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- Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer -gradierten Algebra aus kommutierenden (Parität ) und nicht-kommutierenden (Parität ) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente : . (de)
- In mathematical physics, a Grassmann number, named after Hermann Grassmann (also called an anticommuting number or supernumber), is an element of the exterior algebra over the complex numbers. The special case of a 1-dimensional algebra is known as a dual number. Grassmann numbers saw an early use in physics to express a path integral representation for fermionic fields, although they are now widely used as a foundation for superspace, on which supersymmetry is constructed. (en)
- En física matemática, un número de Grassmann, llamado así en nombre de Hermann Grassmann, (también llamado número anticonmutante o número c anticonmutante) es una construcción matemática que permite una representación integral de camino de campo fermiónicos. Una colección de variables de Grassmann son elementos independientes de un álgebra que contiene los números reales que anticonmutan uno con el otro pero conmutan con números ordinarios : En particular, el cuadrado de los generadores se anula: , ya que Para reproducir la integral de camino de un campo de Fermi, la definición de Grassmann requiere tener las siguientes propiedades:
* linealidad
* satisfacer la fórmula de integración parcial De esta forma, las siguientes reglas para la integración de una cantidad de Grassmann son: Por lo tanto, concluimos que las operaciones de la integración y la diferenciación de un número de Grassmann son idénticas. En la formulación de integral de camino de la teoría cuántica de campos la siguiente integral de Gauss de cantidades de Grassmann es necesaria para campos fermiónicos anticonmutantes: con A siendo una matriz de N × N. El álgebra generada por un conjunto de números de Grassmann es conocido como un álgebra de Grassmann. El álgebra de Grassmann generada por n números de Grassmann linealmente independientes tiene dimensión 2n . Los Álgebra de Grassmann son ejemplos prototípicos de . Estos son álgebras con una descomposición en variables pares e impares, que satisfacen una versión graduada de conmutatividad (en particular, elementos impares anticonmutan). (es)
- En physique mathématique, un nombre de Grassmann — ainsi nommé d'après Hermann Günther Grassmann mais aussi appelé supernombre — est un élément de l'algèbre extérieure — ou algèbre de Grassmann — d'un espace vectoriel, le plus souvent sur les nombres complexes. Dans le cas particulier où cet espace est une droite vectorielle réelle, un tel nombre s'appelle un nombre dual. Les nombres de Grassmann ont d'abord été employés en physique pour exprimer une représentation par intégrales de chemins pour les champs de fermions, mais sont à présent largement utilisés pour décrire le (en) sur lequel on définit une supersymétrie. (fr)
- In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari , In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo: L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione . Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann.Ad esempio se , abbiamo gli elementi linearmente indipendenti: che insieme all'unità , formano uno spazio -dimensionale. L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano). (it)
- 반가환수(反可換數, anticommutative number, supernumber) 또는 그라스만 수(독일어: Graßmann-Zahlen)이란 반가환하는 대수의 하나다. 양자장론에서 페르미온을 나타낼 때 쓰인다. 반가환수 는 같은 반가환수와는 반가환법칙을 따르고, 일반 실수 또는 복소수와는 가환한다. 즉 따라서 반가환수의 제곱은 0이다. 반가환수의 적분은 다음과 같이 정의한다. 따라서 반가환수의 미분과 적분은 동등하다. (ko)
- 数理物理学において、グラスマン数（グラスマンすう、英: Grassmann number）とは複素数を含む外積代数の要素を指し、ヘルマン・グラスマンに因んで名付けられた。具体的には、以下のような反交換関係を満たす数のことで、ψ を使って表す。 またグラスマン数の微分も、反交換関係を満たす。 グラスマン数 ψ に共役なグラスマン数 ψ* は以下のように定義される。 グラスマン数は、場の量子論や多体問題においてフェルミ粒子の経路積分を定義する時に用いられる。場の量子論や多体系では、ボース粒子の生成消滅演算子の固有値は複素数であるが、フェルミ粒子の生成消滅演算子の固有値はグラスマン数である。 (ja)
- Liczby Grassmanna, Liczby grassmanowskie to obiekty należące do algebry ze zdefiniowanym dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, bardzo podobnej do algebry liczb rzeczywistych, jednak mnożenie w niej jest antyprzemienne. Dodawanie liczb grassmanowskich jest łączne i przemienne. Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania. Istnieje element neutralny dodawania (grassmanowskie zero). Mnożenie liczb grassmanowskich jest łączne, ale antyprzemienne. W szczególności kwadrat każdej liczby wynosi zero. Nie obowiązuje prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia. Nie istnieje element neutralny mnożenia. Można połączyć algebrę liczb grassmanowskich z algebrą zwykłych liczb rzeczywistych. Zero grassmanowskie utożsamia się z zerem rzeczywistym. Iloczyn liczby rzeczywistej i grassmanowskiej definiuje się podobnie, jak mnożenie wektorów przez skalar. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania liczb grassmanowskich. Sumę liczby grassmanowskiej i rzeczywistej traktuje się jak wielomian. Liczby grassmanowskie mają zastosowanie w fizyce, m.in. są wartościami własnymi . (pl)
