About: Subgroup

An Entity of Type: Thing, from Named Graph: http://dbpedia.org, within Data Space: dbpedia.org:8891

In group theory, a branch of mathematics, given a group G under a binary operation ∗, a subset H of G is called a subgroup of G if H also forms a group under the operation ∗. More precisely, H is a subgroup of G if the restriction of ∗ to H × H is a group operation on H. This is often denoted H ≤ G, read as "H is a subgroup of G". The trivial subgroup of any group is the subgroup {e} consisting of just the identity element. If H is a subgroup of G, then G is sometimes called an overgroup of H.

thumbnail
Property Value
dbo:abstract
  • الزمرة الجزئية (بالإنجليزية: Subgroup)‏ هي المجموعة الجزئية من عناصر الزمرة التي تحقق بديهيات الزمر الأربع، وبالتالي يجب أن تضم العنصر المحايد. للتعبير عن جزئية زمرة من أخرى، يُقال شفهيًّا " هي زمرة جزئية من "، وتُكتب رمزيًّا ، وتُكتب أحيانًا . يجب أن تكون رتبة الزمرة الجزئية من الزمرة التي رتبتها عددا قاسمًا لـ. ويُقال على الزمرة الجزئية التي لا تضم كل عناصر الزمرة أنها زمرة جزئية فعلية، ويُرمز لهذه العلاقة بـ أو . (ar)
  • V matematice se pojmem podgrupa grupy G = (G,*) označuje grupa H = (H, *H), je-li H podmnožinou G a *H je podmnožinou operace *. V následujícím textu se místo zápisu a*b používá zkrácené ab. (cs)
  • En teoria de grups, donat un grup G sota una operació binària *, es diu que un subconjunt H de G és un subgrup de G si H amb l'operació * també forma un grup. Més precisament, H és un subgrup de G si la restricció de * a H x H és una operació de grup en H. De vegades, la relació «H és un subgrup de G» s'indica amb la notació H ≤ G. Un subgrup propi d'un grup G és un subgrup H que és un subconjunt propi de G (és a dir H ≠ G). El subgrup trivial de qualsevol grup és el subgrup {e} que conté només l'element identitat. Les mateixes definicions s'apliquen de forma més general quan G és un semigrup arbitrari, però aquest article només tractarà amb subgrups de grups. El grup G de vegades es denota pel parell ordenat (G,*), normalment per emfasitzar l'operació * quan G porta múltiples estructures algebraiques o d'altres tipus. En el que segueix, es farà servir la convenció habitual d'ometre * i escriure el producte a*b simplement com ab. (ca)
  • Subgrupo estas nocio en la teorio de grupoj. Subgrupo de grupo estas nemalplena subaro de tiel ke mem ankaŭ estas grupo. Tion oni notas tiel ĉi: . (eo)
  • In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe einer Gruppe eine Teilmenge von , die bezüglich der Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe ist. Manchmal wird die Kurzschreibweise verwendet, zu lesen als „ ist Untergruppe von “. Die Gruppe heißt Obergruppe der Untergruppe , in Zeichen . Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie. (de)
  • En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.​ Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir H ≠ G). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad. El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab. (es)
  • Di teori grup, cabang matematika, diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke H × H adalah operasi grup di H. Ini biasanya dilambangkan H ≤ G, dibaca sebagai "H adalah subgrup dari G". (in)
  • Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. (fr)
  • In group theory, a branch of mathematics, given a group G under a binary operation ∗, a subset H of G is called a subgroup of G if H also forms a group under the operation ∗. More precisely, H is a subgroup of G if the restriction of ∗ to H × H is a group operation on H. This is often denoted H ≤ G, read as "H is a subgroup of G". The trivial subgroup of any group is the subgroup {e} consisting of just the identity element. A proper subgroup of a group G is a subgroup H which is a proper subset of G (that is, H ≠ G). This is often represented notationally by H < G, read as "H is a proper subgroup of G". Some authors also exclude the trivial group from being proper (that is, H ≠ {e}). If H is a subgroup of G, then G is sometimes called an overgroup of H. The same definitions apply more generally when G is an arbitrary semigroup, but this article will only deal with subgroups of groups. (en)
  • Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se è un gruppo con l'operazione definita in G. Ogni gruppo G contiene almeno due sottogruppi: il gruppo G stesso, ed il sottogruppo banale formato unicamente dall'elemento neutro di G (naturalmente questi coincidono se ha un solo elemento). Un sottogruppo si dice proprio se H è un sottoinsieme proprio di G. (it)
  • 수학의 한 분야인 군론에서, 이항연산 ∗ 하에 주어진 군 G에 대하여, G의 부분집합 H 또한 이항연산 ∗ 하에서 군을 이룰 때, H를 G의 부분군이라고 한다. 더 정확히는, H가 G의 부분군이라는 것은 ∗의 H × H 에 대한 제한이 H에서의 군 연산인 것을 말한다. 이를 대개 H ≤ G로 나타내고, "H는 G의 부분군"이라고 읽는다. 임의의 군의 자명한 부분군은 항등원만을 갖고 있는 부분군 {e}이다. 군 G의 진부분군이란 G의 진부분집합인 부분군 H를 말한다. (즉, H ≠ G). 이를 대개 H < G로 나타내고 "H는 G의 진부분군"이라고 읽는다. 몇몇 저자들은 또한 자명한 군을 진부분군으로부터 제외하기도 한다 (즉, H ≠ {e}). H가 G의 부분군일 때, 때때로 G를 H의 초군이라고 부른다. 보다 일반적으로 같은 정의를 G가 임의의 반군일 때도 적용하기도 하나, 이 글에서는 군의 부분군에 대해서만 다룰 것이다. 군 G가 때때로 순서쌍 (G, ∗)로 표기되는데, 대개 G가 다수의 대수적 또는 다른 구조들을 가지고 있을 때 연산 ∗를 강조하기 위함이다. (ko)
  • In de groepentheorie is een ondergroep of deelgroep van een gegeven groep met de groepsbewerking een deelverzameling van die zelf ook een groep is bij dezelfde groepsbewerking . (nl)
  • 群 G の部分集合 H が G の部分群（英: subgroup）であるとは、 H が G の演算に関して群になることである——より正確に表現すると、 H が G の部分群であるとは、G 上の演算を制限して得られる H 上の演算に関して H が群になることである。この関係は通常、 という記号で表現され、「 H は G の部分群である」と読む。 G の真部分群（英: proper subgroup）とは、部分群 H が G の真部分集合である（つまり H ≠ G である）ことであり、この関係は H < G という記号で表現される。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 {e} は常に G の部分群である。 H が G の部分群であるとき、 G は H の拡大群であると表現する場合がある。 G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, ∗) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造（あるいはもっとほかの構造）を定めるということを強調するためである。 以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 a ∗ b を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。 (ja)
  • Podgrupa – zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne). Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych” podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/ podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się oraz o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach). (pl)
  • Подгруппа ― подмножество группы , само являющееся группой относительно группового умножения на . Подмножество группы является её подгруппой тогда и только тогда, когда: 1. * содержит единичный элемент из 2. * содержит произведение любых двух элементов из , 3. * содержит вместе со всяким своим элементом обратный к нему элемент . В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух. (ru)
  • En delgrupp eller undergrupp är ett matematiskt objekt inom gruppteori. Om vi har en grupp G med en binär operation *, säger vi att en delmängd H av G är en delgrupp till G om H också är en grupp under operationen *. Mer precist är H en delgrupp till G om inskränkningen av * till H x H är en gruppoperation på H. Detta skrivs vanligtvis H ≤ G, utläst "H är en delgrupp till G". En äkta delgrupp till en grupp G är en delgrupp H som är en äkta delmängd av G (det vill säga H ≠ G). Den triviala delgruppen till varje grupp är delgruppen {e}, som bara består av identitetselementet. Samma definitioner gäller också för semigrupper, men i det följande diskuteras enbart delgrupper till grupper. Gruppen G betecknas ibland (G,*), vanligtvis för att framhäva operationen * när G har flera algebraiska eller andra strukturer. Vi följer den vanliga konventionen att skriva produkten a*b som ab. (sv)
  • Em teoria dos grupos, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação. Sejam um grupo e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um subgrupo de se é fechado para a operação de e é um grupo.Notação: (pt)
  • Підгрупою групи G називається підмножина групи , що сама є групою щодо операції, визначеної в . Підмножина групи є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови: 1. * містить добуток будь-яких двох елементів з , 2. * містить разом зі всяким своїм елементом обернений до нього елемент . У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою. Еквівалентно є підгрупою, якщо виконується умова: (uk)
