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- Das Jacobi-Tripelprodukt oder die Jacobi-Tripelprodukt-Identität ist eine Identität zwischen unendlichen Produkten und Reihen die es erlaubt, die Thetafunktion von Carl Gustav Jacobi statt als unendliche Reihe als unendliches Produkt darzustellen. Ein Spezialfall ist der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler, auf dem auch Jacobis Beweis der Identität beruht (Jacobi, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum, 1829). Die Tripelprodukt-Identität lautet (mit komplexen Zahlen , und ) Das lässt sich auch als Beziehung zwischen Thetafunktionen ausdrücken. Sei (wobei das Imaginärteil von ist) und . Dann ist die rechte Seite der Tripelprodukt-Identität die Jacobische Thetafunktion: . und man erhält insgesamt: Der Pentagonalsatz von Euler ergibt sich mit und : Besonders kompakt lässt sich das Tripelprodukt mit der Ramanujan-Thetafunktion ausdrücken mit . Dann ist die Tripel-Produkt-Identität mit dem q-Pochhammer-Symbol . Dabei wurde und gesetzt. Es sind viele Beweise der Tripleprodukt-Identität bekannt. Unter anderem gab E. M. Wright einen kombinatorischen Beweis. Eine weitere Formulierung, die sich einfach aus der obigen ergibt ist: (de)
- In mathematics, the Jacobi triple product is the mathematical identity: for complex numbers x and y, with |x| < 1 and y ≠ 0. It was introduced by Jacobi in his work Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. The Jacobi triple product identity is the Macdonald identity for the affine root system of type A1, and is the Weyl denominator formula for the corresponding affine Kac–Moody algebra. (en)
- En matemática, el producto triple de Jacobi triple es la identidad matemática: para números complejos x e y, con |x| < 1 e y ≠ 0. Esta es atribuida a Carl Gustav Jacob Jacobi, la cual demostró en 1829 en su trabajo Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. (es)
- En mathématiques, le triple produit de Jacobi, dû à Charles Gustave Jacob Jacobi, est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit infini. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème des nombres pentagonaux. Soient x et z des nombres complexes, avec |x| < 1 et z ≠ 0. Alors . (fr)
- ヤコビの三重積 (ヤコビのさんじゅうせき、Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。 但し、とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、と置くことにより 或いは、と置くことにより となり、数論にも適する形になる。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが1829年の著書 Jacobiで示した。 (ja)
- In matematica, l'identità del triplo prodotto di Jacobi è l'identità matematica: Per i numeri complessi x ed y, con |x| < 1 e y ≠ 0. L'identità è attribuita a Karl Gustav Jacob Jacobi, che la dimostrò nel 1829 nella sua opera Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Questa relazione permette di generalizzare altri risultati, come il teorema dei numeri pentagonali di Eulero, essendo questo un caso speciale dell'identità del triplo prodotto di Jacobi. Infatti, ponendo e , si ottiene poi, notando che i tre termini a 2° membro dell'equazione sono consecutivi ed infine riordinando si ritrova il risultato di Eulero L'identità del triplo prodotto di Jacobi riesprime in forma di prodotto la funzione theta di Jacobi, normalmente scritta come serie: o, appunto come ponendo e Usando l'identità del triplo prodotto di Jacobi possiamo perciò scrivere la funzione theta come il prodotto Esistono diversi modi di esprimere l'identità del triplo prodotto di Jacobi. Assume una forma concisa quando viene espressa in termini dei q-simboli di Pochhammer. dove è il q-simbolo infinito di Pochhammer. Particolarmente elegante è invece la forma che prende quando viene espressa in termini della funzione theta di Ramanujan: ove . (it)
- Тройное произведение Якоби — это математическое тождество: для комплексных чисел x и y с и . Тождество предложил Карл Густав Якоб Якоби в труде (Новые принципы в теории эллиптических функций). Тождество тройного произведения Якоби является для аффинных корней системы типа A1 и является для соответствующей аффинной . (ru)
- Inom matematiken är Jacobis trippelprodukt identiteten för komplexa tal x och y med |x| < 1 och y ≠ 0. Den introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi i hans bok . (sv)
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- In mathematics, the Jacobi triple product is the mathematical identity: for complex numbers x and y, with |x| < 1 and y ≠ 0. It was introduced by Jacobi in his work Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. The Jacobi triple product identity is the Macdonald identity for the affine root system of type A1, and is the Weyl denominator formula for the corresponding affine Kac–Moody algebra. (en)
- En matemática, el producto triple de Jacobi triple es la identidad matemática: para números complejos x e y, con |x| < 1 e y ≠ 0. Esta es atribuida a Carl Gustav Jacob Jacobi, la cual demostró en 1829 en su trabajo Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. (es)
- En mathématiques, le triple produit de Jacobi, dû à Charles Gustave Jacob Jacobi, est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit infini. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème des nombres pentagonaux. Soient x et z des nombres complexes, avec |x| < 1 et z ≠ 0. Alors . (fr)
- ヤコビの三重積 (ヤコビのさんじゅうせき、Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。 但し、とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、と置くことにより 或いは、と置くことにより となり、数論にも適する形になる。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが1829年の著書 Jacobiで示した。 (ja)
- Тройное произведение Якоби — это математическое тождество: для комплексных чисел x и y с и . Тождество предложил Карл Густав Якоб Якоби в труде (Новые принципы в теории эллиптических функций). Тождество тройного произведения Якоби является для аффинных корней системы типа A1 и является для соответствующей аффинной . (ru)
- Inom matematiken är Jacobis trippelprodukt identiteten för komplexa tal x och y med |x| < 1 och y ≠ 0. Den introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi i hans bok . (sv)
- Das Jacobi-Tripelprodukt oder die Jacobi-Tripelprodukt-Identität ist eine Identität zwischen unendlichen Produkten und Reihen die es erlaubt, die Thetafunktion von Carl Gustav Jacobi statt als unendliche Reihe als unendliches Produkt darzustellen. Ein Spezialfall ist der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler, auf dem auch Jacobis Beweis der Identität beruht (Jacobi, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum, 1829). Die Tripelprodukt-Identität lautet (mit komplexen Zahlen , und ) . und man erhält insgesamt: Der Pentagonalsatz von Euler ergibt sich mit und : (de)
- In matematica, l'identità del triplo prodotto di Jacobi è l'identità matematica: Per i numeri complessi x ed y, con |x| < 1 e y ≠ 0. L'identità è attribuita a Karl Gustav Jacob Jacobi, che la dimostrò nel 1829 nella sua opera Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Questa relazione permette di generalizzare altri risultati, come il teorema dei numeri pentagonali di Eulero, essendo questo un caso speciale dell'identità del triplo prodotto di Jacobi. Infatti, ponendo e , si ottiene o, appunto come ponendo e dove è il q-simbolo infinito di Pochhammer. ove . (it)
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- Jacobi-Tripelprodukt (de)
- Producto triple de Jacobi (es)
- Jacobi triple product (en)
- Triple produit de Jacobi (fr)
- Identità del triplo prodotto di Jacobi (it)
- ヤコビの三重積 (ja)
- Тройное произведение Якоби (ru)
- Jacobis trippelprodukt (sv)
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