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| - En álgebra lineal, particularmente geometría proyectiva, una aplicación semilineal entre dos espacios vectoriales V and W sobre un cuerpo K es una función que es "más o menos" una aplicación lineal, es decir, hay una peculiaridad, que es un automorfismo de K. Explícitamente, es una función T : V → W que es:
* aditiva respecto a vectores:
* existe un automorfismo σ tal que . Si el dominio y el codominio son el mismo espacio (T : V → V), se le puede llamar transformación semilineal. (es)
- Als semilineare Abbildung bezeichnet man in der linearen Algebra eine Abbildung eines Vektorraums über einem Körper auf einen anderen Vektorraum über demselben Körper, die linear bis auf einen Körperautomorphismus , also in diesem Sinne „fast“ eine lineare Abbildung ist. In der Geometrie werden im gleichen Sinn auch allgemeiner semilineare Abbildungen zwischen Linksvektorräumen über evtl. auch verschiedenen Schiefkörpern definiert als Abbildungen, die linear bis auf einen Schiefkörpermonomorphismus sind. (de)
- In linear algebra, particularly projective geometry, a semilinear map between vector spaces V and W over a field K is a function that is a linear map "up to a twist", hence semi-linear, where "twist" means "field automorphism of K". Explicitly, it is a function T : V → W that is:
* additive with respect to vector addition:
* there exists a field automorphism θ of K such that , where is the image of the scalar under the automorphism. If such an automorphism exists and T is nonzero, it is unique, and T is called θ-semilinear. (en)
- 数学の線型代数学あるいは特に射影幾何学における半線型写像（はんせんけいしゃぞう、英: semilinear transformation; 半線型変換）は、ベクトル空間の間の写像であって、「体の自己同型でひねる違いを除いて」線型写像となっているようなものを言う（故に「半」線型）。 具体的に、体 K 上の体の自己同型 θ を一つ固定して（θ: λ ↦ λθ）、K 上のベクトル空間 V, W の間の写像 T: V → W が
* ベクトルの加法に関して分配的: で、
* スカラー倍に関しては捻られた関係式: を満たすとき T は半線型、特に固定した θ についての半双線型性であるから θ-半双線型であるという。可逆な半線型写像の（体の同型全てに亘る）全体は一般半線型群と呼ばれる群を成し、ΓL(V) と書かれる。これは一般線型群 GL(V) の類似であり、かつその拡大である。 (ja)
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| has abstract
| - Als semilineare Abbildung bezeichnet man in der linearen Algebra eine Abbildung eines Vektorraums über einem Körper auf einen anderen Vektorraum über demselben Körper, die linear bis auf einen Körperautomorphismus , also in diesem Sinne „fast“ eine lineare Abbildung ist. In der Geometrie werden im gleichen Sinn auch allgemeiner semilineare Abbildungen zwischen Linksvektorräumen über evtl. auch verschiedenen Schiefkörpern definiert als Abbildungen, die linear bis auf einen Schiefkörpermonomorphismus sind. Jede lineare Abbildung ist semilinear. Genau dann ist jede semilineare Abbildung über einem -Vektorraum (bzw. -Linksvektorraum) sogar linear, wenn der Körper (bzw. Schiefkörper) als einzigen Automorphismus die Identität zulässt. Diese Eigenschaft haben zum Beispiel alle Primkörper, der Körper der reellen Zahlen und alle euklidischen, insbesondere die reell abgeschlossenen Körper. Eine semilineare Funktion (auch Semilinearform) ist eine semilineare Abbildung eines -(Links-)Vektorraumes in den (Schief-)Körper selbst als eindimensionaler -Vektorraum. Bei Wahl fester Basen der Vektorräume kann jede semilineare Abbildung eindeutig als Hintereinanderausführung einer linearen Abbildung, d. h. einer Matrix, und der Anwendung des jeweiligen (Schief-)Körperautomorphismus auf jede Koordinate dargestellt werden. Die für Anwendungen außerhalb der Geometrie im engeren Sinn, etwa für Sesquilinearformen, wichtigsten Fälle sind die semilinearen Abbildungen zwischen komplexen Räumen, also zwischen -Vektorräumen, bezüglich der komplexen Konjugation. Für diese Fälle wird der im vorliegenden Artikel beschriebene Begriff auch als antilineare Abbildung oder konjugiert lineare Abbildung bezeichnet, im projektiven Fall heißt eine bijektive, semilineare Selbstabbildung dann auch Antiprojektivität, bei diesen Bezeichnungen muss die Abbildung jeweils semilinear, darf aber nicht linear sein, mit anderen Worten: Der zugehörige Körperautomorphismus darf nicht die identische Abbildung sein. Jede semilineare Abbildung liefert in der synthetischen Geometrie eine Darstellung des homogenen Anteils einer geradentreuen Abbildung einer mindestens zweidimensionalen desarguesschen affinen Geometrie