  • 假設 是一個 群（group），若 是 的一個非空子集（subset）且同時 與相同的二元運算 亦構成一個群，則 稱為 的一個 子群（subgroup）。參閱群論。 更精確地來說，若運算 在 的限制也是個在 上的群運算，则称 為 的子群。 一個群 的 純子群 是指一個子群 ，其為 的純子集（即 ≠ ）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元素的子群，{e}）以及 群本身。若 為 的子群，則 有時會被稱為 的「母群」。 相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 G 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算 當 G 帶有多重的代數或其他結構。 在下面的文章中，會使用省略掉 的常規，並將乘積a*b寫成 ab。 (zh)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 28011 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 18205 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 1124435607 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:align
  • right (en)
dbp:caption
  • Simplified (en)
  • All 30 subgroups (en)
dbp:footer
  • Hasse diagrams of the lattice of subgroups of S4 (en)
dbp:image
  • Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; all 30 subgroups.svg (en)
  • Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; 11 different cycle graphs.svg (en)
dbp:width
  • 185 (xsd:integer)
  • 250 (xsd:integer)
dbp:wikiPageUsesTemplate
dcterms:subject
rdfs:comment
  • الزمرة الجزئية (بالإنجليزية: Subgroup)‏ هي المجموعة الجزئية من عناصر الزمرة التي تحقق بديهيات الزمر الأربع، وبالتالي يجب أن تضم العنصر المحايد. للتعبير عن جزئية زمرة من أخرى، يُقال شفهيًّا " هي زمرة جزئية من "، وتُكتب رمزيًّا ، وتُكتب أحيانًا . يجب أن تكون رتبة الزمرة الجزئية من الزمرة التي رتبتها عددا قاسمًا لـ. ويُقال على الزمرة الجزئية التي لا تضم كل عناصر الزمرة أنها زمرة جزئية فعلية، ويُرمز لهذه العلاقة بـ أو . (ar)
  • V matematice se pojmem podgrupa grupy G = (G,*) označuje grupa H = (H, *H), je-li H podmnožinou G a *H je podmnožinou operace *. V následujícím textu se místo zápisu a*b používá zkrácené ab. (cs)
  • Subgrupo estas nocio en la teorio de grupoj. Subgrupo de grupo estas nemalplena subaro de tiel ke mem ankaŭ estas grupo. Tion oni notas tiel ĉi: . (eo)
  • In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe einer Gruppe eine Teilmenge von , die bezüglich der Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe ist. Manchmal wird die Kurzschreibweise verwendet, zu lesen als „ ist Untergruppe von “. Die Gruppe heißt Obergruppe der Untergruppe , in Zeichen . Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie. (de)
  • Di teori grup, cabang matematika, diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke H × H adalah operasi grup di H. Ini biasanya dilambangkan H ≤ G, dibaca sebagai "H adalah subgrup dari G". (in)
  • Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. (fr)
  • Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se è un gruppo con l'operazione definita in G. Ogni gruppo G contiene almeno due sottogruppi: il gruppo G stesso, ed il sottogruppo banale formato unicamente dall'elemento neutro di G (naturalmente questi coincidono se ha un solo elemento). Un sottogruppo si dice proprio se H è un sottoinsieme proprio di G. (it)
  • 수학의 한 분야인 군론에서, 이항연산 ∗ 하에 주어진 군 G에 대하여, G의 부분집합 H 또한 이항연산 ∗ 하에서 군을 이룰 때, H를 G의 부분군이라고 한다. 더 정확히는, H가 G의 부분군이라는 것은 ∗의 H × H 에 대한 제한이 H에서의 군 연산인 것을 말한다. 이를 대개 H ≤ G로 나타내고, "H는 G의 부분군"이라고 읽는다. 임의의 군의 자명한 부분군은 항등원만을 갖고 있는 부분군 {e}이다. 군 G의 진부분군이란 G의 진부분집합인 부분군 H를 말한다. (즉, H ≠ G). 이를 대개 H < G로 나타내고 "H는 G의 진부분군"이라고 읽는다. 몇몇 저자들은 또한 자명한 군을 진부분군으로부터 제외하기도 한다 (즉, H ≠ {e}). H가 G의 부분군일 때, 때때로 G를 H의 초군이라고 부른다. 보다 일반적으로 같은 정의를 G가 임의의 반군일 때도 적용하기도 하나, 이 글에서는 군의 부분군에 대해서만 다룰 것이다. 군 G가 때때로 순서쌍 (G, ∗)로 표기되는데, 대개 G가 다수의 대수적 또는 다른 구조들을 가지고 있을 때 연산 ∗를 강조하기 위함이다. (ko)
  • In de groepentheorie is een ondergroep of deelgroep van een gegeven groep met de groepsbewerking een deelverzameling van die zelf ook een groep is bij dezelfde groepsbewerking . (nl)
  • 群 G の部分集合 H が G の部分群（英: subgroup）であるとは、 H が G の演算に関して群になることである——より正確に表現すると、 H が G の部分群であるとは、G 上の演算を制限して得られる H 上の演算に関して H が群になることである。この関係は通常、 という記号で表現され、「 H は G の部分群である」と読む。 G の真部分群（英: proper subgroup）とは、部分群 H が G の真部分集合である（つまり H ≠ G である）ことであり、この関係は H < G という記号で表現される。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 {e} は常に G の部分群である。 H が G の部分群であるとき、 G は H の拡大群であると表現する場合がある。 G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, ∗) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造（あるいはもっとほかの構造）を定めるということを強調するためである。 以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 a ∗ b を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。 (ja)
