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Exponential growth is a process that increases quantity over time. It occurs when the instantaneous rate of change (that is, the derivative) of a quantity with respect to time is proportional to the quantity itself. Described as a function, a quantity undergoing exponential growth is an exponential function of time, that is, the variable representing time is the exponent (in contrast to other types of growth, such as quadratic growth). The formula for exponential growth of a variable x at the growth rate r, as time t goes on in discrete intervals (that is, at integer times 0, 1, 2, 3, ...), is

Property Value
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  • El terme creixement exponencial s'aplica generalment a una magnitud M tal que la seva variació en el temps és proporcional al seu valor, el qual implica que creix molt ràpidament en el temps d'acord amb l'equació: On: Mt és el valor de la magnitud en el moment t > 0;M0 és el valor inicial de la variable, valor en t = 0, quan comencem a mesurar-la;r és l'anomenada taxa de creixement instantània, taxa mitjana de creixement durant el temps transcorregut entre t = 0 i t > 0;e = 2,718281828459... El nom es refereix al creixement d'una funció exponencial de la forma amb . Es pot il·lustrar el creixement exponencial prenent en l'última equació i un valor sencer. Per exemple, si , llavors . Si llavors . i així successivament. (ca)
  • Exponenciální růst je matematický model růstu (například zvyšování populace nějakých jedinců nebo intenzity nějaké veličiny), který je vyjádřen pomocí exponenciální funkce času se základem vyšším než jedna. Označíme-li čas jako a modelovanou veličinu jako , platí rovnice přičemž je úroveň modelované veličiny v čase nula, je reálné číslo vyšší než 1 a jeho přirozený logaritmus. Z toho se dá odvodit, že modelovaná veličina se zdvojnásobí za dobu Rychlost růstu takto se chovající veličiny je úměrná její okamžité hodnotě; konkrétně platí diferenciální rovnice Exponenciální růst se používá například na modelování prvotní fáze růstu populací bakterií v optimálním prostředí nebo jako základní model ekonomického růstu. (cs)
  • Εκθετική αύξηση συμβαίνει όταν ο ρυθμός μεταβολής της τιμής μιας συνάρτησης είναι θετικός και ανάλογος με τη τιμή της συνάρτησης,με αποτέλεσμα η ανάπτυξή της, συναρτήσει του χρόνου, να είναι μια εκθετική συνάρτηση. Εκθετική απόσβεση παρουσιάζεται με τον ίδιο τρόπο, όταν ο ρυθμός μεταβολής είναι αρνητικός. Στην περίπτωση ενός διακριτού πεδίου ορισμού χωρισμένου σε ίσα διαστήματα,η εκθετική αύξηση ή απόσβεσηονομάζεται και γεωμετρική αύξηση ή γεωμετρική απόσβεση, και οι τιμές της συνάρτησης σχηματίζουν μια γεωμετρική πρόοδο. Ο τύπος για την εκθετική μεταβολή της μεταβλητής x με θετικό ή αρνητικό ρυθμό μεταβολής r, καθώς ο χρόνος t παίρνει διακριτές τιμές (δηλαδή, ακέραιους χρόνους 0, 1, 2, 3, ...), είναι όπου x0 είναι η τιμή του x την χρονική στιγμή 0. Για παράδειγμα, με ποσοστό αύξησης r = 5% = 0.05, από οποιαδήποτε ακέραια χρονική τιμή στην αμέσως επόμενη ακέραιαπροκαλεί το x τη δεύτερη φορά να είναι κατά 5% μεγαλύτερο από όσο ήταν την προηγούμενη φορά. Εφόσον η χρονική μεταβλητή, που είναι το εισαγόμενο σε αυτή τη συνάρτηση, εμφανίζεται ως εκθέτης, αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση. (el)
  • Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor vervielfacht. Der Wert der Bestandsgröße kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen (exponentielle Zunahme) oder abnehmen (exponentieller Zerfall oder exponentielle Abnahme). Ein solcher Verlauf kann bei einer exponentiellen Zunahme durch die Verdopplungszeit und bei einer exponentiellen Abnahme durch die Halbwertszeit eindeutig angegeben werden. Anders als lineares oder polynomiales Wachstum verursacht exponentielles Wachstum auch bei anfangs nur kleinen Veränderungen im weiteren Verlauf deutlich größere, sodass ein exponentielles Wachstum ab einem bestimmten Zeitpunkt jedes lineare oder polynomiale Wachstum um Größenordnungen übersteigt. Aus diesem Grund kann die Auswirkung von exponentiellem Wachstum leicht unterschätzt werden. (de)
