| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, un polinomi P(X) és separable sobre un cos K si les seves arrels en una de K són diferents - és a dir P(X) té factors lineals diferents en una extensió de cos prou gran. Equivalentement, P és separable si i només si és coprimer amb la seva derivada P′. Els polinomis irreductibles sobre un són separables, el que inclou en particular tots els cossos de característica 0, i tots els cossos finits. Aquest criteri és de vital importància en la teoria de Galois. En aquest context, el concepte de separabilitat és de menor importància si P no se suposa irreductible, ja que les arrels repetides poden simplement reflectir que P no és . El criteri que ens porta a treure conclusions ràpides sobre si P és irreductible i no separable és que P′(X) = 0. Això només és possible en cossos de característica p: necessitem tenir P(X) = Q(Xp) on el nombre primer p és la característica. A continuació veurem un exemple: P(X) = Xp − T amb K un cos de funcions racionals en la indeterminada T sobre un cos finit amb p elements. Aquí un pot provar directament que P(X) és irreductible i no separable. De fet, aquest és el típic exemple on es pot veure la importància de la inseparabilitat; en termes geomètrics P representa l'aplicació en la recta projectiva sobre un cos finit, prenent coordenades com les seves potències pèssimes. Aquestes aplicacions són fonamentals en la geometria algebraica de cossos finits. Si L és l'extensió de cossos K(T1/p) (el cos de descomposició de P) aleshores L/K és un exemple d'extensió de cossos inseparable pura. És de grau p, però no té automorfismes que deixin fixa K, a banda de la identitat, ja que T1/p és l'única arrel de P. Això mostra que la teoria de Galois no és aplicable en aquest entorn. Es pot veure que el de L amb si mateix sobre K per a aquest exemple té elements nilpotents no nuls. Aquesta és una altra manifestació de la inseparabilitat: l'operació de producte tensorial en cossos necessita no produir un anell que sigui producte de cossos. Si P(x) és separable, i les seves arrels formen un grup (un subgrup del cos K), aleshores P(x) és un . (ca)
- En matemática, un polinomio P(X) es separable sobre un cuerpo K si sus raíces en una clausura algebraica de K son distintas - es decir P(X) tiene factores lineales distintos en una extensión de cuerpo suficientemente grande. Equivalentemente, P es separable si y solo si es coprimo con su derivada P′. Los polinomios irreducibles sobre un cuerpo perfecto son separables, lo que incluye en particular todos los cuerpos de característica 0, y todos los cuerpos finitos. Este criterio es de vital importancia en la teoría de Galois. En este contexto, el concepto de separabilidad es de menor importancia si P no se supone irreducible, ya que las raíces repetidas pueden simplemente reflejar que P no es libre de cuadrados. El criterio que nos lleva a sacar conclusiones rápidas sobre si P es irreducible y no separable es que P′(X) = 0. Esto solo es posible en cuerpos de característica p: necesitamos tener P(X) = Q(Xp) donde el número primo p es la característica. A continuación veremos un ejemplo: P(X) = Xp − T con K un cuerpo de funciones racionales en la indeterminada T sobre un cuerpo finito con p elementos. Aquí uno puede probar directamente que P(X) es irreducible y no separable. De hecho, este es el típico ejemplo donde se puede ver la importancia de la inseparabilidad; en términos geométricos P representa la aplicación en la recta proyectiva sobre un cuerpo finito, tomando coordenadas como sus potencias p-esimas. Dichas aplicaciones son fundamentales en la geometría algebraica de cuerpos finitos. Si L es la extensión de cuerpo K(T1/p) (el cuerpo de descomposición de P) entonces L/K es un ejemplo de extensión de cuerpo inseparable pura. Es de grado p, pero no tiene automorfismos que dejan fija K, a parte de la identidad, ya que T1/p es la única raíz de P. Esto muestra que la teoría de Galois no es aplicable en este entorno. Se puede ver que el de L consigo mismo sobre K para este ejemplo tiene elementos nilpotentes no nulos. Ésta es otra manifestación de la inseparabilidad: la operación de producto tensorial en cuerpos necesita no producir un anillo que sea producto de cuerpos. Si P(x) es separable, y sus raíces forman un grupo (un subgrupo del cuerpo K), entonces P(x) es un . (es)
