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- In mathematics, the Plancherel theorem for spherical functions is an important result in the representation theory of semisimple Lie groups, due in its final form to Harish-Chandra. It is a natural generalisation in non-commutative harmonic analysis of the Plancherel formula and Fourier inversion formula in the representation theory of the group of real numbers in classical harmonic analysis and has a similarly close interconnection with the theory of differential equations.It is the special case for zonal spherical functions of the general Plancherel theorem for semisimple Lie groups, also proved by Harish-Chandra. The Plancherel theorem gives the eigenfunction expansion of radial functions for the Laplacian operator on the associated symmetric space X; it also gives the direct integral decomposition into irreducible representations of the regular representation on L2(X). In the case of hyperbolic space, these expansions were known from prior results of Mehler, Weyl and Fock. The main reference for almost all this material is the encyclopedic text of . (en)
- 数学における球函数に対するプランシュレルの定理（プランシュレンのていり、英: Plancherel theorem for spherical functions）は半単純リー群の表現論における重要な結果で、最終形はによる。この定理は、古典調和解析に属する実数の加法群の表現論におけるプランシュレルの公式およびの、非可換調和解析における自然な一般化であり、とも同様に近しい相互関係を持つ。 「球函数に対するプランシュレルの定理」は、半単純リー群に対する一般のプランシュレルの定理（これもハリッシュ＝チャンドラが示した）の、に対する特別の場合である。プランシュレルの定理は、対応付けられた X 上のラプラス作用素に対する球対称函数 (radial function) の固有函数展開を与えるものであり、また L2(X) 上の正則表現の、既約表現へのをも与えるものである。の場合には、これらの展開はメーラー、ワイル、によるとして知られていた。 主要な参考文献として、網羅的な教科書 にこの主題に関する話題がほとんど全て載っている。 (ja)
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- 数学における球函数に対するプランシュレルの定理（プランシュレンのていり、英: Plancherel theorem for spherical functions）は半単純リー群の表現論における重要な結果で、最終形はによる。この定理は、古典調和解析に属する実数の加法群の表現論におけるプランシュレルの公式およびの、非可換調和解析における自然な一般化であり、とも同様に近しい相互関係を持つ。 「球函数に対するプランシュレルの定理」は、半単純リー群に対する一般のプランシュレルの定理（これもハリッシュ＝チャンドラが示した）の、に対する特別の場合である。プランシュレルの定理は、対応付けられた X 上のラプラス作用素に対する球対称函数 (radial function) の固有函数展開を与えるものであり、また L2(X) 上の正則表現の、既約表現へのをも与えるものである。の場合には、これらの展開はメーラー、ワイル、によるとして知られていた。 主要な参考文献として、網羅的な教科書 にこの主題に関する話題がほとんど全て載っている。 (ja)
- In mathematics, the Plancherel theorem for spherical functions is an important result in the representation theory of semisimple Lie groups, due in its final form to Harish-Chandra. It is a natural generalisation in non-commutative harmonic analysis of the Plancherel formula and Fourier inversion formula in the representation theory of the group of real numbers in classical harmonic analysis and has a similarly close interconnection with the theory of differential equations.It is the special case for zonal spherical functions of the general Plancherel theorem for semisimple Lie groups, also proved by Harish-Chandra. The Plancherel theorem gives the eigenfunction expansion of radial functions for the Laplacian operator on the associated symmetric space X; it also gives the direct integral d (en)
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- 球函数に対するプランシュレルの定理 (ja)
- Plancherel theorem for spherical functions (en)
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