  • Подгруппа ― подмножество группы , само являющееся группой относительно группового умножения на . Подмножество группы является её подгруппой тогда и только тогда, когда: 1. * содержит единичный элемент из 2. * содержит произведение любых двух элементов из , 3. * содержит вместе со всяким своим элементом обратный к нему элемент . В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух. (ru)
  • Em teoria dos grupos, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação. Sejam um grupo e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um subgrupo de se é fechado para a operação de e é um grupo.Notação: (pt)
  • Підгрупою групи G називається підмножина групи , що сама є групою щодо операції, визначеної в . Підмножина групи є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови: 1. * містить добуток будь-яких двох елементів з , 2. * містить разом зі всяким своїм елементом обернений до нього елемент . У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою. Еквівалентно є підгрупою, якщо виконується умова: (uk)
  • 假設 是一個 群（group），若 是 的一個非空子集（subset）且同時 與相同的二元運算 亦構成一個群，則 稱為 的一個 子群（subgroup）。參閱群論。 更精確地來說，若運算 在 的限制也是個在 上的群運算，则称 為 的子群。 一個群 的 純子群 是指一個子群 ，其為 的純子集（即 ≠ ）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元素的子群，{e}）以及 群本身。若 為 的子群，則 有時會被稱為 的「母群」。 相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 G 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算 當 G 帶有多重的代數或其他結構。 在下面的文章中，會使用省略掉 的常規，並將乘積a*b寫成 ab。 (zh)
  • En teoria de grups, donat un grup G sota una operació binària *, es diu que un subconjunt H de G és un subgrup de G si H amb l'operació * també forma un grup. Més precisament, H és un subgrup de G si la restricció de * a H x H és una operació de grup en H. De vegades, la relació «H és un subgrup de G» s'indica amb la notació H ≤ G. Un subgrup propi d'un grup G és un subgrup H que és un subconjunt propi de G (és a dir H ≠ G). El subgrup trivial de qualsevol grup és el subgrup {e} que conté només l'element identitat. (ca)
  • En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.​ Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir H ≠ G). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad. (es)
  • In group theory, a branch of mathematics, given a group G under a binary operation ∗, a subset H of G is called a subgroup of G if H also forms a group under the operation ∗. More precisely, H is a subgroup of G if the restriction of ∗ to H × H is a group operation on H. This is often denoted H ≤ G, read as "H is a subgroup of G". The trivial subgroup of any group is the subgroup {e} consisting of just the identity element. If H is a subgroup of G, then G is sometimes called an overgroup of H. (en)
  • Podgrupa – zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne). (pl)
  • En delgrupp eller undergrupp är ett matematiskt objekt inom gruppteori. Om vi har en grupp G med en binär operation *, säger vi att en delmängd H av G är en delgrupp till G om H också är en grupp under operationen *. Mer precist är H en delgrupp till G om inskränkningen av * till H x H är en gruppoperation på H. Detta skrivs vanligtvis H ≤ G, utläst "H är en delgrupp till G". En äkta delgrupp till en grupp G är en delgrupp H som är en äkta delmängd av G (det vill säga H ≠ G). Den triviala delgruppen till varje grupp är delgruppen {e}, som bara består av identitetselementet. (sv)
rdfs:label
  • زمرة جزئية (ar)
  • Subgrup (ca)
  • Podgrupa (cs)
  • Untergruppe (de)
  • Subgrupo (eo)
  • Subgrupo (es)
  • Subgrup (in)
  • Sous-groupe (fr)
  • Sottogruppo (it)
  • 부분군 (ko)
  • 部分群 (ja)
  • Podgrupa (pl)
  • Ondergroep (wiskunde) (nl)
  • Subgroup (en)
  • Subgrupo (pt)
  • Подгруппа (ru)
  • Delgrupp (sv)
  • Підгрупа (uk)
  • 子群 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is gold:hypernym of
is foaf:primaryTopic of
Powered by OpenLink Virtuoso    This material is Open Knowledge     W3C Semantic Web Technology     This material is Open Knowledge    Valid XHTML + RDFa
This content was extracted from Wikipedia and is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License