- In mathematics, a polynomial P(X) over a given field K is separable if its roots are distinct in an algebraic closure of K, that is, the number of distinct roots is equal to the degree of the polynomial. This concept is closely related to square-free polynomial. If K is a perfect field then the two concepts coincide. In general, P(X) is separable if and only if it is square-free over any field that contains K,which holds if and only if P(X) is coprime to its formal derivative D P(X). (en)
- 数学において、与えられた体 K 上の多項式 P(X) が分離的 (separable) であるとは、K の代数的閉包においてその根が、つまり、重複を考えない根の個数が多項式の次数に等しいことをいう。 この概念はと密接に関係している。K が完全体であれば2つの概念は一致する。一般に、P(X) が分離的であることと、K を含む任意の体上で平方因子をもたないことは同値であり、これは P(X) がその形式微分 P '(X) と互いに素なとき、かつそのときに限り成り立つ。 (ja)
- Un polinomio si dice separabile se ciascuno dei suoi fattori irriducibili ha radici tutte distinte in un suo campo di spezzamento. Esiste tuttavia un'altra definizione, non equivalente bensì più forte della precedente, di polinomio separabile. Questa dice che f è separabile se non ha zeri multipli. Questa condizione è equivalente a richiedere che f e la sua derivata formale f′ siano coprimi. Queste due differenti definizioni non comportano tuttavia grossa confusione in quanto la nozione di polinomio separabile viene principalmente utilizzata sui polinomi irriducibili per i quali le due definizioni sono equivalenti. Si prova che tutti i polinomi irriducibili che hanno uno zero in un'estensione separabile di K sono separabili. Di conseguenza sono separabili tutti i polinomi a coefficienti su campi perfetti, e dunque i polinomi su campi di caratteristica 0 o su campi finiti. Per quanto detto, è chiaro che ogni polinomio del tipo è separabile, ma è immediato verificare direttamente che e sono coprimi e dunque che è separabile su nel senso più forte. Si osservi tuttavia che questo procedimento non si può fare per polinomi del tipo , ove è il campo finito con p elementi a cui si è aggiunta la potenza p-esima di un elemento y trascendente su . Si ha infatti che e dunque il massimo comun divisore tra f' e f è f stesso e quindi, dato che non è difficile provare che f è irriducibile, si ha che f non è separabile per nessuna delle due definizioni. In generale, si prova che i polinomi irriducibili non separabili su un campo di caratteristica p sono esattamente i polinomi irriducibili che si possono scrivere come per un qualche polinomio g(x). (it)
- Сепарабельный многочлен — многочлен над полем , все неприводимые множители которого не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля . Существует также альтернативное, близкое по сути, но неэквивалентное в общем случае определение: многочлен сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей формальной производной . Это последнее означает, что сам многочлен (а не только его неприводимые над сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов оба определения эквивалентны. Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля. Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в положительной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена должно иметь место представление: , где — также неприводимый многочлен, а — характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена, например, таков многочлен: над полем рациональных функций от одной переменной над полем из элементов . Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении к полю ): , иными словами, является (единственным) корнем кратности . (ru)
- Em matemática, um polinômio p(x) é separável sobre um corpo K se suas raízes em um fecho algébrico de K são distintas - ou seja, p(x) tem fatores lineares distintos em uma extensão de corpo suficientemente grande. Equivalentemente, p é separável se e somente se é coprimo com sua derivada p' '′. Dado um polinômio irreducível f no F[X] de um corpo qualquer F, dizemos que f é separável caso f não tenha raízes múltiplas no corpo de decomposição de f. Quando são estudados polinômios com coeficientes racionais, um resultado elementar é que, se o polinômio tem alguma , então ele não é irreducível. Generalizando este conceito, um polinômio p(x) em um corpo qualquer K é dito separável se todos os seus fatores irreducíveis tem apenas raízes simples. Um polinômio é separável se, e somente se, o (m.d.c.) entre f e f' , definido como a de f, for um polinômio de grau, pelo menos, igual a um. Como em um corpo de característica zero a derivada formal de um polinômio qualquer é outro polinômio de um grau menor (e é zero apenas no caso de um polinômio constante), e os únicos divisores de um polinômio irreducível f são ele mesmo e 1, segue-se que o m.d.c. entre f e f' é o polinômio 1, portanto todo polinômio é separável. Como contra-exemplo de um polinômio que não é separável, seja o corpo de frações dos polinômios com coeficientes no corpo finito . Então, no corpo , o polinômio é irreducível, mas ele tem uma raiz, y, de multiplicidade p. Um corpo é chamdo de perfeito quando todo polinômio é separável. Todo corpo de característica zero é perfeito. (pt)
