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| - Ως Ευκλείδεια περιοχή (Euclidean domain) ορίζουμε μια ακεραία περιοχή εφοδιασμένη με μια απεικόνιση η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:
* αν τότε
* Για κάθε υπάρχουν όπου και είτε είτε . Η απεικόνιση δ καλείται Ευκλείδεια συνάρτηση της . (el)
- En ringo-teorio, eŭklida ringo estas integreca ringo, por kiu validas la . (eo)
- In der Mathematik ist ein euklidischer Ring ein Ring, in dem eine verallgemeinerte Division mit Rest vorhanden ist, wie man sie von den ganzen Zahlen kennt. Dabei wird „Rest“ durch eine geeignete definiert. (de)
- 유클리드 정역(Euclid整域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다. (ko)
- In algebra, un dominio euclideo o anello euclideo è un anello commutativo su cui è possibile effettuare una divisione euclidea. (it)
- Dziedzina Euklidesa (albo pierścień Euklidesa, pierścień euklidesowy) – najbardziej ogólny typ pierścieni, w którym możliwe jest wyznaczenie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa. (pl)
- Ett euklidiskt område eller euklidisk ring är inom matematik, specifikt abstrakt algebra och ringteori, en ring med en speciell struktur som möjliggör en variant av Euklides algoritm. Denna algoritm kan sedan användas till samma saker som den används till i ringen av heltal, nämligen beräkning av största gemensamma delare av två element. Ett ring som är euklidisk har många bra egenskaper, exempelvis är den en principalidealdomän och varje element har en . (sv)
- Em álgebra abstrata, um domínio euclidiano (também chamado anel euclidiano) é um tipo de anel em que o algoritmo de Euclides pode ser usado. (pt)
- В абстрактній алгебрі евклідове кільце — кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда. (uk)
- Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида. (ru)
- 在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 (zh)
- Un anell euclidià, en matemàtiques i més precisament en àlgebra, en la teoria dels anells, és un tipus particular d'anell commutatiu unitari íntegre. Un anell és anomenat euclidià si és possible definir-hi una divisió euclidiana. Aquesta propietat és rica en conseqüències: un anell euclidià és sempre principal, verifica la identitat de Bézout, el lema d'Euclides, és factorial i satisfà les condicions del teorema fonamental de l'aritmètica. Així es troben tots els resultats de l' i més específicament de l'aritmètica modular, però en un marc més general. (ca)
- Eukleidovský obor (nebo eukleidovský okruh) je v algebře (či speciálněji v teorii okruhů) takový obor integrity, ve kterém je díky existenci eukleidovské funkce zajištěna funkčnost Eukleidova algoritmu. Jedná se o algoritmus na nalezení největšího společného dělitele pojmenovaný po starořeckém matematikovi Eukleidovi, který byl původně vymyšlený jen pro celá čísla, nicméně lze ho využít i v některých jiných okruzích. (cs)
- In mathematics, more specifically in ring theory, a Euclidean domain (also called a Euclidean ring) is an integral domain that can be endowed with a which allows a suitable generalization of the Euclidean division of integers. This generalized Euclidean algorithm can be put to many of the same uses as Euclid's original algorithm in the ring of integers: in any Euclidean domain, one can apply the Euclidean algorithm to compute the greatest common divisor of any two elements. In particular, the greatest common divisor of any two elements exists and can be written as a linear combination of them (Bézout's identity). Also every ideal in a Euclidean domain is principal, which implies a suitable generalization of the fundamental theorem of arithmetic: every Euclidean domain is a unique factoriz (en)
- En matemáticas, más concretamente en álgebra abstracta y teoría de anillos, un dominio euclídeo o anillo euclídeo (usualmente abreviado DE) es un anillo conmutativo sobre el que se puede definir una función euclidea (explicada más adelante) que permite generalizar la noción de división euclidea usual de los números enteros. Este algoritmo de Euclides generalizado se puede utilizar para los mismo fines que el algoritmo de Euclides original en el anillo de los enteros: en un dominio euclídeo se puede utilizar este algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera. En particular, el máximo común divisor de dos elementos siempre existe —lo cual no es en general cierto para un anillo arbitrario—, y puede ser expresado como una combinación lineal de ellos (identidad d (es)
- En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif intègre (voir aussi l'article anneau euclidien non commutatif). Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne. (fr)
- In de abstracte algebra en de ringtheorie, deelgebieden van de wiskunde, is een euclidisch domein een ring die aan bepaalde voorwaarden voldoet. Het is een commutatieve ring waarin de geheeltallige deling is gedefinieerd. Een euclidisch domein komt in de onderstaande keten van deelverzamelingen voor: eindige lichamen/velden ⊂ lichamen (Nederlands) / velden (Belgisch) ⊂ Euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen (nl)
- 数学の特に抽象代数学および環論におけるユークリッド整域（ユークリッドせいいき、英: Euclidean domain）あるいはユークリッド環（ユークリッドかん、英: Euclidean ring）とは、「ユークリッド写像（次数写像）」とも呼ばれるある種の構造を備えた環で、そこではユークリッドの互除法を適当に一般化したものが行える。この一般化された互除法は整数に対するもともとの互除法アルゴリズムとほとんど同じ形で行うことができ、任意のユークリッド環において二元の最大公約数を求めるのに適用できる。特に、任意の二元に対してそれらの最大公約数は存在し、それら二元の線型結合として書き表される（ベズーの等式）。また、ユークリッド環の任意のイデアルは主イデアル（つまり、単項生成）であり、したがって算術の基本定理の適当な一般化が成立する。すなわち、任意のユークリッド環は一意分解環である。 そういったことから、整域 R が与えられたとき、R がユークリッド写像を持つことがわかるとしばしば非常に便利なのである。特に、そのとき R が PID であることが分かるが、しかし一般にはユークリッド写像の存在が「明らか」でないときに R が PID かどうかを決定する問題は、それがユークリッド環であるかどうかの決定よりも容易である。 (ja)
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