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- Das Konzept eines (Phasen-)Flusses in der Mathematik ermöglicht die Beschreibung zeitabhängiger (System-)Zustände. Es ist deshalb vor allem für die Analyse gewöhnlicher Differentialgleichungen von Bedeutung und findet damit Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Formal ist der Fluss eine Operation einer Parameterhalbgruppe auf einer Menge . Meist, insbesondere in der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen, wird unter einem Fluss eine Operation des Monoids verstanden. Der Begriff ist nicht mit dem Begriff Fluss in der Netzwerktheorie, Graphentheorie und Informatik zu verwechseln (siehe Flüsse und Schnitte in Netzwerken). (de)
- In mathematics, a flow formalizes the idea of the motion of particles in a fluid. Flows are ubiquitous in science, including engineering and physics. The notion of flow is basic to the study of ordinary differential equations. Informally, a flow may be viewed as a continuous motion of points over time. More formally, a flow is a group action of the real numbers on a set. The idea of a vector flow, that is, the flow determined by a vector field, occurs in the areas of differential topology, Riemannian geometry and Lie groups. Specific examples of vector flows include the geodesic flow, the Hamiltonian flow, the Ricci flow, the mean curvature flow, and Anosov flows. Flows may also be defined for systems of random variables and stochastic processes, and occur in the study of ergodic dynamical systems. The most celebrated of these is perhaps the Bernoulli flow. (en)
- En matemáticas, un flujo formaliza la idea del movimiento de las partículas en un fluido. Los flujos son omnipresentes en la ciencia, incluida la ingeniería y la física. La noción de flujo es básica para el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. De manera informal, un flujo puede verse como un movimiento continuo de puntos a lo largo del tiempo. Más formalmente, un flujo es una acción grupal de los números reales en un conjunto. La idea de un , es decir, el flujo determinado por un campo vectorial, se produce en las áreas de topología diferencial, geometría riemanniana y grupos de Lie. Los ejemplos específicos de flujos vectoriales incluyen el flujo geodésico, el , el flujo de Ricci, el flujo de curvatura media y el . Los flujos también pueden definirse para sistemas de variables aleatorias y procesos estocásticos, y ocurren en el estudio de sistemas dinámicos ergódicos. El más célebre de estos es quizás el . (es)
- Le flot, coulée ou encore courant est, en mathématiques, un concept fondamental utilisé en géométrie différentielle. La notion de flot permet notamment de modéliser le déplacement dans le temps des éléments d'un fluide. Pour ce faire, on crée une application α qui, à chaque point x de l'espace concerné par l'écoulement, associe un autre point α(x,t), correspondant à la position qu'aurait une particule du fluide à l'instant t, si elle avait été située en x à l'instant 0. Le flot est associé à la notion de champ de vecteurs, c'est-à-dire à une application f, qui, à un point x d'un ouvert Ω d'un espace de Banach E, associe un vecteur de E. Un tel champ définit une équation différentielle du type α'(t) = f(α(t)), (c'est à dire, dans l'exemple du fluide, que la fonction f associe au point x à l'instant t, ses direction et vitesse de déplacement). Si la fonction f est localement lipschitzienne, pour chaque point x de Ω, il existe une solution maximale αx du problème de Cauchy constitué de cette équation différentielle et de la condition dite de Cauchy αx(0) = x. Vue comme une fonction de deux variables, t et x, l'application α est appelée le flot du champ f de vecteurs. Cette définition se généralise dans le cas d'un champ de vecteurs temporel (c'est-à-dire dépendant d'une variable t qui prend ses valeurs dans R) et dépendant d'un paramètre λ. Le flot et le champ de vecteurs deviennent des fonctions de trois variables : t, x et λ. Si le champ de vecteurs f est régulier, le flot est le support de plusieurs théorèmes, piliers de la théorie des équations différentielles. Si la fonction f est de classe Cp, le flot l'est aussi. Ce résultat est parfois considéré comme une forme avancée du théorème de Cauchy-Lipschitz. Si la fonction f ne dépend pas du temps, le théorème du redressement du flot indique que, localement, le champ de vecteurs est équivalent à un champ constant et cette