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- En matemática, la función zeta de Hasse-Weil asociada a una variedad algebraica V definida sobre un cuerpo numérico K es uno de los dos tipos más importantes de funciones L. Estas funciones L son llamadas 'globales', en el sentido en que se definen como productos de Euler en términos de funciones zeta locales. Ellas forman una de las dos principales clases de funciones L globales, las otras son las funciones L asociadas a la . Se podría conjeturar que en realidad existe solo un tipo esencial de función L global, con dos descripciones (según se aproxime uno desde una vaiedad algebraica, o desde una representación automórfica); esta sería una generalización muy amplia de la conjetura de Taniyama-Shimura, que es en sí misma un resultado muy profundo y reciente (2004) en la teoría de números. La descripción de la función zeta de Hasse-Weil hasta un número finito de factores de su producto de Euler es relativamente simple. Su desarrollo sigue la sugerencias iniciales de Helmut Hasse y André Weil, motivados por el caso en que V es un punto simple, y los resultados de la función zeta de Riemann. (es)
- In mathematics, the Hasse–Weil zeta function attached to an algebraic variety V defined over an algebraic number field K is a meromorphic function on the complex plane defined in terms of the number of points on the variety after reducing modulo each prime number p. It is a global L-function defined as an Euler product of local zeta functions. Hasse–Weil L-functions form one of the two major classes of global L-functions, alongside the L-functions associated to automorphic representations. Conjecturally, these two types of global L-functions are actually two descriptions of the same type of global L-function; this would be a vast generalisation of the Taniyama-Weil conjecture, itself an important result in number theory. For an elliptic curve over a number field K, the Hasse–Weil zeta function is conjecturally related to the group of rational points of the elliptic curve over K by the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. (en)
- En mathématiques, la fonction zêta de Hasse-Weil attachée à une variété algébrique V définie sur un corps de nombres K est un des deux types les plus importants des fonctions L. De telles fonctions L sont appelées 'globales', elles sont définies comme des produits eulériens en termes de fonctions zêta locales. Elles forment une des deux classes majeures des fonctions L globales, l'autre étant les fonctions L associées aux représentations automorphes. Conjecturellement, il existe simplement un type essentiel de fonction L globale, avec deux descriptions (provenant d'une variété algébrique, provenant d'une représentation automorphe) ; ce serait une vaste généralisation de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, elle-même un résultat récent et très profond (en 2004) de la théorie des nombres. La description d'une fonction zêta de Hasse-Weil comme produit eulérien est relativement simple, au moins à un nombre fini de facteurs près. Ceci découle des suggestions initiales de Helmut Hasse et André Weil, motivées par le cas dans lequel V est un point isolé, et les résultats de la fonction zêta de Riemann. En prenant le cas où K est le corps ℚ des nombres rationnels, et V une variété projective non singulière, nous pouvons pour presque tous les nombres premiers p considérer la réduction de V modulo p, une variété algébrique Vp sur le corps fini Fp à p éléments, simplement en réduisant les équations pour V. De nouveau, pour presque tous les p, elle sera non singulière. Nous définissons comme étant la série de Dirichlet de la