- 数学中，可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。 最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是。 第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下，每个上的多项式是可分的，这包含了0和所有有限域。 两个定义对于K上不可约多项式是等价的，这个被用来定义域K的可分扩张。 在条目的余下部分我们只用第一个定义。 一个多项式可分当且仅当它与它的P'(X)互素。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, a polynomial P(X) over a given field K is separable if its roots are distinct in an algebraic closure of K, that is, the number of distinct roots is equal to the degree of the polynomial. This concept is closely related to square-free polynomial. If K is a perfect field then the two concepts coincide. In general, P(X) is separable if and only if it is square-free over any field that contains K,which holds if and only if P(X) is coprime to its formal derivative D P(X). (en)
- 数学において、与えられた体 K 上の多項式 P(X) が分離的 (separable) であるとは、K の代数的閉包においてその根が、つまり、重複を考えない根の個数が多項式の次数に等しいことをいう。 この概念はと密接に関係している。K が完全体であれば2つの概念は一致する。一般に、P(X) が分離的であることと、K を含む任意の体上で平方因子をもたないことは同値であり、これは P(X) がその形式微分 P '(X) と互いに素なとき、かつそのときに限り成り立つ。 (ja)
- 数学中，可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。 最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是。 第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下，每个上的多项式是可分的，这包含了0和所有有限域。 两个定义对于K上不可约多项式是等价的，这个被用来定义域K的可分扩张。 在条目的余下部分我们只用第一个定义。 一个多项式可分当且仅当它与它的P'(X)互素。 (zh)
- En matemàtiques, un polinomi P(X) és separable sobre un cos K si les seves arrels en una de K són diferents - és a dir P(X) té factors lineals diferents en una extensió de cos prou gran. Equivalentement, P és separable si i només si és coprimer amb la seva derivada P′. El criteri que ens porta a treure conclusions ràpides sobre si P és irreductible i no separable és que P′(X) = 0. Això només és possible en cossos de característica p: necessitem tenir P(X) = Q(Xp) on el nombre primer p és la característica. A continuació veurem un exemple: P(X) = Xp − T (ca)
- En matemática, un polinomio P(X) es separable sobre un cuerpo K si sus raíces en una clausura algebraica de K son distintas - es decir P(X) tiene factores lineales distintos en una extensión de cuerpo suficientemente grande. Equivalentemente, P es separable si y solo si es coprimo con su derivada P′. El criterio que nos lleva a sacar conclusiones rápidas sobre si P es irreducible y no separable es que P′(X) = 0. Esto solo es posible en cuerpos de característica p: necesitamos tener P(X) = Q(Xp) donde el número primo p es la característica. A continuación veremos un ejemplo: P(X) = Xp − T (es)
- Un polinomio si dice separabile se ciascuno dei suoi fattori irriducibili ha radici tutte distinte in un suo campo di spezzamento. Esiste tuttavia un'altra definizione, non equivalente bensì più forte della precedente, di polinomio separabile. Questa dice che f è separabile se non ha zeri multipli. Questa condizione è equivalente a richiedere che f e la sua derivata formale f′ siano coprimi. Queste due differenti definizioni non comportano tuttavia grossa confusione in quanto la nozione di polinomio separabile viene principalmente utilizzata sui polinomi irriducibili per i quali le due definizioni sono equivalenti. (it)
- Em matemática, um polinômio p(x) é separável sobre um corpo K se suas raízes em um fecho algébrico de K são distintas - ou seja, p(x) tem fatores lineares distintos em uma extensão de corpo suficientemente grande. Equivalentemente, p é separável se e somente se é coprimo com sua derivada p' '′. Dado um polinômio irreducível f no F[X] de um corpo qualquer F, dizemos que f é separável caso f não tenha raízes múltiplas no corpo de decomposição de f. Um corpo é chamdo de perfeito quando todo polinômio é separável. Todo corpo de característica zero é perfeito. (pt)
- Сепарабельный многочлен — многочлен над полем , все неприводимые множители которого не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля . Существует также альтернативное, близкое по сути, но неэквивалентное в общем случае определение: многочлен сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей формальной производной . Это последнее означает, что сам многочлен (а не только его неприводимые над сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов оба определения эквивалентны. , , (ru)
|