  • Exponential growth is a process that increases quantity over time. It occurs when the instantaneous rate of change (that is, the derivative) of a quantity with respect to time is proportional to the quantity itself. Described as a function, a quantity undergoing exponential growth is an exponential function of time, that is, the variable representing time is the exponent (in contrast to other types of growth, such as quadratic growth). If the constant of proportionality is negative, then the quantity decreases over time, and is said to be undergoing exponential decay instead. In the case of a discrete domain of definition with equal intervals, it is also called geometric growth or geometric decay since the function values form a geometric progression. The formula for exponential growth of a variable x at the growth rate r, as time t goes on in discrete intervals (that is, at integer times 0, 1, 2, 3, ...), is where x0 is the value of x at time 0. The growth of a bacterial colony is often used to illustrate it. One bacterium splits itself into two, each of which splits itself resulting in four, then eight, 16, 32, and so on. The rate of increase keeps increasing because it is proportional to the ever-increasing number of bacteria. Growth like this is observed in real-life activity or phenomena, such as the spread of virus infection, the growth of debt due to compound interest, and the spread of viral videos. In real cases, initial exponential growth often does not last forever, instead slowing down eventually due to upper limits caused by external factors and turning into logistic growth. Terms like "exponential growth" are sometimes incorrectly interpreted as "rapid growth". Indeed, something that grows exponentially can in fact be growing slowly at first. (en)
  • Hazkunde esponentziala gertatzen da funtzio matematiko baten balioaren hazkunde tasa funtzioaren uneko balioarekiko proportzionala denean, emaitza gisa funtzio esponentzial bat emanez. modu berean gertatzen da, hazkunde tasa negatiboa denean. x aldagai batek r hazkunde tasa (positiboa edo negatiboa) jarraitzen duenean, d denbora aurrera doan heinean tarte diskretuetan (alegia, zenbaki osoak jarraituz: 0, 1, 2, 3, ...), honakoa da: non x0 aldagaia x balioa den 0 denboran. Adibidez, hazkunde tasa r = %5 = 0,05 bada, zenbaki oso batetik hurrengora mugitzean x balioa %5 handiagoa izango da bigarren aldian, aurreko aldiarekin alderatuta. (eu)
  • La expresión crecimiento exponencial también llamado crecimiento continuo se aplica a una magnitud tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece cada vez más rápido en el tiempo, de acuerdo con la ecuación: Donde: es valor de la magnitud en el instante ; es el valor inicial de la variable, valor en , cuando empezamos a medirla; es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre y ; es cualquier constante mayor que 1. Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la ecuación , , y un valor entero. Por ejemplo, si , entonces . Si entonces . Y así sucesivamente. (es)
  • Pertumbuhan eksponensial adalah sebuah model pertumbuhan kuantitas, yaitu saat tingkat pertumbuhan sebanding (proporsional) dengan besar kuantitas itu sendiri. Dengan kata lain, jika kuantitas tersebut dianalisis dalam setiap interval waktu (misalnya, hari atau jam), kuantitas pada saat tertentu merupakan hasil kali dari kuantitas sebelumnya. Secara matematika, hal ini berarti nilai nilai selanjutnya, , dapat dihitung dengan perkalian nilai saat ini dengan sebuah pengali tetap. Setelah jangka waktu , kuantitas ini dapat dihitung dengan sebuah persamaan berpangkat (eksponensial): Contoh sederhana adalah pertumbuhan koloni bakteri: Satu bakteri dapat membelah diri menjadi 2, kemudian 2 bakteri masing-masing membelah diri menjadi 4, lalu 8, 16, 32, dan seterusnya. Pertambahan jumlah semakin meningkat sesuai populasi bakteri yang semakin membesar. Pertumbuhan seperti ini dapat ditemui dalam berbagai aktivitas atau fenomena, misalnya naiknya harga akibat inflasi, bertambahnya utang akibat bunga, perkembangbiakan mikroorganisme dalam kultur biologi, penyebaran virus, dan penyebaran fenomena internet seperti meme dan video viral. Dalam contoh kehidupan nyata, sering kali setelah jangka waktu tertentu pertumbuhan eksponensial menemui batas atasnya, sehingga polanya melambat dan berubah menjadi . (in)
