About: P-adic number     Goto   Sponge   NotDistinct   Permalink

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In mathematics, the p-adic number system for any prime number p extends the ordinary arithmetic of the rational numbers in a different way from the extension of the rational number system to the real and complex number systems. The extension is achieved by an alternative interpretation of the concept of "closeness" or absolute value. In particular, two p-adic numbers are considered to be close when their difference is divisible by a high power of p: the higher the power, the closer they are. This property enables p-adic numbers to encode congruence information in a way that turns out to have powerful applications in number theory – including, for example, in the famous proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles.

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  • Nombre p-àdic
  • P-adické číslo
  • P-adische Zahl
  • P-adic number
  • Número p-ádico
  • Nombre p-adique
  • Numero p-adico
  • P進数
  • P진수
  • Liczby p-adyczne
  • P-adisch getal
  • Número p-ádico
  • P-адическое число
  • P-adiska tal
  • P-адичне число
  • P進數
rdfs:comment
  • Für jede Primzahl bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper des Körpers der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des Lokal-Global-Prinzips von Helmut Hasse, das – vereinfacht gesprochen – aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen und über allen gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer -adischen Analysis analog zur reellen Analysis.
  • Para cada número primo p, los números p-ádicos forman una extensión de cuerpos de los números racionales descritos por primera vez por en 1897. Fueron usados en la resolución de varios problemas en Teoría de números, a menudo con el de Helmut Hasse , que dice, más o menos, que una ecuación puede resolverse en los números racionales si y sólo si se puede resolver en los números reales y en los números p-ádicos para todo primo p. El espacio Qp de todos los números p-ádicos tiene lapropiedad topológica, deseable, de completitud, que nos permite el desarrollo del Análisis p-ádico, similar al Análisis real.
  • p 進数(ピーしんすう、英: p-adic number)とは、1897年にクルト・ヘンゼルによって導入された、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p 進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある(例えば p 進量子力学を参照)。 「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。 なお、自然数や実数を 0 と 1 で表現する方法(2進法)やその結果得られる記号列(2進列)も「2進数」と呼ぶ場合があるが、本項の意味での「2進数」とは異なる。
  • 수론에서, p진수(p進數, p-adic number)는 유리수의 체를 마치 어떤 소수 p에 대한 로랑 급수처럼 해석하여 완비시켜 얻는 체이다.보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체는 유리수체의 완비화이다. 또한 p진수에는 p진 값매김이 주어져 있기에 거리 공간이 되며 따라서 위상 공간이기도 하다. 이 거리 공간은 완비 거리 공간(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.
  • Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897. Dado um número primo p, um número p-ádico é representado como uma soma [in.finita em algoritmo ρ 2+3+5+7+11+13+17+23+31+41+51+61+71+81+91+101 ςοματθς Questium matheseos [ ]][ instas calculo algebrico eapeficico estabelecido : O principal uso destes números é na teoria de números.
  • p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p. p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году. Поле p-адических чисел обычно обозначается или .
  • 进数(英語:p-adic number),是数论中的概念,也称作局部数域,是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域到实数域、复数域的数系拓展不同,其具体在于所定义的“距离”概念。进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数,若两个数之差被的高次幂整除,那么这两个数距离就“接近”,幂次越高,距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息,使进数理论成为了数论研究中的有力工具。例如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了进数理论。 进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画,其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中,但现今进数的影响已远不止于此。例如可以在进数上建立进数分析,将数论和分析的工具结合起来。此外进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。
  • P-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої p-адичної норми. P-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.
  • El sistema de nombres p-àdics fou descrit per primera vegada per Kurt Hensel el 1897. Per a cada nombre primer p, el p-àdic estén l'aritmètica simple dels nombres racionals en una forma diferent de la manera tradicional en la qual s'estenen els nombres racionals als nombres reals o als complexos. Les principals aplicacions d'aquest sistema es produeixen en el camp de la teoria de nombres.
  • P-adická čísla (značená Qp) jsou číselná struktura používaná v matematice, zejména v teorie čísel. Jsou definována pro libovolné prvočíslo p. přičemž pro různá p se jedná o různé struktury, které rozšířují racionální čísla jiným způsobem než klasická čísla reálná a komplexní. Písmeno p v názvu je tedy proměnná, do které můžeme dosazovat různé konstanty a tak získáme 2-adická čísla, 3-adická čísla, 5-adická čísla atp.
  • In mathematics, the p-adic number system for any prime number p extends the ordinary arithmetic of the rational numbers in a different way from the extension of the rational number system to the real and complex number systems. The extension is achieved by an alternative interpretation of the concept of "closeness" or absolute value. In particular, two p-adic numbers are considered to be close when their difference is divisible by a high power of p: the higher the power, the closer they are. This property enables p-adic numbers to encode congruence information in a way that turns out to have powerful applications in number theory – including, for example, in the famous proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles.
  • En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier p fixé, les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif des nombres p-adiques peut être construit par complétion de , d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue p-adique.
  • Il sistema dei numeri -adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo , il sistema dei numeri -adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri. Nel campo delle curve ellittiche, i numeri -adici sono conosciuti come numeri -adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.
  • In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, vormen de -adische getallen voor elk priemgetal een uitbreiding van de rationale getallen geheel anders van aard dan de bekende uitbreidingen naar de reële- en de complexe getallen. In een -adische uitbreiding zijn de nieuwe elementen de equivalentieklassen van fundamentaalrijen in de -adische norm. De -adische getallen werden voor het eerst beschreven door Kurt Hensel in 1897. Zij spelen een belangrijke rol in de getaltheorie.
  • W matematyce -adyczny system liczbowy dla dowolnej liczby pierwszej stanowi rozszerzenie arytmetyki liczb wymiernych w sposób istotnie różny od rozszerzenia do liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Rozszerzenie to uzyskuje się przez alternatywną interpretację pojęcia „bliskości” czy też wartości bezwzględnej. W szczególności, dwie liczby -adyczne są bliskie, gdy ich różnica jest podzielna przez wysoką potęgę Ta własność sprawia, że liczby -adyczne dobrze służą do opisu kongruencji. Okazuje się, że dzięki temu znajdują zastosowanie w teorii liczb, w tym w słynnym dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata odkrytym przez Andrew Wilesa.
  • Inom matematiken är de p-adiska talen, där p är ett primtal, en utvidgning av de rationella talen som har andra egenskaper än den utvidgning som inför de reella talen. Detta genomförs med hjälp av en alternativ definition av absolutbelopp. De introducerades av den tyska matematikern , primärt med avsikten att införa koncept från matematiska serier till talteorin. Sedermera har det utvecklats en gren av matematisk analys för de p-adiska talen.
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