équivalence transforme le flot en une fonction qui à (x, t) associe x + tv, où v est l'unique image du champ constant. Le flot est utilisé dans diverses branches des mathématiques. En analyse qualitative des équations différentielles, il est le cadre d'expression de théorèmes, comme celui de Poincaré-Bendixson. On trouve la notion de flot de manière générale dans l'étude d'un système dynamique continu. En topologie algébrique, il est utilisé pour démontrer le théorème de la boule chevelue ou encore celui du point fixe de Brouwer ; des applications plus avancées définissent des flots caractéristiques de la géométrie des objets étudiés, tels que le flot de Ricci, outil de base utilisé par Grigori Perelman pour démontrer la conjecture de Poincaré. L'usage du flot dépasse le cadre strict des mathématiques ; ainsi, le flot de Ricci est à l'origine d'un des modes d'expression des équations de la relativité générale en physique. (fr)
- 数学においてフロー（英: flow）は、流体における粒子の動きの概念を定式化したものである。工学や物理学を含む自然科学の分野に普遍的に現れるものとなっている。またその概念は、常微分方程式の研究において基本的なものとなっている。直感的に、フローはある点の時間についての連続的な動きを表すものと見なすことが出来る。より正式に、フローはある集合上の実数に関する群作用である。 、すなわちベクトル場によって決定されるフローの概念は、微分位相幾何学やリーマン幾何学、リー群の分野に現れる。ベクトルフローの具体例として、測地フローやハミルトンフロー、リッチフロー、、が挙げられる。フローはまた、確率変数や確率過程のシステムに対して定義されることもあり、力学系の研究に現れる。それらの内で最も有名なものは、ベルヌーイフローであるかも知れない。 (ja)
- In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un . È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico. L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale hamiltoniano, il e il flusso di Anosov. (it)
- 在数学中， 一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说，如果 是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数，那么 是一个流。更形式地说，流是单参数群在一个集合上的群作用。 的概念，即由一个向量场确定的流，出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、里奇流、以及 。 (zh)
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- 数学においてフロー（英: flow）は、流体における粒子の動きの概念を定式化したものである。工学や物理学を含む自然科学の分野に普遍的に現れるものとなっている。またその概念は、常微分方程式の研究において基本的なものとなっている。直感的に、フローはある点の時間についての連続的な動きを表すものと見なすことが出来る。より正式に、フローはある集合上の実数に関する群作用である。 、すなわちベクトル場によって決定されるフローの概念は、微分位相幾何学やリーマン幾何学、リー群の分野に現れる。ベクトルフローの具体例として、測地フローやハミルトンフロー、リッチフロー、、が挙げられる。フローはまた、確率変数や確率過程のシステムに対して定義されることもあり、力学系の研究に現れる。それらの内で最も有名なものは、ベルヌーイフローであるかも知れない。 (ja)
- 在数学中， 一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说，如果 是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数，那么 是一个流。更形式地说，流是单参数群在一个集合上的群作用。 的概念，即由一个向量场确定的流，出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、里奇流、以及 。 (zh)
- Das Konzept eines (Phasen-)Flusses in der Mathematik ermöglicht die Beschreibung zeitabhängiger (System-)Zustände. Es ist deshalb vor allem für die Analyse gewöhnlicher Differentialgleichungen von Bedeutung und findet damit Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Formal ist der Fluss eine Operation einer Parameterhalbgruppe auf einer Menge . Meist, insbesondere in der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen, wird unter einem Fluss eine Operation des Monoids verstanden. (de)
- In mathematics, a flow formalizes the idea of the motion of particles in a fluid. Flows are ubiquitous in science, including engineering and physics. The notion of flow is basic to the study of ordinary differential equations. Informally, a flow may be viewed as a continuous motion of points over time. More formally, a flow is a group action of the real numbers on a set. (en)
- En matemáticas, un flujo formaliza la idea del movimiento de las partículas en un fluido. Los flujos son omnipresentes en la ciencia, incluida la ingeniería y la física. La noción de flujo es básica para el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. De manera informal, un flujo puede verse como un movimiento continuo de puntos a lo largo del tiempo. Más formalmente, un flujo es una acción grupal de los números reales en un conjunto. (es)
- Le flot, coulée ou encore courant est, en mathématiques, un concept fondamental utilisé en géométrie différentielle. La notion de flot permet notamment de modéliser le déplacement dans le temps des éléments d'un fluide. Pour ce faire, on crée une application α qui, à chaque point x de l'espace concerné par l'écoulement, associe un autre point α(x,t), correspondant à la position qu'aurait une particule du fluide à l'instant t, si elle avait été située en x à l'instant 0. (fr)
- In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un . È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico. (it)
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