  • La croissance exponentielle est un processus qui augmente une quantité au fil du temps. Elle se produit lorsque le taux de variation instantané (c'est-à-dire la dérivée) d'une quantité par rapport au temps est proportionnel à la quantité elle-même. Décrite comme une fonction, une quantité subissant une croissance exponentielle est une fonction exponentielle du temps, c'est-à-dire que la variable représentant le temps est l'exposant (contrairement à d'autres types de croissance, comme la croissance quadratique). Si la constante de proportionnalité est négative, alors la quantité diminue au fil du temps et on dit qu'elle subit plutôt une décroissance exponentielle. Dans le cas d'un domaine de définition discret à intervalles égaux, on parle également de croissance géométrique ou de décroissance géométrique puisque les valeurs de la fonction forment une progression géométrique. La formule de la croissance exponentielle d'une variable x au taux de croissance r, au fur et à mesure que le temps t s'écoule par intervalles discrets (c'est-à-dire aux temps entiers 0, 1, 2, 3, ...), est la suivante : où x0 est la valeur de x au temps 0. La croissance d'une colonie bactérienne est souvent utilisée pour l'illustrer. Une bactérie se divise en deux, chacune d'elles se divisant à son tour pour donner naissance à quatre, puis huit, 16, 32, et ainsi de suite. Le taux d'accroissement ne cesse d'augmenter car il est proportionnel au nombre toujours croissant de bactéries. Une croissance de ce type est observée dans des activités ou des phénomènes de la vie réelle, tels que la propagation d'une infection virale, la croissance d'une dette en raison des intérêts composés et la diffusion de vidéos virales. Dans les cas réels, la croissance exponentielle initiale ne dure souvent pas éternellement, mais finit par se ralentir en raison de limites supérieures causées par des facteurs externes et se transforme en croissance logistique. Des termes comme "croissance exponentielle" sont parfois interprétés à tort comme "croissance rapide". En effet, quelque chose qui connaît une croissance exponentielle peut en fait connaître une croissance lente au départ. (fr)
  • 指数関数的成長(しすうかんすうてきせいちょう、英: exponential growth)とは、ある量が増大する速さが増大する量に比例する現象のことである。数学的に記述すれば、この過程は以下の微分方程式 によって表される。ただし、 は時刻 において成長する量であり、k は正の定数である。この微分方程式を解くと、この現象は指数関数 によって表される。ここで、 は初期値を意味する。 (ja)
  • Exponentiële groei is een toename evenredig aan de eigen omvang. Iedere grootheid die continu met hetzelfde percentage per tijdseenheid groeit, ondergaat een exponentiële groei. Zo is de groei van een populatie waarin het aantal geboortes per individu of per echtpaar constant blijft, evenredig met het aantal individuen en dus exponentieel. Banktegoeden met een vast positief rentepercentage vertonen exponentiële groei, afgezien natuurlijk van af- of bijschrijvingen. Exponentiële daling is ook mogelijk, bijvoorbeeld bij radioactief verval en bij het temperatuurverschil met de omgeving als een heet voorwerp afkoelt. Exponentiële groei kan snel of langzaam gaan, maar bij reële, fysieke zaken niet altijd voortduren. Op den duur is deze fysiek onmogelijk. Nog wel denkbaar is bijvoorbeeld een constante inflatie, waardoor prijzen exponentieel stijgen. Dit kan namelijk af en toe gecompenseerd worden door grotere coupures van bankbiljetten en invoering van grotere geldeenheden, waardoor dit onbeperkt kan voortduren. Ook het aantal besmettingen bij een infectie door een besmettelijk virus kan in eerste instantie exponentieel groeien als er geen maatregelen worden getroffen. De groei zal echter in ieder geval afvlakken als iedereen besmet begint te raken, of als er beperkende omstandigheden zijn, zoals lage bevolkingsdichtheid. (nl)
  • Wzrost wykładniczy – zmiana w układzie dynamicznym określonym przez parametr zależnym od czasu w taki sposób, że: gdzie: – dowolna stała, – stała zwana czasem charakterystycznym. Typowy przypadek występowania wzrostu wykładniczego to istnienie prostego sprzężenia dodatniego, czyli że układ jest określony równaniem: dla stałej Przykład: Liczba bakterii na początku wynosi 1. Po czasie wynosi 2, po czasie wynosi 4 itd. (pl)
  • Crescimento exponencial é quando a taxa de crescimento de um valor não depende de uma constante exponencial fixa previamente dada em uma função (como em funções polinomiais. Ex.: ), e sim da interação entre uma constante de crescimento e uma variável , podendo esta ser traduzida como: tempo, quantidade de bits, (ver: complexidade computacional) etc; sendo assim proporcional ao valor atual da função. Ocorre da mesma forma que decaimento exponencial ou geométrico, porém, no decaimento, há um decréscimo do valor de Y. (pt)
