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- La factorització d'un polinomi consisteix a escriure'l com a producte de polinomis. Les factoritzacions interessants són aquelles que permeten escriure el polinomi inicial com a producte de polinomis de grau inferior al grau del polinomi de sortida. Un polinomi per al qual no existeix cap factorització d'aquest tipus es diu un polinomi irreductible. La descomposició d'un polinomi en producte de polinomis irreductibles existeix, i és única, per a tot polinomi amb coeficients reals o complexos. Això també és cert quan els coeficients són en un anell factorial (anomenat també domini de factorització única), tant si el polinomi és d'una o diverses variables. Aquesta propietat és, per al conjunt dels polinomis, equivalent al teorema fonamental de l'aritmètica per al conjunt dels enters. La cerca d'una factorització és un problema algorísmic de dificultat variable en funció de, en primer lloc, l'anell de coeficients considerat, i en segon lloc, la mida d'aquests coeficients i el grau del polinomi. La factorització d'un polinomi és útil per reduir una funció racional en un producte de fraccions parcials. (ca)
- Als Faktorisierung von Polynomen in der Algebra versteht man analog zur Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen das Zerlegen von Polynomen in ein Produkt aus irreduziblen Polynomen. (de)
- En matemáticas y álgebra computacional, la factorización de polinomios o factorización polinómica se refiere a factorizar un polinomio con coeficientes en un campo dado o en los números enteros en factores irreducibles con coeficientes en el mismo dominio. Factorización polinómica es una de las herramientas fundamentales de los sistemas de álgebra computacional.EjemploLa historia de la factorización polinómica comienza con Hermann Schubert quien en 1793 describió el primer algoritmo de factorización de polinomios, y Leopold Kronecker, quien redescubrió el algoritmo de Schubert en 1882 y la amplió a polinomios multivariados y con coeficientes en una extensión algebraica. Pero la mayor parte de los conocimientos sobre este tema no es mayor que alrededor del año 1965 y los primeros sistemas de álgebra computacional. En una entrevista sobre el tema, Erich Kaltofen escribió en 1982 (véase la bibliografía): Cuando los algoritmos de pasos finitos largo tiempo conocidos se pusieron por primera vez en los ordenadores, resultaron ser altamente ineficiente. El hecho de que casi cualquier polinomio uni o multivariado de hasta grado 100 y con coeficientes de tamaño moderado (hasta 100 bits) se puede factorizar mediante algoritmos modernos en unos pocos minutos indica el éxito con que este problema se ha atacado durante los últimos quince años. (es)
- In mathematics and computer algebra, factorization of polynomials or polynomial factorization expresses a polynomial with coefficients in a given field or in the integers as the product of irreducible factors with coefficients in the same domain. Polynomial factorization is one of the fundamental components of computer algebra systems. The first polynomial factorization algorithm was published by Theodor von Schubert in 1793. Leopold Kronecker rediscovered Schubert's algorithm in 1882 and extended it to multivariate polynomials and coefficients in an algebraic extension. But most of the knowledge on this topic is not older than circa 1965 and the first computer algebra systems: When the long-known finite step algorithms were first put on computers, they turned out to be highly inefficient. The fact that almost any uni- or multivariate polynomial of degree up to 100 and with coefficients of a moderate size (up to 100 bits) can be factored by modern algorithms in a few minutes of computer time indicates how successfully this problem has been attacked during the past fifteen years. (Erich Kaltofen, 1982) Nowadays, modern algorithms and computers can quickly factor of degree more than 1000 having coefficients with thousands of digits. For this purpose, even for factoring over the rational numbers and number fields, a fundamental step is a factorization of a polynomial over a finite field. (en)
- En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes. Ceci est encore vrai lorsque les coefficients sont dans un anneau factoriel, que le polynôme soit à une ou plusieurs indéterminées. Cette propriété est, pour l'ensemble des polynômes, analogue au théorème fondamental de l'arithmétique pour l'ensemble des entiers. La recherche d'une factorisation est un problème algorithmique de difficulté variable suivant, en premier lieu, l'anneau de coefficients considéré, et en second lieu, la taille de ces coefficients et le degré du polynôme. La factorisation d'un polynôme est utile pour décomposer une fraction rationnelle en somme d'éléments simples. (fr)
- 数学および計算機代数における多項式の因数分解（いんすうぶんかい、英: factorization of polynomial, polynomial factorization; 多項式の分解）は、与えられた体あるいは整数を係数とする多項式を同じ範囲に係数を持つ既約因子の積として表すことおよびその過程を言う。多項式の分解は計算機代数システムの基本的なツールの一つである。 多項式の因数分解の歴史は、1793年にが多項式の分解アルゴリズムを記述したことに始まり、それを1882年に再発見したレオポルト・クロネッカーが多変数の代数体係数多項式に対して拡張している。しかし、このトピックにおける知識の大部分は計算機代数システムの登場する1965年ごろよりも遡らない。この主題に関するサーベイとして は1982年の文章に When the long-known finite step algorithms were first put on computers, they turned out to be highly inefficient. The fact that almost any uni- or multivariate polynomial of degree up to 100 and with coefficients of a moderate size (up to 100 bits) can be factored by modern algorithms in a few minutes of computer time indicates how successfully this problem has been attacked during the past fifteen years. （試訳: 古く知られた有限ステップのアルゴリズムを計算機に載せたとき、それらが極めて非効率なものであるとわかった。事実として、100次までの適度な大きさ (100ビット以下) の係数を持つほとんどの一変数あるいは多変数の多項式を、現代アルゴリズムはモノの数分の計算時間で分解できるということが、いかにこの問題がかかる15年の間に成功裏に攻略しつくされたかを指し示している。） と記している。 こんにちでは、現代アルゴリズムと計算機により、1000次より上で数千ディジットの係数を持つ場合でも整係数一変数多項式を素早く因数分解することができる。 (ja)
