebra, el MÁXIMO común divisor (frecuentemente abreviado como MCD) de dos polinomios es otro polinomio del grado más alto posible, que es un factor de los dos polinomios originales. Este concepto es análogo al de máximo común divisor de dos enteros. En el caso importante de polinomios de una sola variable sobre un cuerpo, el polinomio MCD puede ser calculado, como el MCD de dos enteros, mediante el algoritmo de Euclides usando la división polinómica. El polinomio MCD (salvo si se exceptúa la multiplicación por una constante invertible), es único. (es)
- In algebra, the greatest common divisor (frequently abbreviated as GCD) of two polynomials is a polynomial, of the highest possible degree, that is a factor of both the two original polynomials. This concept is analogous to the greatest common divisor of two integers. In the important case of univariate polynomials over a field the polynomial GCD may be computed, like for the integer GCD, by the Euclidean algorithm using long division. The polynomial GCD is defined only up to the multiplication by an invertible constant. (en)
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