  • 指数增长(包括指数衰减)指一个函数的增长率与其函数值成比例。在定义域为离散的且等差的情况下。 指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型。 (zh)
  • Експонентне зростання — зростання величини, коли швидкість зростання пропорційна значенню самої величини. Підпорядковується експоненціальному закону. Експонентне зростання протиставляється більш повільним (на досить довгому проміжку часу) лінійній або степеневій залежності. У випадку дискретної області визначення з рівними інтервалами його ще називають геометричним зростанням або геометричним розпадом (значення функції утворюють геометричну прогресію). Експоненціальна модель зростання також відома як мальтузіанська модель зростання. (uk)
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  • 指数関数的成長(しすうかんすうてきせいちょう、英: exponential growth)とは、ある量が増大する速さが増大する量に比例する現象のことである。数学的に記述すれば、この過程は以下の微分方程式 によって表される。ただし、 は時刻 において成長する量であり、k は正の定数である。この微分方程式を解くと、この現象は指数関数 によって表される。ここで、 は初期値を意味する。 (ja)
  • Wzrost wykładniczy – zmiana w układzie dynamicznym określonym przez parametr zależnym od czasu w taki sposób, że: gdzie: – dowolna stała, – stała zwana czasem charakterystycznym. Typowy przypadek występowania wzrostu wykładniczego to istnienie prostego sprzężenia dodatniego, czyli że układ jest określony równaniem: dla stałej Przykład: Liczba bakterii na początku wynosi 1. Po czasie wynosi 2, po czasie wynosi 4 itd. (pl)
  • Crescimento exponencial é quando a taxa de crescimento de um valor não depende de uma constante exponencial fixa previamente dada em uma função (como em funções polinomiais. Ex.: ), e sim da interação entre uma constante de crescimento e uma variável , podendo esta ser traduzida como: tempo, quantidade de bits, (ver: complexidade computacional) etc; sendo assim proporcional ao valor atual da função. Ocorre da mesma forma que decaimento exponencial ou geométrico, porém, no decaimento, há um decréscimo do valor de Y. (pt)
  • 指数增长(包括指数衰减)指一个函数的增长率与其函数值成比例。在定义域为离散的且等差的情况下。 指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型。 (zh)
  • Експонентне зростання — зростання величини, коли швидкість зростання пропорційна значенню самої величини. Підпорядковується експоненціальному закону. Експонентне зростання протиставляється більш повільним (на досить довгому проміжку часу) лінійній або степеневій залежності. У випадку дискретної області визначення з рівними інтервалами його ще називають геометричним зростанням або геометричним розпадом (значення функції утворюють геометричну прогресію). Експоненціальна модель зростання також відома як мальтузіанська модель зростання. (uk)
  • El terme creixement exponencial s'aplica generalment a una magnitud M tal que la seva variació en el temps és proporcional al seu valor, el qual implica que creix molt ràpidament en el temps d'acord amb l'equació: On: Mt és el valor de la magnitud en el moment t > 0;M0 és el valor inicial de la variable, valor en t = 0, quan comencem a mesurar-la;r és l'anomenada taxa de creixement instantània, taxa mitjana de creixement durant el temps transcorregut entre t = 0 i t > 0;e = 2,718281828459... (ca)
  • Exponenciální růst je matematický model růstu (například zvyšování populace nějakých jedinců nebo intenzity nějaké veličiny), který je vyjádřen pomocí exponenciální funkce času se základem vyšším než jedna. Označíme-li čas jako a modelovanou veličinu jako , platí rovnice přičemž je úroveň modelované veličiny v čase nula, je reálné číslo vyšší než 1 a jeho přirozený logaritmus. Z toho se dá odvodit, že modelovaná veličina se zdvojnásobí za dobu Rychlost růstu takto se chovající veličiny je úměrná její okamžité hodnotě; konkrétně platí diferenciální rovnice (cs)
  • Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor vervielfacht. Der Wert der Bestandsgröße kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen (exponentielle Zunahme) oder abnehmen (exponentieller Zerfall oder exponentielle Abnahme). Ein solcher Verlauf kann bei einer exponentiellen Zunahme durch die Verdopplungszeit und bei einer exponentiellen Abnahme durch die Halbwertszeit eindeutig angegeben werden. Anders als lineares oder polynomiales Wachstum verursacht exponentielles Wachstum auch bei anfangs nur kleinen Veränderungen im weiteren Verlauf deutlich größere, sodass ein exponentielles Wachstum ab einem bestimmten Zei (de)
