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- Die poissonsche Summenformel ist ein Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von Abtastmethoden. (de)
- La formule sommatoire de Poisson (parfois appelée resommation de Poisson) est une identité entre deux sommes infinies, la première construite avec une fonction , la seconde avec sa transformée de Fourier . Ici, f est une fonction sur la droite réelle ou plus généralement sur un espace euclidien. La formule a été découverte par Siméon Denis Poisson. Elle, et ses généralisations, sont importantes dans plusieurs domaines des mathématiques, dont la théorie des nombres, l'analyse harmonique, et la géométrie riemannienne. L'une des façons d'interpréter la formule unidimensionnelle est d'y voir une relation entre le spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur le cercle et les longueurs des géodésiques périodiques sur cette courbe. La formule des traces de Selberg, à l'interface de tous les domaines cités plus haut et aussi de l'analyse fonctionnelle, établit une relation du même type, mais au caractère beaucoup plus profond, entre spectre du Laplacien et longueurs des géodésiques sur les surfaces à courbure constante négative (tandis que les formules de Poisson en dimension n sont reliées au Laplacien et aux géodésiques périodiques des tores, espaces de courbure nulle). (fr)
- In mathematics, the Poisson summation formula is an equation that relates the Fourier series coefficients of the periodic summation of a function to values of the function's continuous Fourier transform. Consequently, the periodic summation of a function is completely defined by discrete samples of the original function's Fourier transform. And conversely, the periodic summation of a function's Fourier transform is completely defined by discrete samples of the original function. The Poisson summation formula was discovered by Siméon Denis Poisson and is sometimes called Poisson resummation. (en)
- 数学においてポアソン和公式（ポアソンわこうしき、英語: Poisson summation formula）とは、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見された。 (ja)
- La formula di sommazione di Poisson, anche detta risommazione di Poisson, è un'identità tra due somme infinite, di cui la prima è costruita con una funzione e la seconda con la sua trasformata di Fourier . La funzione è definita sull'asse reale o nello spazio euclideo a dimensioni. La formula è stata scoperta da Siméon Denis Poisson. La formula e le sue generalizzazioni sono importanti in molte aree della matematica, tra cui la teoria dei numeri, l'analisi armonica, e la geometria riemanniana. Un modo di interpretare la formula unidimensionale si ottiene osservando la relazione tra lo spettro dell'operatore di Laplace-Beltrami sul cerchio e la lunghezza delle geodetiche periodiche su questa curva. In analisi funzionale, la instaura un rapporto di questo tipo - ma di carattere molto più profondo - tra lo spettro del laplaciano e la lunghezza della geodetiche sulle superfici con curvatura costante negativa. (it)
- A fórmula de soma de Poisson (às vezes chamada de retomada de Poisson ) é uma identidade entre duas somas infinitas, a primeira construída com uma função f, a segunda com sua transformada de Fourier . Aqui, f é uma função na linha real ou mais geralmente em um espaço euclidiano . A fórmula foi descoberta por Siméon Denis Poisson .Ela, e suas generalizações, são importantes em várias áreas da matemática, incluindo teoria dos números, análise harmônica e geometria Riemanniana . Uma das maneiras de interpretar a fórmula unidimensional é ver uma relação entre o espectro do operador Laplace-Beltrami no círculo e os comprimentos da geodésica periódica nessa curva. A , na interface de todos os domínios mencionados acima e também da análise funcional, estabelece uma relação do mesmo tipo, mas com um caráter muito mais profundo, entre o espectro Laplaciano e os comprimentos da geodésica na região de negativa (enquanto as fórmulas de Poisson na dimensão n estão relacionadas ao Laplaciano e à geodésica periódica dos toros, espaços de curvatura zero). (pt)
- 泊松求和公式（英文：Poisson Summation Formula）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。 (zh)
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- A proof may be found in either Pinsky or Zygmund. , for instance, holds in the sense that if , then the right-hand side is the Fourier series of the left-hand side. It follows from the dominated convergence theorem that exists and is finite for almost every . Furthermore it follows that is integrable on any interval of length So it is sufficient to show that the Fourier series coefficients of are Proceeding from the definition of the Fourier coefficients we have:
:
where the interchange of summation with integration is once again justified by dominated convergence. With a change of variables this becomes:
:
Distributional formulation
These equations can be interpreted in the language of distributions for a function whose derivatives are all rapidly decreasing .
The Poisson summation formula arises as a particular case of the
Convolution Theorem on tempered distributions,
using the Dirac comb distribution and its Fourier series:
:
In other words, the periodization of a Dirac delta
resulting in a Dirac comb, corresponds to the discretization of its spectrum which is constantly one.
Hence, this again is a Dirac comb but with reciprocal increments.
For the case readily follows:
:
Similarly:
:
Or:
: (en)
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- Die poissonsche Summenformel ist ein Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von Abtastmethoden. (de)
- In mathematics, the Poisson summation formula is an equation that relates the Fourier series coefficients of the periodic summation of a function to values of the function's continuous Fourier transform. Consequently, the periodic summation of a function is completely defined by discrete samples of the original function's Fourier transform. And conversely, the periodic summation of a function's Fourier transform is completely defined by discrete samples of the original function. The Poisson summation formula was discovered by Siméon Denis Poisson and is sometimes called Poisson resummation. (en)
- 数学においてポアソン和公式（ポアソンわこうしき、英語: Poisson summation formula）とは、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見された。 (ja)
- 泊松求和公式（英文：Poisson Summation Formula）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。 (zh)
- La formula di sommazione di Poisson, anche detta risommazione di Poisson, è un'identità tra due somme infinite, di cui la prima è costruita con una funzione e la seconda con la sua trasformata di Fourier . La funzione è definita sull'asse reale o nello spazio euclideo a dimensioni. La formula è stata scoperta da Siméon Denis Poisson. (it)
- La formule sommatoire de Poisson (parfois appelée resommation de Poisson) est une identité entre deux sommes infinies, la première construite avec une fonction , la seconde avec sa transformée de Fourier . Ici, f est une fonction sur la droite réelle ou plus généralement sur un espace euclidien. La formule a été découverte par Siméon Denis Poisson. (fr)
- A fórmula de soma de Poisson (às vezes chamada de retomada de Poisson ) é uma identidade entre duas somas infinitas, a primeira construída com uma função f, a segunda com sua transformada de Fourier . Aqui, f é uma função na linha real ou mais geralmente em um espaço euclidiano . A fórmula foi descoberta por Siméon Denis Poisson .Ela, e suas generalizações, são importantes em várias áreas da matemática, incluindo teoria dos números, análise harmônica e geometria Riemanniana . Uma das maneiras de interpretar a fórmula unidimensional é ver uma relação entre o espectro do operador Laplace-Beltrami no círculo e os comprimentos da geodésica periódica nessa curva. A , na interface de todos os domínios mencionados acima e também da análise funcional, estabelece uma relação do mesmo tipo, mas com (pt)
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- Poissonsche Summenformel (de)
- Formule sommatoire de Poisson (fr)
- Formula di sommazione di Poisson (it)
- ポアソン和公式 (ja)
- Poisson summation formula (en)
- Fórmula do somatório de Poisson (pt)
- 泊松求和公式 (zh)
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