- Факторизация многочлена — представление данного многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней. Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен над полем комплексных чисел представим в виде произведения линейных многочленов, причём единственным образом с точностью до постоянного множителя и порядка следования сомножителей. Противоположностью факторизации полиномов является их , перемножение полиномиальных множителей для получения «расширенного» многочлена, записанного в виде суммы слагаемых. (ru)
- Inom matematik och datoralgebra innebär polynomfaktorisering att ett polynom delas upp som en produkt av faktorer som är enklast möjliga polynom. Idén är densamma som för uppdelning av ett sammansatt tal i primtalsfaktorer. Exempel: (sv)
- Fatoração polinomial (ou fatoração de polinômios) é um grupo de regularidades algébricas para expressar por meio de uma multiplicação indireta ou por produtos notáveis. (pt)
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- Als Faktorisierung von Polynomen in der Algebra versteht man analog zur Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen das Zerlegen von Polynomen in ein Produkt aus irreduziblen Polynomen. (de)
- Факторизация многочлена — представление данного многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней. Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен над полем комплексных чисел представим в виде произведения линейных многочленов, причём единственным образом с точностью до постоянного множителя и порядка следования сомножителей. Противоположностью факторизации полиномов является их , перемножение полиномиальных множителей для получения «расширенного» многочлена, записанного в виде суммы слагаемых. (ru)
- Inom matematik och datoralgebra innebär polynomfaktorisering att ett polynom delas upp som en produkt av faktorer som är enklast möjliga polynom. Idén är densamma som för uppdelning av ett sammansatt tal i primtalsfaktorer. Exempel: (sv)
- Fatoração polinomial (ou fatoração de polinômios) é um grupo de regularidades algébricas para expressar por meio de uma multiplicação indireta ou por produtos notáveis. (pt)
- La factorització d'un polinomi consisteix a escriure'l com a producte de polinomis. Les factoritzacions interessants són aquelles que permeten escriure el polinomi inicial com a producte de polinomis de grau inferior al grau del polinomi de sortida. Un polinomi per al qual no existeix cap factorització d'aquest tipus es diu un polinomi irreductible. La cerca d'una factorització és un problema algorísmic de dificultat variable en funció de, en primer lloc, l'anell de coeficients considerat, i en segon lloc, la mida d'aquests coeficients i el grau del polinomi. (ca)
- In mathematics and computer algebra, factorization of polynomials or polynomial factorization expresses a polynomial with coefficients in a given field or in the integers as the product of irreducible factors with coefficients in the same domain. Polynomial factorization is one of the fundamental components of computer algebra systems. (en)
- En matemáticas y álgebra computacional, la factorización de polinomios o factorización polinómica se refiere a factorizar un polinomio con coeficientes en un campo dado o en los números enteros en factores irreducibles con coeficientes en el mismo dominio. Factorización polinómica es una de las herramientas fundamentales de los sistemas de álgebra computacional.EjemploLa historia de la factorización polinómica comienza con Hermann Schubert quien en 1793 describió el primer algoritmo de factorización de polinomios, y Leopold Kronecker, quien redescubrió el algoritmo de Schubert en 1882 y la amplió a polinomios multivariados y con coeficientes en una extensión algebraica. Pero la mayor parte de los conocimientos sobre este tema no es mayor que alrededor del año 1965 y los primeros sistemas d (es)
- En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La recherche d'une factorisation est un problème algorithmique de difficulté variable suivant, en premier lieu, l'anneau de coefficients considéré, et en second lieu, la taille de ces coefficients et le degré du polynôme. (fr)
- 数学および計算機代数における多項式の因数分解（いんすうぶんかい、英: factorization of polynomial, polynomial factorization; 多項式の分解）は、与えられた体あるいは整数を係数とする多項式を同じ範囲に係数を持つ既約因子の積として表すことおよびその過程を言う。多項式の分解は計算機代数システムの基本的なツールの一つである。 多項式の因数分解の歴史は、1793年にが多項式の分解アルゴリズムを記述したことに始まり、それを1882年に再発見したレオポルト・クロネッカーが多変数の代数体係数多項式に対して拡張している。しかし、このトピックにおける知識の大部分は計算機代数システムの登場する1965年ごろよりも遡らない。この主題に関するサーベイとして は1982年の文章に （試訳: 古く知られた有限ステップのアルゴリズムを計算機に載せたとき、それらが極めて非効率なものであるとわかった。事実として、100次までの適度な大きさ (100ビット以下) の係数を持つほとんどの一変数あるいは多変数の多項式を、現代アルゴリズムはモノの数分の計算時間で分解できるということが、いかにこの問題がかかる15年の間に成功裏に攻略しつくされたかを指し示している。） と記している。 (ja)
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- Factorització dels polinomis (ca)
- Faktorisierung von Polynomen (de)
- Factorización de polinomios (es)
- Factorization of polynomials (en)
- Factorisation des polynômes (fr)
- 多項式の因数分解 (ja)
- Fatoração polinomial (pt)
- Факторизация многочленов (ru)
- Polynomfaktorisering (sv)
- Факторизація многочленів (uk)
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