  • Εκθετική αύξηση συμβαίνει όταν ο ρυθμός μεταβολής της τιμής μιας συνάρτησης είναι θετικός και ανάλογος με τη τιμή της συνάρτησης,με αποτέλεσμα η ανάπτυξή της, συναρτήσει του χρόνου, να είναι μια εκθετική συνάρτηση. Εκθετική απόσβεση παρουσιάζεται με τον ίδιο τρόπο, όταν ο ρυθμός μεταβολής είναι αρνητικός. Στην περίπτωση ενός διακριτού πεδίου ορισμού χωρισμένου σε ίσα διαστήματα,η εκθετική αύξηση ή απόσβεσηονομάζεται και γεωμετρική αύξηση ή γεωμετρική απόσβεση, και οι τιμές της συνάρτησης σχηματίζουν μια γεωμετρική πρόοδο. (el)
  • Hazkunde esponentziala gertatzen da funtzio matematiko baten balioaren hazkunde tasa funtzioaren uneko balioarekiko proportzionala denean, emaitza gisa funtzio esponentzial bat emanez. modu berean gertatzen da, hazkunde tasa negatiboa denean. x aldagai batek r hazkunde tasa (positiboa edo negatiboa) jarraitzen duenean, d denbora aurrera doan heinean tarte diskretuetan (alegia, zenbaki osoak jarraituz: 0, 1, 2, 3, ...), honakoa da: (eu)
  • Exponential growth is a process that increases quantity over time. It occurs when the instantaneous rate of change (that is, the derivative) of a quantity with respect to time is proportional to the quantity itself. Described as a function, a quantity undergoing exponential growth is an exponential function of time, that is, the variable representing time is the exponent (in contrast to other types of growth, such as quadratic growth). The formula for exponential growth of a variable x at the growth rate r, as time t goes on in discrete intervals (that is, at integer times 0, 1, 2, 3, ...), is (en)
  • La expresión crecimiento exponencial también llamado crecimiento continuo se aplica a una magnitud tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece cada vez más rápido en el tiempo, de acuerdo con la ecuación: Donde: es valor de la magnitud en el instante ; es el valor inicial de la variable, valor en , cuando empezamos a medirla; es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre y ; es cualquier constante mayor que 1. (es)
  • La croissance exponentielle est un processus qui augmente une quantité au fil du temps. Elle se produit lorsque le taux de variation instantané (c'est-à-dire la dérivée) d'une quantité par rapport au temps est proportionnel à la quantité elle-même. Décrite comme une fonction, une quantité subissant une croissance exponentielle est une fonction exponentielle du temps, c'est-à-dire que la variable représentant le temps est l'exposant (contrairement à d'autres types de croissance, comme la croissance quadratique). où x0 est la valeur de x au temps 0. (fr)
  • Pertumbuhan eksponensial adalah sebuah model pertumbuhan kuantitas, yaitu saat tingkat pertumbuhan sebanding (proporsional) dengan besar kuantitas itu sendiri. Dengan kata lain, jika kuantitas tersebut dianalisis dalam setiap interval waktu (misalnya, hari atau jam), kuantitas pada saat tertentu merupakan hasil kali dari kuantitas sebelumnya. Secara matematika, hal ini berarti nilai nilai selanjutnya, , dapat dihitung dengan perkalian nilai saat ini dengan sebuah pengali tetap. Setelah jangka waktu , kuantitas ini dapat dihitung dengan sebuah persamaan berpangkat (eksponensial): (in)
  • Exponentiële groei is een toename evenredig aan de eigen omvang. Iedere grootheid die continu met hetzelfde percentage per tijdseenheid groeit, ondergaat een exponentiële groei. Zo is de groei van een populatie waarin het aantal geboortes per individu of per echtpaar constant blijft, evenredig met het aantal individuen en dus exponentieel. Banktegoeden met een vast positief rentepercentage vertonen exponentiële groei, afgezien natuurlijk van af- of bijschrijvingen. Exponentiële daling is ook mogelijk, bijvoorbeeld bij radioactief verval en bij het temperatuurverschil met de omgeving als een heet voorwerp afkoelt. (nl)
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  • نمو أسي (ar)
  • Exponenciální růst (cs)
  • Creixement exponencial (ca)
  • Εκθετική αύξηση (el)
  • Exponentielles Wachstum (de)
  • Exponential growth (en)
  • Crecimiento exponencial (es)
  • Hazkunde esponentzial (eu)
  • Croissance exponentielle (fr)
  • Pertumbuhan eksponensial (in)
  • Crescita esponenziale (it)
  • 指数関数的成長 (ja)
  • Wzrost wykładniczy (pl)
  • Exponentiële groei (nl)
  • Crescimento exponencial (pt)
  • Экспоненциальный рост (ru)
  • Експонентне зростання (uk)
  • 指數增長 (zh)
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