variable complexe s, qui est le produit infini de fonctions zêta locales . Alors , selon notre définition, n'est bien définie qu'à multiplication près par les fonctions rationnelles en un nombre fini de . Puisque l'indétermination est relativement anodine, et possède un prolongement analytique partout, on peut donner un sens au fait que les propriétés de n'en dépendent pas essentiellement. En particulier, tandis que la forme exacte de l'équation fonctionnelle pour , qui se reflète dans une droite verticale dans le plan complexe, dépend de « facteurs manquants », l'existence même d'une telle équation n'en dépend pas. Une définition plus raffinée est devenue possible avec le développement de la cohomologie étale ; ceci explique de manière ordonnée que faire avec les facteurs de 'mauvaise réduction', manquants. Selon les principes généraux de la théorie de la ramification, les « mauvais » nombres premiers portent une bonne information (théorie du (en)). Ceux-ci se manifestent d'eux-mêmes dans la théorie étale par le pour la ; c'est-à-dire qu'il existe une bonne réduction, dans un sens défini, en tous les nombres premiers p pour lesquels la représentation galoisienne ρ sur les groupes cohomologiques étales de V est non ramifiée. Pour ceux-ci, la définition de fonction zêta locale peut être exprimée en termes de polynôme caractéristique de étant un élément de Frobenius pour p. Ce qui arrive au p ramifié est que ρ est non trivial sur le groupe d'inertie pour p. En ces nombres premiers, la définition doit être « corrigée », en prenant le plus grand quotient de la représentation ρ sur lequel le groupe d'inertie agit par la . Avec ce raffinement, la définition de peut être améliorée de « presque tous » les p à tous les p participant au produit eulérien. Les conséquences pour l'équation fonctionnelle ont été établies par Jean-Pierre Serre et Pierre Deligne à la fin des années 1960 ; l'équation fonctionnelle elle-même n'a pas été démontrée en général. (fr)
- 수학에서, 하세-베유 제타 함수(영어: Hasse–Weil zeta function)는 주어진 대수다양체의 일부 성질들을 나타내는 L-함수의 하나이다. 유한체에 대한 점들의 수에 대한 정보를 담고 있다. (ko)
- In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Hasse-Weil-zèta-functie verbonden aan een algebraïsche variëteit , gedefinieerd over een algebraïsch getallenlichaam , een van de twee belangrijkste typen van L-functies, Zulke -functies worden in die zin 'globaal' genoemd, dat zij worden gedefinieerd als Euler-producten in termen van lokale zèta-functies. Zij vormen een van de twee belangrijkste klassen van globale -functies. De andere klasse zijn de -functies die geassocieerd worden met automorfe representaties. Men vermoedt dat er in essentie slechts één type globale -functie bestaat, met twee beschrijvingen (eentje afkomstig van een algebraïsche variëteit en eentje afkomstig van een automorfe representatie); Bewijs van dit vermoeden zou een belangrijke veralgemening van de stelling van Shimura-Taniyama (modulariteitsstelling) betekenen, zelf een zeer diep en recent resultaat uit de getaltheorie. De beschrijving van de Hasse-Weil-zètafunctie up to een eindig aantal factoren van zijn euler-product is relatief eenvoudig. Dit volgt de eerste suggesties van Helmut Hasse en André Weil, gemotiveerd door het geval waarin de algebraïsche variëteit een enkel punt is, en de Riemann-zèta-functie het resultaat is. In het geval dat het rationale getallenlichaam en een projectieve variëteit is, kunnen wij voor priemgetallen de reductie van modulo , een algebraïsche variëteit over het eindige lichaam/veld met elementen, in beschouwing nemen, door de vergelijkingen voor te reduceren. Voor bijna alle zal dit niet-singulier zijn. Wij definiëren als de Dirichletreeks