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- Floer-Homologien (FH) bezeichnet in der Topologie und Differentialgeometrie eine Gruppe ähnlich konstruierter Homologie-Invarianten. Sie haben ihren Ursprung im Werk von Andreas Floer und sind seitdem ständig weiterentwickelt worden. Floer erweiterte die Morse-Homologie (Morse-Theorie) endlichdimensionaler Mannigfaltigkeiten auf Fälle, in denen die Morse-Funktion nicht mehr endliche, sondern nur noch „relativ endliche“ Indizes hat, insbesondere in symplektischen Mannigfaltigkeiten, wo die „Differentiale“ der Homologie-Konstruktion pseudoholomorphe Kurven abzählen. (de)
- In mathematics, Floer homology is a tool for studying symplectic geometry and low-dimensional topology. Floer homology is a novel invariant that arises as an infinite-dimensional analogue of finite-dimensional Morse homology. Andreas Floer introduced the first version of Floer homology, now called Lagrangian Floer homology, in his proof of the Arnold conjecture in symplectic geometry. Floer also developed a closely related theory for Lagrangian submanifolds of a symplectic manifold. A third construction, also due to Floer, associates homology groups to closed three-dimensional manifolds using the Yang–Mills functional. These constructions and their descendants play a fundamental role in current investigations into the topology of symplectic and contact manifolds as well as (smooth) three- and four-dimensional manifolds. Floer homology is typically defined by associating to the object of interest an infinite-dimensional manifold and a real valued function on it. In the symplectic version, this is the free loop space of a symplectic manifold with the symplectic action functional. For the (instanton) version for three-manifolds, it is the space of SU(2)-connections on a three-dimensional manifold with the Chern–Simons functional. Loosely speaking, Floer homology is the Morse homology of the function on the infinite-dimensional manifold. A Floer chain complex is formed from the abelian group spanned by the critical points of the function (or possibly certain collections of critical points). The differential of the chain complex is defined by counting the function's gradient flow lines connecting certain pairs of critical points (or collections thereof). Floer homology is the homology of this chain complex. The gradient flow line equation, in a situation where Floer's ideas can be successfully applied, is typically a geometrically meaningful and analytically tractable equation. For symplectic Floer homology, the gradient flow equation for a path in the loopspace is (a perturbed version of) the Cauchy–Riemann equation for a map of a cylinder (the total space of the path of loops) to the symplectic manifold of interest; solutions are known as pseudoholomorphic curves. The Gromov compactness theorem is then used to show that the differential is well-defined and squares to zero, so that the Floer homology is defined. For instanton Floer homology, the gradient flow equations is exactly the Yang–Mills equation on the three-manifold crossed with the real line. (en)
- L'homologie de Floer est une adaptation de l'homologie de Morse en dimension infinie. (fr)
- 심플렉틱 기하학에서 플뢰어 호몰로지(영어: Floer homology)는 심플렉틱 다양체에 대하여 정의되는 무한 차원 모스 호몰로지의 일종이다. (ko)
- 数学において、フレアーホモロジー(Floer homology)は、シンプレクティック幾何学や低次元トポロジーの研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元のモース理論の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。アンドレアス・フレアー(Andreas Floer)は、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学のアーノルド予想の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。 フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興味深い対象へ結び付けることにより定義される。例えば、シンプレクティック幾何学のバージョンでは、フレアーホモロジーは、シンプレクティック作用汎函数をシンプレクティック多様体の自由ループ空間へ結び付ける。3次元多様体の（(instanton)）バージョンでは、3次元多様体上のSU(2)-接続の空間へ結び付ける。おまかに言うと、フレアーホモロジーは、無限次元多様体の上の自然な函数から計算されるモースホモロジーである。この自然な函数は、シンプレクティックな場合は、シンプレクティック作用を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間であり、3次元多様体の場合は、チャーン-サイモンズ汎函数を持つ 3次元多様体上の SU(2)-接続の空間である。大まかには、フレアーホモロジーは、無限次元多様体上の函数のモースホモロジーである。フレアーチェーン複体は、函数の臨界点(critical point)（もしくは、臨界点のある集まりでもよい）で張られるアーベル群から構成される。チェーン複体の微分は、臨界点と臨界点と（従って、臨界点の集まり）を結ぶ函数の勾配の力線の数を数えることにより定義される。このベクトル空間の線型な自己準同型は、2つの臨界点を結ぶ函数の勾配の力線を数えることで定義される。フレアーホモロジーは、このチェーン複体のホモロジーである。 フレアーのアイデアをうまく適用できる状況では、勾配の力線の方程式が、幾何学的解析的に扱いやすい典型的な方程式である。シンプレクティックフレアーホモロジーに対し、ループ空間の中の経路の勾配の力線の方程式は、注目しているシンプレクティック多様体への円筒形(cylinder)（ループの経路の全空間）からの写像のコーシー・リーマンの方程式（の摂動バージョン）であり、解は(pseudoholomorphic curves)として知られている。従って、(Gromov compactness theorem)は、微分が well-defined で、二乗が 0 となるので、フレアーホモロジーを定義することができることを示した。インスタントンフレアーホモロジーに対し、勾配の力線の方程式はまさに、実直線と交差する 3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式である。 (ja)
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- Atiyah-Floer conjecture (en)
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- Floer-Homologien (FH) bezeichnet in der Topologie und Differentialgeometrie eine Gruppe ähnlich konstruierter Homologie-Invarianten. Sie haben ihren Ursprung im Werk von Andreas Floer und sind seitdem ständig weiterentwickelt worden. Floer erweiterte die Morse-Homologie (Morse-Theorie) endlichdimensionaler Mannigfaltigkeiten auf Fälle, in denen die Morse-Funktion nicht mehr endliche, sondern nur noch „relativ endliche“ Indizes hat, insbesondere in symplektischen Mannigfaltigkeiten, wo die „Differentiale“ der Homologie-Konstruktion pseudoholomorphe Kurven abzählen. (de)
- L'homologie de Floer est une adaptation de l'homologie de Morse en dimension infinie. (fr)
- 심플렉틱 기하학에서 플뢰어 호몰로지(영어: Floer homology)는 심플렉틱 다양체에 대하여 정의되는 무한 차원 모스 호몰로지의 일종이다. (ko)
- In mathematics, Floer homology is a tool for studying symplectic geometry and low-dimensional topology. Floer homology is a novel invariant that arises as an infinite-dimensional analogue of finite-dimensional Morse homology. Andreas Floer introduced the first version of Floer homology, now called Lagrangian Floer homology, in his proof of the Arnold conjecture in symplectic geometry. Floer also developed a closely related theory for Lagrangian submanifolds of a symplectic manifold. A third construction, also due to Floer, associates homology groups to closed three-dimensional manifolds using the Yang–Mills functional. These constructions and their descendants play a fundamental role in current investigations into the topology of symplectic and contact manifolds as well as (smooth) three- (en)
- 数学において、フレアーホモロジー(Floer homology)は、シンプレクティック幾何学や低次元トポロジーの研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元のモース理論の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。アンドレアス・フレアー(Andreas Floer)は、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学のアーノルド予想の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。 (ja)
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- Floer-Homologie (de)
- Floer homology (en)
- Homologie de Floer (fr)
- 플뢰어 호몰로지 (ko)
- フレアーホモロジー (ja)
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