- 在數學物理學中，格拉斯曼數（又稱反交換數）是一種用於狄拉克場路徑積分表示的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼命名的。 (zh)
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- What is Lambda here? Lambda on what V? Many copies of what? (en)
- This is confusing. A moment ago it was announced that life gets easier if one works with infinitely many variables, but now it seems there are just m variables. (en)
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- Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer -gradierten Algebra aus kommutierenden (Parität ) und nicht-kommutierenden (Parität ) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente : . (de)
- In mathematical physics, a Grassmann number, named after Hermann Grassmann (also called an anticommuting number or supernumber), is an element of the exterior algebra over the complex numbers. The special case of a 1-dimensional algebra is known as a dual number. Grassmann numbers saw an early use in physics to express a path integral representation for fermionic fields, although they are now widely used as a foundation for superspace, on which supersymmetry is constructed. (en)
- En physique mathématique, un nombre de Grassmann — ainsi nommé d'après Hermann Günther Grassmann mais aussi appelé supernombre — est un élément de l'algèbre extérieure — ou algèbre de Grassmann — d'un espace vectoriel, le plus souvent sur les nombres complexes. Dans le cas particulier où cet espace est une droite vectorielle réelle, un tel nombre s'appelle un nombre dual. Les nombres de Grassmann ont d'abord été employés en physique pour exprimer une représentation par intégrales de chemins pour les champs de fermions, mais sont à présent largement utilisés pour décrire le (en) sur lequel on définit une supersymétrie. (fr)
- 반가환수(反可換數, anticommutative number, supernumber) 또는 그라스만 수(독일어: Graßmann-Zahlen)이란 반가환하는 대수의 하나다. 양자장론에서 페르미온을 나타낼 때 쓰인다. 반가환수 는 같은 반가환수와는 반가환법칙을 따르고, 일반 실수 또는 복소수와는 가환한다. 즉 따라서 반가환수의 제곱은 0이다. 반가환수의 적분은 다음과 같이 정의한다. 따라서 반가환수의 미분과 적분은 동등하다. (ko)
- 数理物理学において、グラスマン数（グラスマンすう、英: Grassmann number）とは複素数を含む外積代数の要素を指し、ヘルマン・グラスマンに因んで名付けられた。具体的には、以下のような反交換関係を満たす数のことで、ψ を使って表す。 またグラスマン数の微分も、反交換関係を満たす。 グラスマン数 ψ に共役なグラスマン数 ψ* は以下のように定義される。 グラスマン数は、場の量子論や多体問題においてフェルミ粒子の経路積分を定義する時に用いられる。場の量子論や多体系では、ボース粒子の生成消滅演算子の固有値は複素数であるが、フェルミ粒子の生成消滅演算子の固有値はグラスマン数である。 (ja)
- 在數學物理學中，格拉斯曼數（又稱反交換數）是一種用於狄拉克場路徑積分表示的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼命名的。 (zh)
- En física matemática, un número de Grassmann, llamado así en nombre de Hermann Grassmann, (también llamado número anticonmutante o número c anticonmutante) es una construcción matemática que permite una representación integral de camino de campo fermiónicos. Una colección de variables de Grassmann son elementos independientes de un álgebra que contiene los números reales que anticonmutan uno con el otro pero conmutan con números ordinarios : En particular, el cuadrado de los generadores se anula: , ya que
* linealidad
* satisfacer la fórmula de integración parcial (es)
- In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari , In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo: L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione . Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann.Ad esempio se , abbiamo gli elementi linearmente indipendenti: (it)
- Liczby Grassmanna, Liczby grassmanowskie to obiekty należące do algebry ze zdefiniowanym dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, bardzo podobnej do algebry liczb rzeczywistych, jednak mnożenie w niej jest antyprzemienne. Dodawanie liczb grassmanowskich jest łączne i przemienne. Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania. Istnieje element neutralny dodawania (grassmanowskie zero). Liczby grassmanowskie mają zastosowanie w fizyce, m.in. są wartościami własnymi . (pl)
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- Graßmann-Zahl (de)
- Número de Grassmann (es)
- Nombre de Grassmann (fr)
- Grassmann number (en)
- Numeri di Grassmann (it)
- グラスマン数 (ja)
- 반가환수 (ko)
- Liczby grassmanowskie (pl)
- 格拉斯曼數 (zh)
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