van de complexe variabele, wat het oneindige product van de lokale zèta-functies is. Dan is volgens onze definitie slechts "up to" vermenigvuldiging door rationale functies op een eindig aantal manieren welgedefinieerd. Aangezien de onbepaaldheid relatief onschuldig is, en overal een meromorfe voortzetting heeft, is er een zin waarin de eigenschappen van er niet wezenlijk van afhankelijk zijn. Hoewel de precieze vorm van de functionaalvergelijking voor , die zich weerspiegelt in een verticale lijn in het complexe vlak, zeker zal afhangen van de 'ontbrekende' factoren, doet het bestaan van een dergelijke functionaalvergelijking dit niet. Een meer verfijnde definitie werd mogelijk als gevolg van de ontwikkeling van de étale cohomologie; dit legt netjes uit wat te doen met de ontbrekende, 'slechte reductie'-factoren. Volgens de algemene beginselen zichtbaar in de vertakkingstheorie, dragen 'slechte' priemgetallen goede informatie (theorie van de conductor). Dit manifesteert zich in de étale-theorie in het voor een 'goede reductie'; namelijk dat er in een bepaalde zin voor alle priemgetallen waarvoor de op de étale cohomologiegroepen van onvertakt is, een goede reductie bestaat. Voor dezen kan de definitie van lokale zèta-functie worden opgesteld in termen van karakteristieke polynoom van , waarin een Frobenius-element voor is. Wat er gebeurt op de vertakte is dat niet-triviaal is op de voor . Op die priemgetallen moet de definitie worden 'gecorrigeerd', door het nemen van de grootste quotiënt van de representatie waarop de inertiegroep werkt door de . Met deze verfijning kan de definitie van succesvol worden opgewaardeerd van 'vrijwel alle' tot alle die deelnemen aan het Euler-product. De gevolgen voor de functionaalvergelijking werden in de late jaren zestig van de twintigste eeuw uitgewerkt door Serre en Deligne; de functionaalvergelijking is zelf niet bewezen voor het algemene geval. (nl)
- ハッセ・ヴェイユのゼータ函数（英: Hasse–Weil zeta function）とは、数学において最も重要な L-函数のうちの一つである。これは代数体上の代数多様体にたいして定義される複素関数である。これは各素数ごとの因子である局所ゼータ函数の無限積オイラー積として定義される。ハッセ・ヴェイユゼータ函数は、大域的L-函数の 2つの大きなクラスの一つで、他は保型表現に付随する L-函数である。予想としては、ハッセ・ヴェイユのゼータ関数全体と保型表現からさだまる全体の間に対応があると考えられており、これは谷山志村予想の非常に大きな一般化である。 オイラー積の有限個の要素を除外したハッセ・ヴェイユゼータ函数の記述は比較的単純である。これはヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) とアンドレ・ヴェイユ (André Weil) が初めて示唆した。代数多様体が一点の場合、有理数体上ならリーマンゼータ函数、一般の代数体ならデデキントゼータ関数に対応し、これを一般化したものとなる。 話を単純にするため、有理数体上の代数多様体 V にたいして、そのハッセ・ヴェイユゼータ函数を説明する。V が非特異射影多様体のとき、素数 p に対し、p を法として V の還元を考える。p 個の元を持つ有限体 Fp 上の代数多様体 Vp はまさに V の方程式を還元することにより得られる。ほとんど全ての p に対して、Vp は非特異となる。複素変数 s のディリクレ級数として局所ゼータ函数 の無限積として を定義する。 すると、Z(s) は、定義に従い、有限個の p−s の有理函数による乗法のみを除外して well-defined である。 この有理函数による乗法の不定性は比較的実害がない。たとえば有理型函数として解析接続することができるので、Z(s) が有理型函数に解析接続されるという性質はこの不定性に依存しない。また函数等式についても、函数等式の対称軸の正確な位置は悪い因子に依存するものの、函数等式が存在する事自体にはいくつかの因子を除いた事は影響しない。 エタールコホモロジーの発展により、正確な定義が可能となった。とくに、悪い還元に対応するオイラー因子が何かということを説明することができる。分岐理論で理解される一般原理に従うと、悪い素数では導手の理論のような良い情報を持っている。をもつ素数 p においてはにより V のエタールコホモロジー上のガロア表現 ρ は不分岐である。このため、局所ゼータ函数の定義は、 の特性多項式の項で再現できる。ここの Frob(p) は p に対するフロベニウス元である。悪い還元をもつ素数 p では、ρ が p に対する惰性群 I(p) 上非自明な作用をもつ。これらの素数では、惰性群がとして作用するような表現 ρ の最も大きな商をとることによってオイラー因子をさだめる。このようにして、Z(s) の定義はほとんど全ての p から全ての p へ、オイラー積が整合性をもつようにうまくアップグレードすることができる。函数等式の結果は1960年代後半にセール (Serre) とドリーニュ (Deligne) により完成され、函数等式自体は一般的に証明されていない。 (ja)
- Дзета-функция Хассе-Вейля — аналог дзета-функции Римана, который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой. (ru)
