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- In mathematics, in particular in the theory of schemes in algebraic geometry, a flat morphism f from a scheme X to a scheme Y is a morphism such that the induced map on every stalk is a flat map of rings, i.e., is a flat map for all P in X. A map of rings is called flat if it is a homomorphism that makes B a flat A-module. A morphism of schemes is called faithfully flat if it is both surjective and flat. Two basic intuitions regarding flat morphisms are:
* flatness is a generic property; and
* the failure of flatness occurs on the jumping set of the morphism. The first of these comes from commutative algebra: subject to some on f, it can be shown that there is a non-empty open subscheme of Y, such that f restricted to Y′ is a flat morphism (generic flatness). Here 'restriction' is interpreted by means of the fiber product of schemes, applied to f and the inclusion map of into Y. For the second, the idea is that morphisms in algebraic geometry can exhibit discontinuities of a kind that are detected by flatness. For instance, the operation of blowing down in the birational geometry of an algebraic surface, can give a single fiber that is of dimension 1 when all the others have dimension 0. It turns out (retrospectively) that flatness in morphisms is directly related to controlling this sort of semicontinuity, or one-sided jumping. Flat morphisms are used to define (more than one version of) the flat topos, and flat cohomology of sheaves from it. This is a deep-lying theory, and has not been found easy to handle. The concept of étale morphism (and so étale cohomology) depends on the flat morphism concept: an étale morphism being flat, of finite type, and unramified. (en)
- En géométrie algébrique, un morphisme de schémas peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille. (fr)
- 平坦射（へいたんしゃ、英: flat morphism）とは、数学の代数幾何学におけるスキーム論の用語で、スキーム X からスキーム Y への射fであって茎に誘導される写像がすべて環の平坦写像になるもののことをいう。つまり、X のすべての点 P に対して が平坦写像になるもののことをいう。環の写像が平坦とは、準同型であってこれによりBが平坦 A 加群になることである。スキームの射が全射かつ平坦であるとき、忠実平坦という。 平坦射の感覚的な理解のうえでは次の2つが基本的である。
* 平坦性はである（このことを以下ではと呼ぶ）。つまり、（ある有限性の条件の下で）スキームの射はほとんどの点で平坦であり、平坦性が崩れるのは例外的な部分集合においてである。このことは可換環論における一般自由性の帰結である。
* 平坦射ではファイバーの等次元性が成り立つ。また、ある仮定のもとではファイバーが等次元であれば平坦である（）。このことから、平坦性とはすなわちファイバーが等次元であることと思える。この点に特に着目し、ファイバーに等次元性の条件を課したいときに平坦性を仮定することがある。また、平坦射は等次元のファイバーの族であることを強調したいとき、平坦射を平坦族ということも多い。例えば、双有理幾何学での代数曲面のブローダウンという操作では、ある特定の1点でのの次元は1であるが、他の点での次元はすべて0なので、平坦ではない。 平坦射は色々な種類のやの定義に使われる。これらは深い理論で、扱いやすいものではない。平坦射はエタール射の定義、ひいてはエタール・コホモロジーの定義にも使われる。エタール射とは、平坦かつ有限型かつ不分岐な射のことであった。 (ja)
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- En géométrie algébrique, un morphisme de schémas peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille. (fr)
- In mathematics, in particular in the theory of schemes in algebraic geometry, a flat morphism f from a scheme X to a scheme Y is a morphism such that the induced map on every stalk is a flat map of rings, i.e., is a flat map for all P in X. A map of rings is called flat if it is a homomorphism that makes B a flat A-module. A morphism of schemes is called faithfully flat if it is both surjective and flat. Two basic intuitions regarding flat morphisms are:
* flatness is a generic property; and
* the failure of flatness occurs on the jumping set of the morphism. (en)
- 平坦射（へいたんしゃ、英: flat morphism）とは、数学の代数幾何学におけるスキーム論の用語で、スキーム X からスキーム Y への射fであって茎に誘導される写像がすべて環の平坦写像になるもののことをいう。つまり、X のすべての点 P に対して が平坦写像になるもののことをいう。環の写像が平坦とは、準同型であってこれによりBが平坦 A 加群になることである。スキームの射が全射かつ平坦であるとき、忠実平坦という。 平坦射の感覚的な理解のうえでは次の2つが基本的である。 平坦射は色々な種類のやの定義に使われる。これらは深い理論で、扱いやすいものではない。平坦射はエタール射の定義、ひいてはエタール・コホモロジーの定義にも使われる。エタール射とは、平坦かつ有限型かつ不分岐な射のことであった。 (ja)
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- Morphisme plat (fr)
- Flat morphism (en)
- 평탄 사상 (ko)
- 平坦射 (ja)
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