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- In mathematics, the linear algebra concept of dual basis can be applied in the context of a finite extension L/K, by using the field trace. This requires the property that the field trace TrL/K provides a non-degenerate quadratic form over K. This can be guaranteed if the extension is separable; it is automatically true if K is a perfect field, and hence in the cases where K is finite, or of characteristic zero. A dual basis is not a concrete basis like the polynomial basis or the normal basis; rather it provides a way of using a second basis for computations. Consider two bases for elements in a finite field, GF(pm): and then B2 can be considered a dual basis of B1 provided Here the trace of a value in GF(pm) can be calculated as follows: Using a dual basis can provide a way to easily communicate between devices that use different bases, rather than having to explicitly convert between bases using the change of bases formula. Furthermore, if a dual basis is implemented then conversion from an element in the original basis to the dual basis can be accomplished with multiplication by the multiplicative identity (usually 1). (en)
- 数学の線型代数学における双対基底の概念は、体のトレースを用いることで有限次拡大 L/K へと応用することが出来る。ただし、その体のトレースによる TrL/K(xy) が、K 上の非退化な二次形式を与えることが必要となる。これはその拡大体が分離拡大である時に満たされる。したがって、K が完全体のとき、とくに K が有限体や標数ゼロである時に、自動的に満たされる。 双対基底（dual basis）は多項式基底や正規基底のような具体的な基底ではない。むしろそれは、計算のための第二の基底を用いる方法を提供する概念である。 L/K を有限次分離拡大とする。 を L の K-基底とすると、 を満たす基底 が存在する。これをトレース TrL/K に関する B1 の双対基底と言う。 L を有限体 GF(qm)、K をGF(q) とすると、体の拡大 L/K の元のトレースは、 と計算される。 L = K (α) を分離拡大とし、f をαの最小多項式、 とする。このとき 1, α, ..., αn−1 と双対な基底は である。 双対基底を用いることは、基底の変換公式を用いて陽に基底を変換するよりも、異なる基底を用いる手法を簡単に結びつける方法を提供する。さらに、双対基底をもつならば、元の基底のある元から双対基底への変換は、乗法的単位元（通常は 1）の乗算によって達成される。 (ja)
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- 数学の線型代数学における双対基底の概念は、体のトレースを用いることで有限次拡大 L/K へと応用することが出来る。ただし、その体のトレースによる TrL/K(xy) が、K 上の非退化な二次形式を与えることが必要となる。これはその拡大体が分離拡大である時に満たされる。したがって、K が完全体のとき、とくに K が有限体や標数ゼロである時に、自動的に満たされる。 双対基底（dual basis）は多項式基底や正規基底のような具体的な基底ではない。むしろそれは、計算のための第二の基底を用いる方法を提供する概念である。 L/K を有限次分離拡大とする。 を L の K-基底とすると、 を満たす基底 が存在する。これをトレース TrL/K に関する B1 の双対基底と言う。 L を有限体 GF(qm)、K をGF(q) とすると、体の拡大 L/K の元のトレースは、 と計算される。 L = K (α) を分離拡大とし、f をαの最小多項式、 とする。このとき 1, α, ..., αn−1 と双対な基底は である。 双対基底を用いることは、基底の変換公式を用いて陽に基底を変換するよりも、異なる基底を用いる手法を簡単に結びつける方法を提供する。さらに、双対基底をもつならば、元の基底のある元から双対基底への変換は、乗法的単位元（通常は 1）の乗算によって達成される。 (ja)
- In mathematics, the linear algebra concept of dual basis can be applied in the context of a finite extension L/K, by using the field trace. This requires the property that the field trace TrL/K provides a non-degenerate quadratic form over K. This can be guaranteed if the extension is separable; it is automatically true if K is a perfect field, and hence in the cases where K is finite, or of characteristic zero. A dual basis is not a concrete basis like the polynomial basis or the normal basis; rather it provides a way of using a second basis for computations. and (en)
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- Dual basis in a field extension (en)
- 拡大体における双対基底 (ja)
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