- Em matemática, a função zeta de Hasse-Weil associada a uma variedade algébrica V definida sobre um corpo numérico K é um dos dois tipos mais importantes de funções L. Estas funções L são chamadas 'globais', no sentido que são definidas como produtos de Euler em termos de funções zeta locais. Elas formam uma das duas principais classes de funções L globais, as outras são as funções L associadas à representações automórficas. Se poderia conjecturar que na realidade existe só um tipo essencial de função L global, com duas descrições (segundo se aproxime um desde uma variedade algébrica, ou desde uma representação automórfica); esta seria uma generalização muito ampla da conjectura de Taniyama-Shimura, que é em si mesma um resultado muito profundo e recente (2004) na teoria dos números. A descrição da função zeta de Hasse–Weil até finitamente muitos fatores de seu produto de Euler é relativamente simples. Isto segue as sugestões iniciais de Helmut Hasse e André Weil, motivadas pelo cano no qual V é um ponto único, e resulta na função zeta de Riemann. Tomando o caso de K o corpo de números racionais Q, e V uma variedade projetiva não sinfular, podemos por números primos p considerar a redução de V módulo p, uma variedade algébrica Vp sobre o corpo finito com p elementos, só pela redução de equações para V. Mais uma vez para quase todos os p será não singular. Define-se ser a série de Dirichlet das variáveis complexas s, a qual é o das funções zeta locais Então , de acordo com nossa definição, é bem definido apenas até a multiplicação pelas funções racionais em um número finito de . Já que a indeterminância é relativamente anódina, e tem continuação meromorfa em toda parte, existe um sentido no qual as propriedades de não dependem essencialmente disto. Em particular, enquanto a forma exata da equação funcional para Z(s), refletindo em uma linha vertical no plano complexo, irá depender definitivamente de fatores 'perdidos', a existência de algumas dessas equações funcionais não. Uma definição mais refinada torna-se possível com o desenvolvimento de cohomologia etal; isto explica perfeitamente o que fazer sobre os fatores de 'má redução' perdidos. De acordo com os princípios gerais visíveis na , 'maus' primos portam boa informação (teoria do condutor). Isto manifesta-se na teoria etal no para uma ; nomeada já que há uma boa redução, em um sentido definido, em todos os primos p para os quais a ρ sobre os grupos etais de cohomologia de V é não ramificada. Para estes, a definição de função zeta local pode ser recuperado em termos de característica polinomial de sendo um elemento de Frobenius para p. O que ocorre no p ramificado é que ρ é não trivial sobre o para p. Nestes primos a definição deve ser 'corrigida', tomando o maior quociente da representação ρ sobre o qual o grupo de inércia atua pela . Com este refinamento, a definição de pode ser expandido com êxito em 'quase todos' p a todos p participantes no produto de Euler. As consequências para a equação funcional foram apresentadas nos trabalhos de Serre e no final dos anos 1960; a equação funcional em si não tem sido demonstrada em geral. (pt)
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- 수학에서, 하세-베유 제타 함수(영어: Hasse–Weil zeta function)는 주어진 대수다양체의 일부 성질들을 나타내는 L-함수의 하나이다. 유한체에 대한 점들의 수에 대한 정보를 담고 있다. (ko)
- Дзета-функция Хассе-Вейля — аналог дзета-функции Римана, который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой. (ru)
- En matemática, la función zeta de Hasse-Weil asociada a una variedad algebraica V definida sobre un cuerpo numérico K es uno de los dos tipos más importantes de funciones L. Estas funciones L son llamadas 'globales', en el sentido en que se definen como productos de Euler en términos de funciones zeta locales. Ellas forman una de las dos principales clases de funciones L globales, las otras son las funciones L asociadas a la . Se podría conjeturar que en realidad existe solo un tipo esencial de función L global, con dos descripciones (según se aproxime uno desde una vaiedad algebraica, o desde una representación automórfica); esta sería una generalización muy amplia de la conjetura de Taniyama-Shimura, que es en sí misma un resultado muy profundo y reciente (2004) en la teoría de números. (es)