mit mehr als zwei Punkten auf jeder Geraden auf eine andere affine Geometrie bzw. eine Matrixdarstellung einer mindestens zweidimensionalen, desarguesschen projektiven Geometrie auf eine andere projektive Geometrie in Bezug auf je ein in Werte- und Zielraum fest vorgegebenes Koordinatensystem. Hier kann der Morphismus aus der Definition und der Darstellung auch ein Schiefkörpermonomorphismus, also ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen Schiefkörpern sein. Der Bildraum kann dann auch ein -Linksvektorraum über einem „größeren“ Schiefkörper und der Werteraum über einem Körper sein, der zu einem Teilkörper isomorph ist. Bijektive, semilineare Selbstabbildungen eines mindestens zweidimensionalen, desarguesschen affinen oder projektiven Raumes sind in diesem Sinne genau die Matrix-Darstellungen für die Kollineationen dieses Raumes, ggf. zusammen mit einem Schiefkörperautomorphismus. (de)
- En álgebra lineal, particularmente geometría proyectiva, una aplicación semilineal entre dos espacios vectoriales V and W sobre un cuerpo K es una función que es "más o menos" una aplicación lineal, es decir, hay una peculiaridad, que es un automorfismo de K. Explícitamente, es una función T : V → W que es:
* aditiva respecto a vectores:
* existe un automorfismo σ tal que . Si el dominio y el codominio son el mismo espacio (T : V → V), se le puede llamar transformación semilineal. (es)
- In linear algebra, particularly projective geometry, a semilinear map between vector spaces V and W over a field K is a function that is a linear map "up to a twist", hence semi-linear, where "twist" means "field automorphism of K". Explicitly, it is a function T : V → W that is:
* additive with respect to vector addition:
* there exists a field automorphism θ of K such that , where is the image of the scalar under the automorphism. If such an automorphism exists and T is nonzero, it is unique, and T is called θ-semilinear. Where the domain and codomain are the same space (i.e. T : V → V), it may be termed a semilinear transformation. The invertible semilinear transforms of a given vector space V (for all choices of field automorphism) form a group, called the general semilinear group and denoted by analogy with and extending the general linear group. The special case where the field is the complex numbers ℂ and the automorphism is complex conjugation, a semilinear map is called an antilinear map. Similar notation (replacing Latin characters with Greek) are used for semilinear analogs of more restricted linear transform; formally, the semidirect product of a linear group with the Galois group of field automorphism. For example, PΣU is used for the semilinear analogs of the projective special unitary group PSU. Note however, that it is only recently noticed that these generalized semilinear groups are not well-defined, as pointed out in – isomorphic classical groups G and H (subgroups of SL) may have non-isomorphic semilinear extensions. At the level of semidirect products, this corresponds to different actions of the Galois group on a given abstract group, a semidirect product depending on two groups and an action. If the extension is non-unique, there are exactly two semilinear extensions; for example, symplectic groups have a unique semilinear extension, while SU(n, q) has two extensions if n is even and q is odd, and likewise for PSU. (en)
- 数学の線型代数学あるいは特に射影幾何学における半線型写像（はんせんけいしゃぞう、英: semilinear transformation; 半線型変換）は、ベクトル空間の間の写像であって、「体の自己同型でひねる違いを除いて」線型写像となっているようなものを言う（故に「半」線型）。 具体的に、体 K 上の体の自己同型 θ を一つ固定して（θ: λ ↦ λθ）、K 上のベクトル空間 V, W の間の写像 T: V → W が
* ベクトルの加法に関して分配的: で、
* スカラー倍に関しては捻られた関係式: を満たすとき T は半線型、特に固定した θ についての半双線型性であるから θ-半双線型であるという。可逆な半線型写像の（体の同型全てに亘る）全体は一般半線型群と呼ばれる群を成し、ΓL(V) と書かれる。これは一般線型群 GL(V) の類似であり、かつその拡大である。 （GL の G を対応する Γ で置き換えて ΓL としたように）行列群の頭のラテン文字をギリシャ文字で置き換える同様の記法が、ほかの種類の行列群（線型代数群）の類似となる半線型群（厳密には行列群と体の同型の成すガロワ群との半直積）に対しても同様に用いられる。また例えば、行列群から作られる射影行列群の一種である PSU に対応する半線型群は PΣU で表される。しかし、これらの一般化された半線型群は必ずしもうまく定義されるとは限らないことに注意すべきである。 によれば、同型な古典群 G, H (⊂ SL)に対して、同型でない半線型拡大が存在し得る。半直積のレベルで言えば、これはガロワ群の与えられた抽象群に対する作用の仕方が異なるということに対応する。拡大が一意でないならば、半線型拡大はちょうど二種類存在する。例えば、対称群の半線型拡大は一意に定まるが、SU(n,q) は n が偶数で q が奇数のとき、PSU と同じように二種類の半線型拡大を持つ。 (ja)
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