- In mathematics, the Hasse–Weil zeta function attached to an algebraic variety V defined over an algebraic number field K is a meromorphic function on the complex plane defined in terms of the number of points on the variety after reducing modulo each prime number p. It is a global L-function defined as an Euler product of local zeta functions. For an elliptic curve over a number field K, the Hasse–Weil zeta function is conjecturally related to the group of rational points of the elliptic curve over K by the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. (en)
- En mathématiques, la fonction zêta de Hasse-Weil attachée à une variété algébrique V définie sur un corps de nombres K est un des deux types les plus importants des fonctions L. De telles fonctions L sont appelées 'globales', elles sont définies comme des produits eulériens en termes de fonctions zêta locales. Elles forment une des deux classes majeures des fonctions L globales, l'autre étant les fonctions L associées aux représentations automorphes. Conjecturellement, il existe simplement un type essentiel de fonction L globale, avec deux descriptions (provenant d'une variété algébrique, provenant d'une représentation automorphe) ; ce serait une vaste généralisation de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, elle-même un résultat récent et très profond (en 2004) de la théorie des nombres. (fr)
- In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Hasse-Weil-zèta-functie verbonden aan een algebraïsche variëteit , gedefinieerd over een algebraïsch getallenlichaam , een van de twee belangrijkste typen van L-functies, Zulke -functies worden in die zin 'globaal' genoemd, dat zij worden gedefinieerd als Euler-producten in termen van lokale zèta-functies. Zij vormen een van de twee belangrijkste klassen van globale -functies. De andere klasse zijn de -functies die geassocieerd worden met automorfe representaties. , (nl)
- ハッセ・ヴェイユのゼータ函数（英: Hasse–Weil zeta function）とは、数学において最も重要な L-函数のうちの一つである。これは代数体上の代数多様体にたいして定義される複素関数である。これは各素数ごとの因子である局所ゼータ函数の無限積オイラー積として定義される。ハッセ・ヴェイユゼータ函数は、大域的L-函数の 2つの大きなクラスの一つで、他は保型表現に付随する L-函数である。予想としては、ハッセ・ヴェイユのゼータ関数全体と保型表現からさだまる全体の間に対応があると考えられており、これは谷山志村予想の非常に大きな一般化である。 オイラー積の有限個の要素を除外したハッセ・ヴェイユゼータ函数の記述は比較的単純である。これはヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) とアンドレ・ヴェイユ (André Weil) が初めて示唆した。代数多様体が一点の場合、有理数体上ならリーマンゼータ函数、一般の代数体ならデデキントゼータ関数に対応し、これを一般化したものとなる。 の無限積として を定義する。 すると、Z(s) は、定義に従い、有限個の p−s の有理函数による乗法のみを除外して well-defined である。 (ja)
- Em matemática, a função zeta de Hasse-Weil associada a uma variedade algébrica V definida sobre um corpo numérico K é um dos dois tipos mais importantes de funções L. Estas funções L são chamadas 'globais', no sentido que são definidas como produtos de Euler em termos de funções zeta locais. Elas formam uma das duas principais classes de funções L globais, as outras são as funções L associadas à representações automórficas. Se poderia conjecturar que na realidade existe só um tipo essencial de função L global, com duas descrições (segundo se aproxime um desde uma variedade algébrica, ou desde uma representação automórfica); esta seria uma generalização muito ampla da conjectura de Taniyama-Shimura, que é em si mesma um resultado muito profundo e recente (2004) na teoria dos números. (pt)
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